机械优化设计三个案例.docx
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机械优化设计三个案例
机械优化设计案例 1
1. 题目
对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设
计。
2.已知条件
已知数输入功 p=58kw，输入转速 n1=1000r/min，齿数比
u=5，齿轮的许用应力[ δ ]H=550Mpa，许用弯曲应力[ δ ]
F=400Mpa。
3.建立优化模型
3.1 问题分析及设计变量的确定
由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体
积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）
是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建
立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：
v = 0.25πb（d12 - d 21） + 0.25πb（d2 - d 22 ） - 0.25（b - c）（D22 - d 22 ） -
πd0 c + 0.25πl（d 21 + d 22 ） + 7πd 21 + 8πd 22
zzzz
= 0.25π [m2 z1 b - d 21b + m2 z1 u 2b - d 22b - 0.8b（mz1u -10m）2 +
2.05bd 22 - 0.05b（mz1u -10m -1.6d z2 ） + d 22l + 28d 21 + 32d 22 ]
式中符号意义由结构图给出，其计算公式为
d1 = mz1, d2 = mz2
Dg 2 = umz1 -10m
d g 2 = 1.6d z2 , d0 = 0.25（umz1 -10m -1.6d z2 ）
c = 0.2b
由上式知，齿数比给定之后，体积取决于 b、z1 、m、l、dz1 和
dz2 六个参数，则设计变量可取为
x = [x1
x2
x3
x4
x5
x6 ]T = [b
z1
m l
d z1
d z2 ]T
3.2 目标函数为
22222
f （x） = 0.785398（4.75x1x2 x3 + 85x1x2 x3 - 85x1x3 + 0.92x1x6 - x1x5 +
222222
0.8x1x2 x3x6 -1.6x1x3x6 + x4 x5 + x4 x6 + 28x5 + 32x6 ） → min
3.3 约束条件的建立
1
1）为避免发生根切，应有 z ≥ zmin = 17 ，得
g1（x） = 17 - x2 ≤ 0
2 ）齿宽应满足
ϕmin ≤
b
d
≤ ϕmax
，ϕmin 和ϕmax 为齿宽系数ϕd 的最大值
和最小值，一般取ϕmin =0.9，ϕmax =1.4，得
g2 （x） = 0.9 - x1 （x2 x3 ） ≤ 0
g3 （x） = x1 （x2 x3 ） -1.4 ≤ 0
3）动力传递的齿轮模数应大于 2mm，得
g4 （x） = 2 - x3 ≤ 0
4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于
d1max ，得
g5 （x） = x2 x3 - 300 ≤ 0
5）齿轮轴直径的范围：
d z min ≤ d z ≤ d z max 得
g6 （x） = 100 - x5 ≤ 0
g7 （x） = x5 -150 ≤ 0
g8 （x） = 130 - x6 ≤ 0
g9 （x） = x6 - 200 ≤ 0
6）轴的支撑距离 l 按结构关系，应满足条件：
l
≥ b + 2∆min + 0.5d z2 （可取 ∆min =20），得
g10 （x） = x1 + 0.5x6 - x4 - 40 ≤ 0
7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
2
g11（x） = 1468250 （x2 x3 x1 ） - 550 ≤ 0
g12 （x） = 7098
x1x2 x3 （0.169 + 0.6666 ⨯10-2 x2 - 0.854 ⨯10-4 x2 ）
- 400 ≤ 0
g13 （x） = 7098
x1x2 x3 （0.2824 + 0.177 ⨯102 x2 - 0.394 ⨯10-4 x2 ）
- 400 ≤ 0
8）齿轮轴的最大挠度 δ max 不大于许用值[δ ] ，得
4
g14 （x） = 117.04 x4 （x2 x3x5 ） - 0.003x4 ≤ 0
9）齿轮轴的弯曲应力 δ w 不大于许用值[δ ]w ，得
g15 （x） =
g16 （x） =
1
x5
1
x6
（
（
x2 x3
x2 x3
） + 2.4 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
） + 6 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
4.优化方法的选择
