函数专题一次函数的应用.docx

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函数专题一次函数的应用

一次函数的应用

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

待定系数法求一次函数关系式，一次函数的图像，一次函数的性质,一次函数的应用

教学目标

1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；

2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.

教学重点

一次函数图象的应用．

教学难点

正确地根据图象获取信息，并解决有关问题．

教学过程

一、课程导入

在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容。

二、复习预习

①如图（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

　　②如图

（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

　　③如图（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

k＞0y的值随x值的增大而增大；当k﹤Oy的值随x值的增大而减小；

注意：

一次函数y＝kx＋b的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为

，（0，b）．它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与y轴交点的位置．

三、知识讲解

考点1待定系数法确定一次函数表达式

先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．

对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．

考点2一次函数中的图表问题

通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两

个变量之间的关系．

考点3一次函数中的一次函数中数形结合的实际问题

要学会通过读图分析题目中的条件和等量关系

四、例题精析

考点一待定系数法确定一次函数表达式

例1、已知一次函数的图象经过（2，5）和（－1，－1）两点．

（1）画出这个函数的图象；

（2）求这个一次函数的解析式．

【规范解答】:

（1）图象如图所示．

（2）设函数解析式为y＝kx＋b，则

解得

所以函数解析式为y＝2x＋1．

分析:

已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．

考点二一次函数中的图表问题

例2、一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为（2，0），且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

【规范解答】：

设一次函数的关系式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）．

∵OA＝OB，点A的坐标为（2，0），

∴点B的坐标为（0，－2）．

∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y＝kx＋b，

　　∴

∴

∴一次函数的解析式为y＝x－2．

分析：

通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB＝OA＝2，所以点B的坐标为（0，－2），再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式．

考点三一次函数中数形结合的实际问题

例3、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．求：

（1）y与x之间的函数关系式；

（2）旅客可免费携带的行李的重量．

【规范解答】：

（1）设一次函数的关系式为y=kx+b．

　　∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，

　　解得

　∴所求函数关系式为y=

x-6（x≥30）

（2）当y=0时，

x-6=0　　∴x=30．

　　故旅客最多可免费携带30千克行李．

分析：

本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时考查了在直角坐标系中的读图能力．

例4、在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图所示，能否用函数关系式表示这段记录?

【规范解答】：

观察图象可知．

当t在0～1s内时，速度v与时间t是正比例函数关系，v＝7．5t（0≤t≤1）．

当t在1～8s内时，速度v保持不变，v＝7．5（1＜t≤8）；

当t在8～10s内时，速度v与时间t是一次函数关系，设一次函数为v＝kt＋b（k≠0），又一次函数图象过（8，7．5）和（10，0），

则

解得

∴v＝－3．75t＋37．5（8＜t≤10）．

即：

分析：

根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t（s）与赛车速度v（m／s）之间的关系，在10s内，赛车的速度从0增加到7．5m／s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．

五、课堂运用

【基础】

1、已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（－3，－2）及点B（1，6），求此函数关系式，并作出函数图象．

【规范解答】：

由题意可知

∴

∴函数关系式为y＝2x＋4．图象如下图所示。

分析:

　可将由已知条件给出的坐标分别代入y＝kx＋b中，通过解方程组求出k，b的值，从而确定函数关系式．

2、关于一次函数y=-x+1的图像,下列所画正确的是（）

.

答案：

C

【规范解答】：

由题意得：

函数的k为-1，b=1，

∴函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴，

结合选项可得C符合题意．

故选C．

分析：

根据函数的k为-1，b=1，可判断函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的负半轴．

【巩固】

1、一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：

A

【规范解答】：

因为x+y=k（矩形的面积是一定值），

整理得y=-x+k，

由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，

所以只有A符合要求．

故选A．

分析：

因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案。

2、在平面直角坐标系中，已知

三个顶点的坐标分别为

（1）画出

，并求出

所在直线的解析式..

（2）画出

绕点

顺时针旋转

后得到的

，并求出

在上述旋转过程中扫过的面积.

【规范解答】：

（1）如图所示，

即为所求.

设

所在直线的解析式为

∵

，

∴

解得

，∴

.

（2）如图所示，

即为所求.

由图可知，

，

=

.

分析：

（1）利用待定系数法将A（－1，2），C（－2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；

（2）根据AC的长度，求出S＝S扇形＋S△ABC，就即可得出答案．

【拔高】

1、假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．

（1）写出油箱中余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式；

（2）画出函数的图象；

（3）这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?

【规范解答】：

（1）设函数关系式为Q＝kt＋b（k≠0）．

　由题意可知

∴

　∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q＝－6t＋40．

　　∵40－6t≥0，∴t≤

．

∴自变量t的取值范围是0≤t≤

．

（2）当t＝0时，Q＝40；当t＝

时，Q＝0．

　得到点（0，40），（

，0）．

连接两点，得出函数Q＝－6t＋40（0≤t≤

）的图象，如右图所示．

　　（3）当Q＝0时，t＝

，那么

－3＝

（小时）．

∴拖拉机还能耕地

小时，即3小时40分．

分析：

　由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象（在自变量取值范围内）．

2、在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．

（1）实验操作：

在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

P从点O出发平移次数

可能到达的点的坐标

1次

（0，2），（1，0）

2次

3次

（2）观察发现：

任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：

平移1次后在函数　y=﹣2x+2　的图象上；平移2次后在函数　y=﹣2x+4　的图象上…由此我们知道，平移n次后在函数　y=﹣2x+2n　的图象上．（请填写相应的解析式）

（3）探索运用：

点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．

【规范解答】：

（1）如图所示：

P从点O出发平移次数

可能到达的点的坐标

1次

2次

（0，4），（1，2），（2，0）

3次

（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）

（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：

y=kx+b（k≠0），

则

，

解得

.

故第一次平移后的函数解析式为：

y=﹣2x+2；

∴答案依次为：

y=﹣2x+2；y=﹣2x+4；y=﹣2x+2n

（3）设点Q的坐标为（x，y），依题意，

．

解这个方程组，得到点Q的坐标为

．

∵平移的路径长为x+y，

∴50≤

≤56．

∴37.5≤n≤42．

∵点Q的坐标为正整数，

∴点Q的坐标为（26，26），（28，28）．

分析：

（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；

（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；

（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答．

课程小结

1、通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两

个变量之间的关系．

2、一次函数图象的应用

一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．

3、一次函数和一元一次方程的关系

当一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．