届三维设计高考数学一轮 第四章 三角函数解三角形.docx

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届三维设计高考数学一轮第四章三角函数解三角形

第四章三角函数、解三角形

第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

（1）定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

（2）分类

（3）终边相同的角：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

（1）定义：

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

（2）公式：

角α的弧度数公式

|α|＝（l表示弧长）

角度与弧度的换算

①1°＝rad；②1rad＝°

弧长公式

l＝|α|r

扇形面积公式

S＝lr＝|α|r2

3.任意角的三角函数

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

叫做α的正切，记作tanα

各象限符号

一

＋

＋

＋

二

＋

－

－

三

－

－

＋

四

－

＋

－

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

[小题体验]

1．若θ是第二象限角，且满足sin＜0，则的终边在第________象限．

答案：

三

2．若角α的终边过点P，则tanα＝________.

答案：

－

3．α为第一象限角，则sinα＋cosα________1.（填“＞”“＜”“＝”）

答案：

＞

1．注意易混概念的区别：

象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

4．三角函数的定义中，当P（x，y）是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.

[小题纠偏]

1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.

答案：

一　二　

2．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是____________．

答案：

（cosθ，sinθ）

[题组练透]

1.下列命题中，真命题是（　　）

A．第一象限角是锐角

B．直角不是任何象限角

C．第二象限角比第一象限角大

D．三角形的内角一定是第一或第二象限角

解析：

选B　390°是第一象限角，但不是锐角，A错；135°是第二象限角，390°＞135°，C错；直角不是任何象限角，D错，B对．

2．若α＝kπ－（k∈Z），则α在（　　）

A．第一象限或第三象限　　　B．第一象限或第二象限

C．第二象限或第四象限D．第三象限或第四象限

解析：

选C　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2mπ＋，所以α在第二象限；当k＝2m（m∈Z）时，α＝2mπ－，所以α在第四象限．故选C.

3．设集合M＝，N＝，那么M________N．（填“＝”“⊆”“⊇”）

解析：

法一：

由于M＝

＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝

＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，

显然有M⊆N.

法二：

由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝（2k＋1）·45°，2k＋1是奇数；

而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.

答案：

⊆

4．终边在直线y＝x上的角的集合为__________________．

解析：

在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴正半轴的夹角是，终边在直线y＝x上的角的集合为.

答案：

5．（2018·嘉兴七校联考）设角α是第三象限角，且满足＝－sin，则是第________象限角．

解析：

因为角α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋（k∈Z），所以kπ＋＜＜kπ＋（k∈Z），所以是第二或第四象限角．又因为＝－sin，所以sin＜0，所以是第四象限角．

答案：

四

[谨记通法]

1．终边在某直线上角的求法4步骤

（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；

（2）按逆时针方向写出[0,2π）内的角；

（3）再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；

（4）求并集化简集合．

2．确定kα，（k∈N*）的终边位置3步骤

（1）用终边相同角的形式表示出角α的范围；

（2）再写出kα或的范围；

（3）然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．

[题组练透]

1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）

A．40πcm2　　　　　　B．80πcm2

C．40cm2D．80cm2

解析：

选B　∵72°＝，

∴S扇形＝|α|r2＝××202＝80π（cm2）．

2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于（　　）

A.πcm　　　　　　　　B.πcm

C.4cmD．8cm

解析：

选B　设扇形的半径为rcm，如图．

由sin60°＝，

得r＝4cm，

∴l＝|α|·r＝×4＝πcm.

3．（2019·瑞安模拟）设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．

解析：

联立解得所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝＝＝2.

答案：

2

4．若扇形的圆心角α＝60°，半径R＝10cm，求扇形的弧长l及扇形的弧所在的弧形的面积．

解：

∵α＝60°＝，R＝10cm，

∴l＝Rα＝10×＝cm.

设弧形的面积为S，则S＝R2α－R2sin＝×102×－×102×＝cm2.

[谨记通法]

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

（1）明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角）．

（2）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

[锁定考向]

任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．

常见的命题角度有：

（1）三角函数定义的应用；

（2）三角函数值的符号判定．　　　　

[题点全练]

角度一：

三角函数定义的应用

1．已知角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－，则＋＝________.

解析：

∵角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－，

∴cosα＝＝－，即x＝或x＝－（舍去），

∴P，∴sinα＝－，∴tanα＝＝，

则＋＝－＋＝－.

答案：

－

2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.

解析：

设P（t,2t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.

当t＞0时，cosθ＝；

当t＜0时，cosθ＝－.

因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.