由于该问题有 6 个设计变量，16 个约束条件的优化设计问题，
采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用 Matlab
优化工具箱中的 fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了
较为繁重的计算过程。
5.数学模型的求解
5.1.1 将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：
222
222
222
min f （x） = 0.785398（4.75x1x2 x3 + 85x1x2 x3 - 85x1x3 +
0.92x1x6 - x1x5 + 0.8x1x2 x3x6 -1.6x1x3x6+ x4 x5
+ x4 x6 + 28x5 + 32x6 ）
Subject to:
3
g1（x） = 17 - x2 ≤ 0
g2 （x） = 0.9 - x1 （x2 x3 ） ≤ 0
g3 （x） = x1 （x2 x3 ） -1.4 ≤ 0
g4 （x） = 2 - x3 ≤ 0
g5 （x） = x2 x3 - 300 ≤ 0
g6 （x） = 100 - x5 ≤ 0
g7 （x） = x5 -150 ≤ 0
g8 （x） = 130 - x6 ≤ 0
g9 （x） = x6 - 200 ≤ 0
g10 （x） = x1 + 0.5x6 - x4 - 40 ≤ 0
g11（x） = 1468250 （x2 x3 x1 ） - 550 ≤ 0
g12 （x） = 7098
2
x1x2 x3 （0.169 + 0.6666 ⨯10-2 x2 - 0.854 ⨯10-4 x2 ）
- 400 ≤ 0
g13 （x） = 7098
2
x1x2 x3 （0.2824 + 0.177 ⨯102 x2 - 0.394 ⨯10-4 x2 ）
- 400 ≤ 0
4
g14 （x） = 117.04 x4 （x2 x3x5 ） - 0.003x4 ≤ 0
g15 （x） =
g16 （x） =
1
3
1
3
（
（
x2 x3
x2 x3
） + 2.4 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
） + 6 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
5.1.2 运用 Matlab 优化工具箱对数学模型进行程序求解
首先在 Matlab 优化工具箱中编写目标函数的 M 文件
myfun.m,返回 x 处的函数值 f：
function f = myfun（x）
f=0.785398*（4.75*x
（1）*x
（2）^2*x（3）^2+85*x
（1）*x
（2）*x（3）^2-
85*x
（1）*x（3）^2+0.92*x
（1）*x（6）^2-
x
（1）*x（5）^2+0.8*x
（1）*x
（2）*x（3）*x（6）-
1.6*x
（1）*x（3）*x（6）+x（4）*x（5）^2+x（4）*x（6）^2+28*x（5）^2+32*x（6）^2）
由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性
约束条件的 M 文件 mycon.m：
function[c,ceq]=myobj（x）
c=[17-x
（2）;0.9-x
（1）/（x
（2）*x（3））;x
（1）/（x
（2）*x（3））-1.4;2-
x（3）;x
（2）*x（3）-300;100-x（5）;x（5）-150;130-x（6）;x（6）-200;x
（1）+0.5*x（6）-
4
x（4）-40;1486250/（x
（2）*x（3）*sqrt（x
（1）））-550;
7098/（x
（1）*x
（2）*x（3）^2*（0.169+0.006666*x
（2）-0.0000854*x
（2）^2））-
400;7098/（x
（1）*x
（2）*x（3）^2*（0.2824+0.00177*x
（2）-
0.0000394*x
（2）^2））-400;117.04*x（4）^4/（x
（2）*x（3）*x（5）^4）-
0.003*x（4）;（1/（x（5）^3））*sqrt（（2850000*x（4）/（x
（2）*x（3）））^2+2.4*10^1
2）-5.5;（1/（x（6）^3））*sqrt（（2850000*x（4）/（x
（2）*x（3）））^2+6*10^13）-5.5];
ceq=[];
最后在 command window 里输入：
x0=[230;21;8;420;120;160];%给定初始值
[x,fval,exitflag,output]=fmincon（@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@my
obj,output）%调用优化过程
5.1.3 最优解以及结果分析
运行结果如下图所示：
5
由图可知，优化后的最终结果为
x=[123.356599.85171.7561147.3157150.4904
129.5096]
