经典专题空间几何的外接球和内切球教师版.docx
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经典专题空间几何的外接球和内切球教师版
专题
（一）一一空间几何体的外接球和内切球
一、典例探究
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2•b2•c2，即2^a2b2c2，求出R.
解：
V=a2h=16,a=2,4R2二a2a2h2=4416=24,S=24二，选C.
变式1、若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为..3，则其外接球的表面积是.
解:
4R2=3+3+3=9,S=4兀R2=9兀.
变式2、在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SCBC的中点，且AM_MN,若侧棱SA-2.3,
则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直.
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
形ABC的中心，SH_平面ABC，SH_AB，
AC二BC，AD二BD,CD_AB,AB_平面SCD，
.AB_SC，同理：
BC_SA，AC_SB，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2,AM_MN，SB//MN，
.AM_SB,AC_SB,SB_平面SAC,SB_SA,SB_SC,SB_SA,BC_SA,
.SA_平面SBC，SA_SC，故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
⑶题-1
变式3、在四面体S-ABC中,
.（2R）2=（2、.3）2•（2、.3）2•（2、.3）2=36，即4R2=36，正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二.
B
（3）题-2
SA_平面ABC,.BAC=120,SA二AC=2,AB=1,则该四面体的外
接球的表面积为（）
1040
A.11二B.7二C.D.-
33
解：
在ABC中，BC2二AC2AB2—2ABBCcos120=7,
BC二,ABC的外接球直径为
BC_、7_2、7
sinZBAC33
40■:
，选D.
-（2R）2=（2r）2SA二
/40
4盲，
2
变式4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积
是.
解：
三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,c・R），则
ab=12
」bc=8，二abc=24，二a=3，b=4，c=2，（2r）2=a2+b2+c2=29，S=4兀R2=29兀.
、ac=6
球心0；
径算法：
利用正弦定理，得—bC2r）,00^丄PA；
sinAsinBsinC2
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2=PA2•（2r）2=2R=』PA2•（2r）2；
②R2二r200：
=R=,r200,.
模型2:
如图6,7,8,P的射影是「ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.
图7-1
P
P
O
A
B
Oi
图8-3
解题步骤:
第一步：
确定球心o的位置，取ABC的外心01，则PQ’Of三点共线;
第二步：
先算出小圆01的半径AO^r，再算出棱锥的高PO^h（也是圆锥的高）；
222222
第三步：
勾股定理：
0A^01A010=R=（h-R）r，解出R.
方法二：
小圆直径参与构造大圆
例2、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）
16-
A.3-B.2-C.D.以上都不对
3
解：
选C,（、3-R）21二R2,3-2、3RR21=R2,4-2.3R=0,
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）模型1:
如图9-1，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r;
第二步：
在UPAC中，可根据正弦定理—bc2R，求出R.
sinAsinBsinC
图9-1图9-2
模型2:
如图9-2，平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径）
■
oc29C2O1O2=R2=r2O1O2二AC=2；R2-0Q2.
模型3:
如图9-3,平面PAC_平面ABC，且AB_BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是.'ABC的外心三棱锥P—ABC的三条侧棱相等=三棱P-ABC的底面.ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心01，则PQ’Oj三点共线；
第二步：
先算出小圆01的半径AO^r，再算出棱锥的高PO^h（也是圆锥的高）；
222
r2=（h一R）2r2，解出R.
解：
（1）由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4二R2=49二，
变式1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积
为•
4兀
解：
方法一：
找球心的位置，易知r=1，h=1，h=r，故球心在正方形的中心ABCD处，R=1,V=——
3
方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RfSAC的斜边是球半径，
4兀
2R=2，R=1，V
3
变式2、在三棱锥P-ABC中，PA二PB二PC-3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（
A.
兀B.—C.4兀
3
D.
4二
3
解：
选
R
D圆锥A,B,C在以r的圆上R=1
2
变式3、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球
O的求面上，厶ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的
直径,且SC=2，则此棱锥的体积为（）•
A2B.乜C・2
663
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
模型：
如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：
确定球心o的位置，01是ABC的外心，则OOj_平面ABC;
11
第二步：
算出小圆O,的半径AO^r,OO,AA,h（AA,二h也是圆柱的高）；
22
第三步：
勾股定理：
OA2=OiA2OO2=R2=（£）2R=.r2・（h）2，解出R.
