即z的实部的范围是（-，1）
13．已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈（0,2π），设对应的复数为z.
（1）求复数z;
（2）若复数z对应的点P在直线y=x上，求θ的值.
解：
（1）z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i（cos2θ-1）
=-1-2sin2θ·i.
（2）点P的坐标为（-1,-2sin2θ）,
由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-.
所以sin2θ=,则sinθ=±.
因为θ∈（0,2π）,所以θ=,,,.
拓展探究
14．若复数z满足|z++i|≤1,求：
（1）|z|的最大值和最小值；
（2）|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值；
（3）|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
解：
（1）如下图所示,||==2.
∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
（2）|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2.
∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20，最小值为4.
（3）如右图，在圆面上任取一点P，与复数z1=，z2=2i的对应点A、B相连，得向量，再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为
（1）的类型.
设za=,zb=2i,P为圆面上任一点，zP=z.
则2||2+2||2=||2+（2||）2
=7+4||2,
∴|z-|2+|z-2i|2=（7+4|z--i|2）.
而|z--i|max=|O′M|+1=1+,
|z--i|min=|O′M|-1=-1,
∴|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+，最小值为27-.
2019-2020年高中数学第3章概率1随机事件的概率教学案北师大版必修3
1．概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P（A）．
2．频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小．小概率（接近于0）事件不是不发生，而是很少发生，大概率（接近于1）事件不是一定发生，而是经常发生．
[问题思考]
1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么说此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，这样理解正确吗？
提示：
正确．由题意，正面朝上的频率为
＝0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
2．如果某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能够治愈吗？
如何理解治愈的概率是0.3?
提示：
如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1000个人中大约有300人能治愈．
讲一讲
1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率．
实验序号
抛掷的次数n
正面向上的次数m
“正面向上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
246
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
[尝试解答] 利用频率的定义，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为：
0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
频数、频率和概率三者之间的关系：
（1）频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现；
（2）随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化．
练一练
1．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次进球的概率是多少？
解：
（1）进球的频率依次是：
0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.
（2）这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.
讲一讲
2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是
，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？
[尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一颗骰子得到6点的概率是
，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数没有关系．
练一练
2．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于
，这种理解正确吗？
解：
不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为
.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是
，不会大于
.
讲一讲
3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：
先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P（A）＝
.
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P（A）≈
.
所以，
≈
，解得n≈1500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500.
利用频率近似等于概率的关系求未知量：
（1）抽出m个样本进行标记，设总体容量为n，则标记概率为
；
（2）随机抽取n1个个体，发现其中m1个被标记，则标记频率为
；
（3）用频率近似等于概率建立关系式
≈
；
（4）求出n≈
，注意这个n值仅是真实值的近似．
练一练
3．为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法：
先从水库中捕出一定数量的鱼，如2000条，给每条鱼作上记号且不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条．试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．
解：
设水库中鱼的条数为n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率为
.第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的鱼的频率（代替概率）为
，由
≈
，得n≈25000，所以水库中约有鱼25000条．
【解题高手】【易错题】
一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查，发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右．如果这个调查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001（假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变）．你觉得这种看法对吗？
说出你的理由．
[错解] 这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等于0.001.
[错因] 频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数．
[正解] 这种看法是错误的．随着试验次数的增加，频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概率．
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是（ ）
A．①② B．②③C．③④D．②④
解析：
选D①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．
2．在某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指（ ）
A．明天该地区约有90%的地方会降水，其余地方不降水
B．明天该地区约有90%的时间会降水，其余时间不降水
C．在气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
解析：
选D明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.
3．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，则每个人抽到奖票的概率（ ）
A．递减B．递增C．相等D．不确定
解析：
选C因为每个人获得奖票的概率均为
，即抽到奖票的概率与抽取顺序无关．
4．下列事件：
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．（填序号）
答案：
③ ⑤ ①②④
5．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是________．
解析：
由频率定义可知用电量超过指标的频率为
＝0.4，频率约为概率．
答案：
0.4
6．某质检员从一批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下（单位：
粒）：
种子粒数
25
70
130
700
2000
3000
发芽粒数
24
60
116
639
1806
2713
发芽率
（1）计算各组种子的发芽率，填入上表；（精确到0.01）
（2）根据频率的稳定性估计种子的发芽率．
解：
（1）种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90.
（2）由
（1）知，发芽率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90.
一、选择题
1．“某彩票的中奖概率为
”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
答案：
D
2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较（ ）
A．第一次准确B．第二次准确C．两次的准确率相同D．无法比较
解析：
选B用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．
3．下列结论正确的是（ ）
A．事件A发生的概率P（A）满足0＜P（A）＜1
B．事件A发生的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
解析：
选CA不正确，因为0≤P（A）≤1；B不正确，若事件A是必然事件，则P（A）＝1；D不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生．
4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，则硬币出现正面朝上的概率是
；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：
选A①②③均不正确．
5．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是（ ）
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性是99%
解析：
选D成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.
二、填空题
6．一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为
，则估计这100个球内，有白球________个．
解析：
100×
＝75.
答案：
75
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：
200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：
③④ ② ①
8．下列说法：
①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
；
②甲乙两人做游戏：
抛一枚骰子，向上的点数是奇数，甲胜，向上的点数是偶数，乙胜，这种游戏是公平的；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的．
其中正确的有________（填序号）．
解析：
对于②，甲胜、乙胜的概率都是
，是公平的；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误．
答案：
①②③
三、解答题
9．高一
（2）班有50名同学，其中男、女各25人，今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学，试问：
碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？
有人说可能性一样大，这种说法对吗？
解：
这种说法不正确．这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个，其中碰到同性同学有24种可能，碰到异性同学有25种可能，每碰到一个同学相当于做了一次试验，因为每次试验的结果是随机的，所以碰到异性同学的可能性大，碰到同性同学的可能性小．
10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：
小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900）
[900，1100）
[1100，1300）
[1300，1500）
[1500，1700）
[1700，1900）
[1900，＋∞）
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
（1）将各组的频率填入表中；
（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
解：
（1）频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.
（2）样本中寿命不足1500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是
＝0.6，即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
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