f（x）=2.36e*107
由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要
进行圆整,所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆
整后：
x=[1241002148150130]
f（x）=6.16 *10 7
6.结果对比分析
若按初始值减速器的体积 V 大约为 6.32×107mm3，而优化后
的体积 V 则为 6.16×107mm3,优化结果比初始值体积减少为：
Δν＝1－（6.16×107/6.32×107）×100%＝2.5%
所以优化后的体积比未优化前减少了 2.5%，说明优化结果
相对比较成功。
7.学习心得体会
学习机械优化设计课程的心得体会
通过将近一学期的学习，对这门课有了初步的了解和认识，
学期伊始，浏览全书，发现全是纯理论知识，觉得这门课会很枯
燥，但是又回过头来想想，作为 21 世纪的大学生，要使自己适
应社会需求，首先在做任何事之前都应该有正确的态度看待问题，
把这些想法作为促使自己进步的动力，再去学习课本知识，效果
应该很不一样，有了想法就付诸行动，随着对课本内容的学习跟
老师的讲解，发现并不是像自己在学期初想的那样困难，特别是
在老师介绍了一些与机械优化设计相关的计算机语言和计算机软
件后，真正体会到科学优化设计的强大跟简洁明了，与传统优化
设计方法相比较，大大提高了设计效率和质量。
传统设计方法常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估
6
算，经验类比或试验来确定初始设计方案，如不能满足指标要求，
则进行反复分析计算—性能检验—参数修改，到满足设计指标要
求为止。
整个传统设计过程就是人工凑试和定性分析比较的过程，
是被动地重复分析产品性能，不是主动设计产品参数。
按照传统
设计方法做出的设计方案，有改进余地，但不是最佳设计方案。
而现代化设计工作是借助电子计算机，，应用一些精确度较
高的力学数值分析方法，优化软件进行分析计算，找最优设计方
案，实现理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用
优化设计代替一般的安全寿命可行性设计。
在进行程序求解的过程中，因为是初学 Matlab 软件，对很多
问题的关键点不能够掌握，非线性约束如何书写，上、下限如何
选择，函数格式如何书写，变量未定义等等或大或小的问题，但
是在一步步排除错误、重新编写程序的过程中，渐渐的对 Mtalab
熟悉起来，懂得了一些优化方法的简单计算过程和原理，省去了
繁琐复杂的优化计算过程
“
在学完课程之后，反思自己在学习过程中的得失，深深体会
到，不论在人生的哪个阶段，都要对自己负责，做任何事都要耐
心，细致， 千里之行，始于足下”，学会在物欲横流的社会大潮
中，坚持踏踏实实走好人生的每一步。
8.参考文献
[1] 孙靖民,梁迎春. 机械优化设计. 北京:
机械工业出版社,
2006.
[2] 濮良贵,纪名刚. 机械设计. 8 版. 北京:
高等教育出版社,
2006.
[3] 孙桓,陈作模,葛文杰. 机械原理. 7 版. 北京:
高等教育出版
社,2006.
[4] 李涛,贺勇军,刘志俭. MATLAB 工具箱应用指南—应用数
学篇[M].北京:
电子工业出版社,2000.
7
机械优化设计案例 2
复杂刀具优化设计数学模型的建立及算法改进
摘 要:
目的建立复杂刀具优化的数学模型,提高优化算法速度.
方法采用优化设计与 CAD 相结合的方法. 结果与结论解决了传统刀具
设计的缺点,改进后的算法速度大幅度提高.
关键词:
数学模型；优化；算法
在传统的刀具设计中,通过查表和经验公式来确定各种结构参数和几何
参数,然后,反复计算来得到相对较优的刀具参数.这种方法使设计过程复杂
费时,且得不到最优化的参数,设计出的刀具成本高,加工效率低.因而刀具
的计算机辅助设计应采用优化设计与 CAD 相结合的方法,欲进行优化设计,
必需首先建立刀具优化设计的数学模型,由于复杂刀具的种类繁多,结构变
化多样,优化目标不同,因而需分门别类地建立模型
[1]
，此篇仅以轮切式拉
刀为例.
1 拉刀优化设计的数学模型
在拉刀参数设计过程中需要选择的主要参数有拉削余量 A,齿升量 a f ,齿
距 t,容屑槽形状和深度 h,容屑系数 k,同时工作齿数等,这些参数可分为两
类,一类是独立参数,如拉削余量和容屑槽形状等,这些参数基本不受其他参
8
数的影响.另一类参数是非独立参数,如齿升量、齿距、容屑槽深度、容屑
系数等,这些参数既相互限制又相互依赖,第一类参数的选择比较容易.可以
用经验公式和数据库来解决.第二类参数比较复杂,只有通过优化的方法才
能得到较好的结果.
粗切齿升量的选择是一个比较复杂的问题.增大 a f 可使齿数减少,拉刀
长度变短,但同时又要求容屑槽深度增加.另外齿升量的增加又会引起拉削
力的增大,受到拉床和拉刀拉应力的限制.
齿距是决定拉刀长度的一个重要因素,t 越大,拉刀越长,同时工作齿数
越少.这样会在拉削过程中引起振动,生产效率低,降低刀具的使用寿命;t
过小,又会使容屑空间变小,从而限制了齿升量的增大.
