第一章全称命题与特称命题的否定.docx

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第一章全称命题与特称命题的否定

3.3　全称命题与特称命题的否定

学习目标

　1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.

3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

知识点一　全称命题的否定

思考　对下列全称命题如何否定？

（1）所有奇函数的图像都过原点；

（2）对任意实数x，都有x2－2x＋1>0.

答案　

（1）有的奇函数的图像不过原点；

（2）存在实数x，使x2－2x＋1≤0.

梳理　要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．

一般地，全称命题“所有的x∈A，使p（x）成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p（x）不成立”．

知识点二　特称命题的否定

思考　对下列特称命题如何否定？

（1）有些四棱柱是长方体；

（2）存在一些周期函数是奇函数．

答案　

（1）所有的四棱柱都不是长方体；

（2）所有的周期函数都不是奇函数．

梳理　要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．

一般地，特称命题“存在x∈A，使p（x）成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p（x）不成立”．

1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．（　√　）

2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p（x）”同时否定．（　×　）

3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p（x）否定．（　√　）

类型一　全称命题的否定

例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．

（1）任意n∈Z，则n∈Q；

（2）等圆的面积相等，周长相等；

（3）偶数的平方是正数．

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

解　

（1）存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．

（2）存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．

（3）存在偶数的平方不是正数，这是真命题．

反思与感悟　1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．

2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．

跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）每一个四边形的四个顶点共圆；

（3）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

解　

（1）存在一个能被3整除的整数不是奇数．

（2）存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

（3）存在x∈Z，x2的个位数字等于3.

类型二　特称命题的否定

例2　写出下列特称命题的否定：

（1）存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；

（2）有的三角形是等边三角形；

（3）有一个素数含三个正因数．

考点　特称命题的否定

题点　含存在量词的命题的否定

解　

（1）任意x∈R，x2＋2x＋2>0.

（2）所有的三角形都不是等边三角形．

（3）每一个素数都不含三个正因数．

反思与感悟　与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．

跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其真假：

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）存在x，y∈Z，使得

x＋y＝3.

考点　特称命题的否定

题点　含存在量词的命题的否定

解　

（1）命题的否定：

“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．

由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

（2）命题的否定：

“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．

由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

（3）命题的否定：

“任意x，y∈Z，

x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，

x＋y＝3，

因此命题的否定是假命题．

类型三　含有一个量词的命题的否定的应用

例3　已知命题p（x）：

sinx＋cosx>m，q（x）：

x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p（x）为假命题且q（x）为真命题，求实数m的取值范围．

考点　全称命题与特称命题的否定

题点　由全称命题与特称命题的真假求参数的范围

解　∵sinx＋cosx＝

sin（x＋

）>m，

若p（x）为真命题，则m<－

.

∵p（x）为假命题，∴m≥－

，①

由q（x）为真命题，得Δ＝m2－4<0，即－2

由①②可得－

≤m<2.

引申探究　若例3中“如果对于任意x∈R，p（x）为假命题且q（x）为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p（x）与q（x）有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解　由例3知p（x）为真命题时，m<－

，

q（x）为真命题时，－2

由题意知p（x）与q（x）两命题有一真一假，

当p（x）为真，q（x）为假时，

得m≤－2.

当p（x）为假，q（x）为真时，

得－

≤m<2.

所以m的取值范围是（－∞，－2]∪[－

，2）．

反思与感悟　若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f（c）>0.求实数p的取值范围．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　存在性问题求参数的范围

解　在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f（c）>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f（x）≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，

　即

即

∴p≥

或p≤－3.

故p的取值范围是－3

.

1．命题“任意x∈[0，＋∞），x3＋x≥0”的否定是（　　）

A．任意x∈（－∞，0），x3＋x<0

B．任意x∈（－∞，0），x3＋x≥0

C．存在x∈[0，＋∞），x3＋x<0

D．存在x∈[0，＋∞），x3＋x≥0

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

答案　C

解析　全称命题的否定是特称命题．

2．下列命题的否定为假命题的是（　　）

A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0

B．任意x∈R，lgx＜1

C．所有能被3整除的整数都是奇数

D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1

考点　特称命题的否定

题点　含有一个量词的命题真假判断

答案　D

解析　对于选项A，因为x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0，所以存在x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；

对于选项B，因为当x＞10时，lgx＞1，所以任意x∈R，lgx＜1是假命题，故其否定为真命题；

对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；

对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题．

3．若“存在x∈

，sinxcosx>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　存在性问题求参数的范围

答案　

解析　由题意知，对任意的x∈

，

sinxcosx≤m为真命题；

又∵sinxcosx＝

sin2x∈

，

∴m≥

.

4．写出下列命题的否定并判断其真假．

（1）不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；

（2）有些三角形的三条边相等；

（3）余弦值为负数的角是钝角．

考点　含有量词的命题的否定的应用

题点　全称命题与特称命题的否定及真假判断

解　

（1）这一命题可表述为对任意的实数m，

方程x2＋mx－1＝0必有实数根．

其否定：

存在一个实数m，

使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，

因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，

故为假命题．

（2）原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．

（3）原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题

（1）确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

（2）改变量词：

把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．

（3）否定结论：

原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

（4）无量词的全称命题要先补回量词再否定．

一、选择题

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是（　　）

A．对任意x∈A,2x∉B

B．对任意x∉A,2x∉B

C．存在x∉A,2x∈B

D．存在x∈A,2x∉B

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

答案　D

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

答案　D

解析　原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．

3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（　　）

A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0

D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

答案　C

解析　由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.