答案：

－

角度二：

三角函数值的符号判定

3．（2019·湖州六校联考）已知sin2θ＜0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P（tanθ，sinθ）在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选B　由|cosθ|＝－cosθ可知cosθ＜0，由sin2θ＝2sinθcosθ＜0可知sinθ＞0，所以tanθ＜0.所以点P（tanθ，sinθ）在第二象限．

4．已知点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第________象限角．

解析：

因为点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即所以θ为第二象限角．

答案：

二

[通法在握]

定义法求三角函数的3种情况

（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

[演练冲关]

1．已知角α的终边经过点（3，－4），则sinα＋＝（　　）

A．－　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选D　∵角α的终边经过点（3，－4），

∴sinα＝－，cosα＝，

∴sinα＋＝－＋＝.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα的值为（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

选D　因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．已知点P（tanα，sinα）在第三象限，则角α的终边在（　　）

A．第一象限　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选D　因为点P在第三象限，所以所以α的终边在第四象限，故选D.

2．（2018·舟山五校联考）若tanα＜0，则（　　）

A．sinα＜0B．cosα＞0

C．sinαcosα＜0D．2cos2α－1＜0

解析：

选C　因为tanα＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sinα，cosα的符号不确定，故排除A、B；当α是第二象限角时，sinα，cosα符号相反，所以sinαcosα＜0；当α是第四象限角时，sinα，cosα符号相反，所以sinαcosα＜0，故选C.

3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α（0＜α＜π）的弧度数为（　　）

A．B．

C．D．2

解析：

选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，

所以α＝.

4．在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．

解析：

依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，

设点B坐标为（x，y），所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝，即B（－1，）．

答案：

（－1，）

5．（2019·丽水模拟）已知角α的终边经过点（，－），则sinα＝________，sinαcosα＝________.

解析：

因为角α的终边经过点（，－），所以sinα＝－，cosα＝，sinαcosα＝－.

答案：

－　－

二保高考，全练题型做到高考达标

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（　　）

A．B．

C．－D．－

解析：

选C　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.

2．（2019·台州模拟）已知点P（sin（－30°），cos（－30°））在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0），则角θ的大小为（　　）

A．－B．

C．－D．－

解析：

选D　因为P（sin（－30°），cos（－30°）），所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0），所以θ＝－.

3．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，－2cos2），则sinα等于（　　）

A．sin2B．－sin2

C．cos2D．－cos2

解析：

选D　因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝＝－cos2.

4．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为（　　）

A．1B．－1

C．3D．－3

解析：

选B　由α＝2kπ－（k∈Z）及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.

5．点A（sin2018°，cos2018°）在直角坐标平面上位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选C　由2018°＝360°×5＋（180°＋38°）可知，

2018°角的终边在第三象限，

所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，

即点A位于第三象限．

6．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵cosα≤0，sinα＞0，

∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．

∴∴－2＜a≤3.

答案：

（－2,3]

7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．

解析：

由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），则180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°）（k∈Z），即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），所以180°－α是第一象限的角．

答案：

一

8．（2017·北京高考）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________.

解析：

当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1（2，1），其关于y轴的对称点（－2，1）在角β的终边上，此时sinβ＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2（－2，1），其关于y轴的对称点（2，1）在角β的终边上，此时sinβ＝.

综上可得sinβ＝.

答案：

9．已知角θ的终边上有一点（a，a），a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．

解析：

由已知得r＝＝|a|，

sinθ＝＝＝所以sinθ的值是或－.

答案：

或－

10．已知扇形AOB的周长为8.

（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：

设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

（1）由题意可得

解得或

∴α＝＝或α＝＝6.

（2）法一：

∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，

当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

法二：

∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝r（8－2r）＝r（4－r）＝－（r－2）2＋4≤4，

当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

11．角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ的值．

解：

由题意得，点P的坐标为（a，－2a），点Q的坐标为（2a，a）．

所以sinα＝＝－，

cosα＝＝，

tanα＝＝－2，

sinβ＝＝，

cosβ＝＝，

tanβ＝＝，

故sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ

＝－×＋×＋（－2）×

＝－1.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

（2019·衢州模拟）已知角α的终边经过点P（x，－）（x≠0），且cosα＝x.

（1）求x的值；

（2）求sinα＋的值．

解：

（1）因为角α的终边经过点P（x，－），且cosα＝x，

所以有＝x.

因为x≠0，所以x2＋2＝12，

解得x＝±.

（2）若x＝，则P（，－），

所以sinα＝－＝－，tanα＝－＝－，

所以sinα＋＝－－.