其他参数如同时工作齿数 z i ,容屑槽深度 h,容屑系数 k 都是 a f 和 t 的
函数,只有当 a f 和 t 选择后才能确定.从上述参数分析可知,a f 和 t 是拉刀
设计的关键,在 a f 和 t 之间应有一最佳组合值,使得 a f 在拉床的额定应力
和拉刀的许用应力范围内达到最高,即使拉刀的长度最小.
1.1 目标函数的建立
确定以 af 和 t 为优化的自变量,A 为切削余量.拉刀长度是与拉削生产率、
成本及其工艺性能有关的参数,拉刀越短对使用和制造越有利,因而取粗切齿
部分长度 L 作为优化目标
[4]
F=minL（a f ,t）=tA/（2a f ）.
（1） 1.2 约束条件的建立
1）容屑槽空间的限制h- 1.13（ka f L w ） 1/ 2 ≥0.
（2）
式中 h 是与 t 有关的参数;k 为容屑系数,是与 t 和 af 有关的参数;Lw 为
拉削长度.
2）拉床额定拉力的限制F e -pπD wzi / zc ≥0.
（3）
9
式中 Fe 为拉床额定拉力;Dw 为拉削后孔直径;p 为单位切削力;zi 为同时工
作齿数,zi=INT（Lw/t）+1;zc 为组齿数.
3）拉刀许用拉应力的限制[σ] – 2pD wzi/zcdmin ≥0.
（4）
式中 [σ]为拉刀许用拉应力;dmin 为拉刀最小直径.
4）最大同时工作齿数的限制11-z i ≥0.
（5）
5）最小同时工作齿数的限制z i
- 3≥0.
（6）
6）最大齿距的限制25-t≥0.
（7）
7）最小齿距的限制t-4≥0.
（8）
8）弧形槽能保证稳定的分屑要求的最大齿升量
h-a f ≥0;f（D,n z ,z c ）-a f ≥0.
（9）
9）齿距应为 0.5 的整数倍t-Int（2t）/2=0.
（10）
1.3 优化模型
自变量:
a f ,t;
目标函数:
F=minL（a f ,t）=tA/2a f ;
10
约束方程:
g
（1）=h-1.13（kafLw）
1/2
≥0;g
（2）=F e -
pπD wzi/zc ≥0;g（3）=[σ]-2pD wzi/zcdmin ≥0;g（4）=11-
z i ≥0;g（5）=z i -3≥0;g（6）=25-t≥0;g（7）=t-4≥0;g（8）=h-
a f ≥0;g（9）=f（D,n z ,z c ）-a f ≥0;g（10）=t-Int（2t）/2=0.
2 优化算法
2.1 标准算法
复合形法是一种采用直接搜索方式求解非线性规划问题的数值计算方法,
这个方法可以在 N 维非线性约束的空间中自动选择并改进设计点,该方法的
一般步骤为
[2.3]
:
1）在可行域内生成 m>n+1 个点{x i }（i=1, 2,…,n,n+1,…,m）构
成初始复合形,这里需要注意两个问题:
①初始顶点的形成,可以人工选定,
也可随机产生;②需要检验初始顶点是否满足约束条件,即检验其可行性;
2）计算各顶点的目标函数值,将其由小到大的顺序重新编号,f（x 1 ）
≤f（x 2 ）≤…≤f（x m ）;
3）确定除去最坏点 x m 后复合形中其余 m-1 个点的中心点,即 xc=
1
m - 1
∑ xi ;
i=1
m-1
4）确定最坏点 x m 对中心点 x c 的映射点 x a =x c +α（x c -x m ）,α 为
映射系数,一般取 0.9～1.3;
5）检验映射点 x a 的可行性:
如果违背了某个约束条件,则按（x c +x a ）
11
/2 x a ,把映射点 xa 向中心移动一半距离,反复直至映射点 x a
点;
是可行
6）计算新的可行点的函数值 f（x
a
）,用它代替最坏点 x m ,完成一次
迭代,回到第二步;
7）重复以上过程,直到满足 f（x m ）-f（x 1 ）<ε,则终止.以上称为复合
形法的“标准算法”,由于该算法的概念简单、容易实现,且能有效灵活地
处理不等式约束问题,所以在结构化设计中得到广泛的应用.
2.2 存在的问题
把上述标准算法应用于工程实际时,就会发现它还存在以下几个问题:
1） 过多的可行性检验限制了其在优化设计中的有效应用.初始顶点生成和
映射点的确定,都要进行可行性检验,在结构优化设计中,可行性检验其实质
上就是结构分析过程,其计算量通常要占总工作量的 80%以上,因此结构分
析次数过多,必然会导致因计算时间过长而降低算法的效率.