4．已知命题p：

任意x>0，总有（x＋1）ex>1，则命题p的否定为（　　）

A．存在x≤0，使得（x＋1）ex≤1

B．存在x>0，使得（x＋1）ex≤1

C．任意x>0，总有（x＋1）ex≤1

D．任意x≤0，总有（x＋1）ex≤1

考点　全称命题的否定

题点　全称命题的否定

答案　B

解析　“任意x>0，总有（x＋1）ex>1”的否定是“存在x>0，使得（x＋1）ex≤1”．故选B.

5．命题p：

“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为（　　）

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

考点　特称命题的否定

题点　含存在量词命题的否定

答案　C

解析　命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．

6．已知命题p：

存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．[0,4]B．（0,4）

C．（－∞，0）∪（4，＋∞）D．（－∞，0]∪[4，＋∞）

考点　全称命题与特称命题的否定的应用

题点　由全称命题与特称命题的真假求参数范围

答案　A

解析　∵p是假命题，

∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，

∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.

7．下列命题中是假命题的是（　　）

A．存在m∈R，使f（x）＝（m－1）·xm2－4m＋3是幂函数，且在（0，＋∞）上是减少的

B．任意a>0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点

C．存在α，β∈R，使cos（α＋β）＝cosα＋sinβ

D．任意φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

考点　全称命题与特称命题的真假判断

题点　全称命题与特称命题的真假判断

答案　D

解析　∵f（x）为幂函数，∴m－1＝1，

∴m＝2，f（x）＝x－1，

∴f（x）在（0，＋∞）上是减少的，故A真；

∵y＝ln2x＋lnx的值域为

，

∴对任意a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，

即f（x）有零点，故B真；

当α＝

，β＝2π时，

cos（α＋β）＝cosα＋sinβ成立，故C真；

当φ＝

时，f（x）＝sin（2x＋φ）＝cos2x为偶函数，

故D为假命题．

8．已知函数f（x）＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f（x2）”为真命题，则下列结论一定正确的是（　　）

A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1

答案　B

解析　函数f（x）＝|2x－1|的图像如图所示．

由图可知f（x）在（－∞，0]上是减少的，在（0，＋∞）上是增加的，

所以要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1

使得f（x1）>f（x2）为真命题，则必有a<0，故选B.

9．已知二次函数f（x）＝2x2－（a＋6）x－2a2－a，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f（x）>0，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　存在性问题求参数的范围

答案　A

解析　考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b，使f（b）≤0，所以有

即

解得a≤－

或a≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f（b）>0，则实数a的取值范围为

.

二、填空题

10．若命题：

“存在x∈R，使得x2＋（1－a）x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________________．

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　由题意可知Δ＝（1－a）2－4>0，解得a<－1或a>3.

11．若任意x∈R，f（x）＝（a2－1）x是减函数，则a的取值范围是______________．

考点　全称量词与全称命题的真假判断

题点　恒成立求参数的范围

答案　（－

，－1）∪（1，

）

解析　∵f（x）＝（a2－1）x是减函数，

∴0

∴a∈（－

，－1）∪（1，

）．

12．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．

考点　全称命题与特称命题的否定的应用

题点　由全称命题与特称命题的真假求参数的范围

答案　[3,8）

解析　因为p

（1）是假命题，

所以1＋2－m≤0，解得m≥3.

又因为p

（2）是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是[3,8）．

三、解答题

13．已知命题p：

存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：

任意x∈[0,1]，都有（a2－4a＋3）x－3＜0.若p和q中具有一个真命题，求实数a的取值范围．

考点　全称命题与特称命题的否定的应用

题点　由全称命题与特称命题的真假求参数范围

解　若命题p为真命题，则有Δ＝4a2－4（2a2－5a＋4）≥0，解得1≤a≤4.

对于命题q，令f（x）＝（a2－4a＋3）x－3，若命题q为真命题，则有f（0）＜0且f

（1）＜0，可得0＜a＜4.

由题设知命题p和q中有且只有一个真命题，

所以

或

解得0＜a＜1或a＝4，

故所求a的取值范围是0＜a＜1或a＝4.

四、探究与拓展

14．已知函数f（x）＝2x2＋（4－m）x＋4－m，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（　　）

A．[－4,4]B．（－4,4）

C．（－∞，4）D．（－∞，－4）

答案　C

解析　显然f（x）>0恒成立，满足条件时（4－m）2－8（4－m）<0，解得－4

15．已知f（x）＝ax2＋bx＋c的图像过点（－1,0），是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f（x）≤

对一切实数x均成立？

解　假设存在常数a，b，c，使题设命题成立．

因为f（x）的图像过点（－1,0），

所以a－b＋c＝0.

因为x≤f（x）≤

对一切x∈R均成立，

所以当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，

故有a＋b＋c＝1.

所以b＝

，c＝

－a.

所以f（x）＝ax2＋

x＋

－a.故应x≤ax2＋

x＋

－a≤

对一切x∈R成立，

即

恒成立⇔

即

所以a＝

，

所以c＝

－a＝

.

所以存在一组常数：

a＝

，b＝

，c＝

，

使不等式x≤f（x）≤

对一切实数x均成立．