若x＝－，则P（－，－），

所以sinα＝－＝－，tanα＝＝，

所以sinα＋＝－＋.

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式_

1．同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1；

（2）商数关系：

tanα＝.

2．诱导公式

组序

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

－α

＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cos_α

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cos_α

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tan_α

口诀

函数名不变符号看象限

函数名改变

符号看象限

记忆规律

奇变偶不变，符号看象限

[小题体验]

1．已知sin＝，α∈，则sin（π＋α）＝______.

答案：

－

2．若tanθ＝，则的值为________．

答案：

3．化简sin（－1071°）sin99°＋sin（－171°）sin（－261°）的结果为________．

解析：

原式＝（－sin1071°）sin99°＋sin171°sin261°

＝－sin（3×360°－9°）sin（90°＋9°）＋sin（180°－9°）·sin（270°－9°）＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.

答案：

0

1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负—脱周—化锐．

特别注意函数名称和符号的确定．

2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

[小题纠偏]

1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝________.

答案：

－

2．

（1）sin＝________，

（2）tan＝________.

答案：

（1）　

（2）

[题组练透]

1．（2018·宁波模拟）sin210°cos120°的值为（　　）

A．　　　　　　　　　B．－

C．－D．

解析：

选A　sin210°cos120°＝－sin30°（－cos60°）＝×＝.

2．（2019·嵊州模拟）已知sin（π＋α）＝－，则cos的值为（　　）

A．B．－

C．D．－

解析：

选B　因为sin（π＋α）＝－＝－sinα，

所以cos＝－sinα＝－.

3．已知tan＝，则tan＝________.

解析：

tan＝tan

＝tan

＝－tan＝－.

答案：

－

4．（易错题）设f（α）＝，求f的值．

解：

∵f（α）＝

＝＝

＝，

∴f＝＝＝＝.

5．已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝－，求sin（3π＋α）·tan的值．

解：

∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）＝cos（π－α）＝－cosα＝－，∴cosα＝.

∴sin（3π＋α）·tan

＝sin（π＋α）·＝sinα·tan

＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.

[谨记通法]

1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：

“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．利用诱导公式化简三角函数的要求

（1）化简过程是恒等变形；

（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

[典例引领]

1．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值为（　　）

A．－　　　　　　　　B．－

C．D．

解析：

选D　依题意得：

＝5，∴tanα＝2.

∴sin2α－sinαcosα＝

＝＝＝.

2．已知sinθ＝，cosθ＝（m≠0），则tan（kπ＋θ）（k∈Z）的值为________．

解析：

因为sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，解得m＝8，所以sinθ＝，cosθ＝－，所以tanθ＝＝－.所以tan（kπ＋θ）（k∈Z）＝tanθ＝－.

答案：

－

3．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为________．

解析：

因为（sinθ＋cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝，所以2sinθcosθ＝，则（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝.

又因为θ∈，所以sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0，

所以sinθ－cosθ＝－.

答案：

－

[由题悟法]

同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧

解读

适合题型

切弦互化

主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切

表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ

“1”的变换

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝tan＝（sinθ±cosθ）2∓2sinθcosθ

表达式中需要利用“1”转化

和积转换

利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化

表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ

[即时应用]

1．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）

A．　　　　　　　　　　　B．－

C．D．－

解析：

选D　法一：

因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，

所以tanα＝＝＝－.

法二：

因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以可在α的终边上取一点P（12，－5），则tanα＝＝－.故选D.

2．（2019·缙云模拟）设sinα＋sinβ＝，则sinα－cos2β的最大值为（　　）

A．－B．－

C．－D．

解析：

选D　因为sinα＋sinβ＝，所以sinα＝－sinβ.因为－1≤sinα≤1，所以－≤sinβ≤1.所以sinα－cos2β＝－sinβ－1＋sin2β＝2－，当sinβ＝－时，sinα－cos2β有最大值.

3．已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为（　　）

A．－B．

C．－D．

解析：

选B　∵＜α＜，

∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，

∴cosα－sinα＞0，

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

4．已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝，则sinα－cosα＝________.

解析：

由sin（π－α）－cos（π＋α）＝，得sinα＋cosα＝，①

将①两边平方得1＋2sinαcosα＝，故2sinαcosα＝－.

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－＝.

又∵＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝.

答案：

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．（2018·嘉兴七校联考）已知cos＝，且|α|＜，则tanα＝（　　）

A．－　　　　　　　　　B．

C．－D．

解析：

选C　因为cos＝－