2）迭代过程中向极值点逼近的速度问题.开始若干次迭代（一次迭代是对于
选取一个既满足约束条件又使目标函数值有所改善的新点所需的计算）,目
标函数值下降得很快,各顶点迅速接近极值点,一般来说,最初的（5～10）次
迭代函数值下降得最快.随着迭代次数的增加,函数值的变化却越来越缓慢,
也就是说,这时要使目标函数值有微小的改善,都要付出宝贵的计算时间.
3）局部最优点问题.用上述算法得到的最优点有可能是局部最优点,虽然可
通过多取几个初始点,经计算后得到几个最优点,然后比较得到全局最优点,
但这样必然会导致计算工作量的成倍增加.
2.3 分层复合形法
针对标准算法中存在的问题,采用“分层复合形法”,它是对标准复合
形法的改进,其基本思想是:
充分利用复合形法开始时目标函数值急剧下降
的特点,以迭代次数为控制参数,进行两层优化计算,为避免产生局部最优点,在
第一层迭代中,选取多组复合形分别地进行计算,经过若干次有效地迭代,各
顶点迅速地逼近最优点,分布在最优点附近.分层复合形法的基本步骤如下:
1）选择 n g 组初始顶点{x i }
（1） ,… , {x i }
（ng ）
（i=1,…,m）构成 n g 个初
始复合形,n g =Int[n/2]+1,n 为设计变量数.这里只要设计变量所取的值
不太小且相互间离得远些,就可不对初始顶点作可行性检验.
12
2）对各初始复合形标准算法第 2）~ 6）步的计算是第一层迭代,取映射率为
α 1 ,迭代次数为 n t1 ;
3）当各复合形都迭代 n t1 次以后,第一层迭代结束,取两个最好设计点组成
新的复合形进入第二层迭代,取映射率为 α 2
（α 2 <α 1 ）,迭代次数为 n
t2 ;第二层迭代得到的最优点可被认为全局最优点.
分层复合形法有以下几个优点:
①迭代次数大大减少;②以迭代次数为停
止准则,可根据需要人工控制计算工作量;③第二层迭代能有效地产生全局
最优点.
3 结 论
依据本文所述方法,已开发出具有高效率优化 CAD 系统,证明对传统算法的
改进是有效的.
参考文献:
[1]唐锡荣.CAD/CAM 技术[M].北京:
北京航空航天大学出版社,1994.
18-36.
[2] 蔡锁章.计算方法[M].北京:
中国科学技术出版社, 1993. 54-60.
[3] 徐灏.机械设计手册.第二卷[M].北京:
机械工业出版社, 1991. 40-41.
[4] 吴伏家,刘兆华.圆孔拉刀 CAD 系统研制[J].华北工学院院报, 1996,
（增刊）:
74-78.
13
机械优化设计案例 3
直齿圆柱齿轮传动的优化设计
摘要：
一、问题描述：
现有一单级渐开线直齿圆柱齿轮减速器，其输入功率 N=280kW，输入
转速 n1=980r/min，传动比 i=5。
小齿轮为实体结构，大齿轮为腹板式结构
（带有四个减轻孔），两齿轮各部分尺寸的符号如图一所示：
原用常规设计方法的设计结果为：
齿宽 B=B2=13cm，小齿轮齿数
z1=21，模数 m=0.8cm，l1=42cm，ds1=12cm，ds2=16cm。
现要求在保证承载
能力的条件下，通过优选上述有关参数，使减速器的体积达到最小。
二、建立优化设计目标函数：
齿轮传动优化设计中，设计变量一般选为齿轮传动的基本几何参数或
性能参数，例如齿数、模数、齿宽系数、传动比、螺旋角、变位系数和中
心距分离系数等。
齿轮传动的优化目标，较常见的是体积或质量最小，传动功率最大，
工作寿命最长，振动最小，启动功率最小等。
现在选体积最小为优化目标，而减速器的体积主要是取决于内部零件
14
（齿轮和轴）的尺寸大小，在齿轮和轴的结构尺寸确定之后，箱体的尺寸
将随之确定，因此将齿轮和轴的总体积达到最小作为优化目标。
减速器内部有两个齿轮和两根轴，为了简化计算，将轴视为光轴，则
有
V = Vs1 + Vs2 + V
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