例4、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
9
该六棱柱的体积为-，底面周长为3，则这个球的体积为
8
1
解：
设正六边形边长为a，正六棱柱的咼为h，底面外接圆的关径为r，则a=-，
2
底面积为S=6仝（丄）2=沁,V柱-Sh=^h,h=.3,R2=（3）2（丄）2=i,
4288822
4n
R=1，球的体积为V
3
变式1、直三棱柱ABC-ABQ1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA,=2,.BAC=120，则
此球的表面积等于
Q'Q‘_
解：
BC=2.3,2r--4,r=2,R=、5,S=20二.
sin120'
变式2、已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,NAEB=60“,
则多面体E-ABCD的外接球的表面积为
解：
折叠型，法一：
.EAB的外接圆半径为r^-/3,OO1=1,
变式3、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AC=6,A,AA=4则直三棱柱AB^A1B1C1的外
3
接球的表面积为.
第一步：
先画出如图所示的图形，将.BCD画在小圆上，找出.BCD和：
ABD的外心H1和H2；
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC；
第三步：
解OEH1，算出0H1，在RtOCH1中，勾股定理：
0H；•CH；=0C2.
例5、三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC，△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为
_2
—・・2
21
4
5
V15
R
=O2H
A:
+—二
R-
3
3
3
3
法-
1
1
，ah=1,
222225
厂v75
1：
O2H
二3，
O1H
二3
R-AO-AH2O1H2OQ2：
3
R二-
3
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
模型：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB二CD，AD二BC，AC二BD）第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD二BC二x，AB二CD二y，AC二BD二z，列方程组,
补充：
11
VA卫CD=abcabc4abc.
63
图12
（1）题
（1）题解答图
a=•.3,
S3a2
4
^3-3，三棱锥的体积为
4
变式2、在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的
表面积为
解：
如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2亠b2=9，
b2c2=4，c2a2=16.2（a2b2c2）=9416=29，2（a2b2c2^9429，
2929
S
22
变式3、如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球
的表面积为.
解：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，
2（a2b2c2）=253649=110，a2b2c2=55，4R2=55，S=55二.
2R=_3，
变式4、正四面体的各条棱长都为■.2，则该正面体外接球的体积为.
C
解：
这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中,
类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型
模型：
•APB=/ACB-90，求三棱锥P-ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点0，连接
OP,OC，贝yOA=OB=OC=OP二丄AB，■O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出2
例7、在矩形ABCD中，AB=4，
BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B-AC-D，则四
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定
面体ABCD的外接球的体积为（）
A.
125n
12
解：
2R=AC=5,R=5,V=4二R3二4二空，，选C.
23386
变式、在矩形ABCD中，AB=2,BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为解：
BD的中点是球心0,2R=BD=j13,S=4jtR2=13兀.
类型八、锥体的内切球问题
模型1:
如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DH）BD,P0二PH-r,PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH，建立等式：
坐二史，解出r.
图14
A
B
C
P
DHPD
图15
模型2:
如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径•
第一步：
先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
1
第二步：
求FHBC,PO二PH-r,PF是侧面PCD的高；
2OGpo
第三步：
由“POG相似于PFH，建立等式：
，解出.
HFPF
模型3:
三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径•
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：
设内切球的半径为r,建立等式：
Vp」bc二Vowc-Vo_pab'V°_pac7。
亠。
=
第三步：
解出r
3VP.ABC
SO_jABCSO_PAB'SO_PACSo_PBC
二、课后巩固
1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB二SC=4,则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解:
（2R）2f41616=6，R=3，选A.
242
解：
PAC的外接圆是大圆，2R二一24,R=-.
sin60v'3V3
5.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,AC=2,PA二PC=3,AB_BC,则三棱锥P-ABC
外接球的半径为.
9
6.三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABC,AC=2,PA_PC,AB_BC，则三棱锥P-ABC外接球的半径为
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心O,球半径为R=1.
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