高中物理必修二万有引力和航天专项练习.docx

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高中物理必修二万有引力和航天专项练习

万有引力和天体运动

1、万有引力和天体运动

1、重力的理解

地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：

（1）物体随地球自转的向心力：

 F向＝＝＝ω2， 

（2）物体自身的重力：

由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的增大而增大。

在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即

绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一

由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为:

例题（G）：

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求矿井底部和地面处的重力加速度大小之比？

（

）

例题：

赤道上物体重力加速度是g,物体在赤道上随地球自转的加速度是a,要使赤道上的物体飘起来,则转速应为原来的多少倍?

A、

；B、

；C、

；D、

。

2、开普勒行星运动规律

（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2）对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。

（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

其表达式为：

，其中a是椭圆轨道的半长轴（把轨道看成圆形

），T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量，K只与中心天体质量M有关

3、天体的质量、密度、周期

（1）测天体的质量：

测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径r和周期T， 

由G·M·2·r·（2π）2得

（2）测量天体的密度：

测量天体的半径

其中，若该卫星环绕天体表面进行运动，，

由上式可以看出，近地卫星运动中，天体密度只与表面环绕周期有关.

例题：

地球表面的卫星周期约为84分钟，估算地球的密度

已知地球的半径和重力加速度，估算地球的密度

（3）天体运动的周期：

，可以推得开普勒第三定律：

（常量）

例题（G）：

设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足（　　）

A、

 B．

 C．

 D．

2、卫星和航天

1、三个宇宙速度

第一宇宙速度分为两个别称：

航天器最小发射速度、航天器最大运行速度。

第一宇宙速度的推导 ：

人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，

第二宇宙速度：

11.2叫做第二宇宙速度，能脱离地球引力到达无穷远处的最小速度，达到这个速度之后会摆脱地球的引力，成为太阳的行星。

第三宇宙速度：

16.7叫做第三宇宙速度，能脱离太阳的引力到达无穷远处的最小速度。

2、同步卫星、近地卫星、天空中的热气球和地球上的物体

（1）若已知人造卫星绕地心做匀速率圆周运动的轨道半径为r，地球的质量为M，

①由

得卫星运行的向心加速度为：

； 

②由

得卫星运行的线速度为：

； 

③由

得卫星运行的角速度为：

； 

④由

得卫星运行的周期为：

； 

⑤由

得卫星运行的动能：

； 

即随着运行的轨道半径的逐渐增大，向心加速度a、线速度v、角速度ω、动能将逐渐减小，周期T将逐渐增大。

若通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度。

（2）近地卫星

①把在地球表面附近环绕地球做匀速率圆周运动的卫星称之为近地卫星，它运行的轨道半径可以认为等于地球的半径R0，其轨道平面通过地心。

若已知地球表面的重力加速度为g0，则 由

得：

； 

由

得：

； 

由

得：

。

若将地球半径R0=6.4×106m和g0=9.82代入上式，可得7.9×103，ω=1.24×10-3，5074s（约84分钟）

由于

，

和

且卫星运行的轨道半径r＞R0，所以所有绕地球做匀速率圆周运动的卫星线速度v＜7.9×103，角速度ω＜1.24×10-3，而周期T＞5074s。

（3）同步卫星

因为周期24h确定，所以同步卫星的高度都是确定的

3.56×107m（约为三万六千千米）

运行速率：

ｖ＝2π3.1

同步卫星的轨道与地球赤道共面，且是圆形轨道；至少发射三颗同步卫星且对称分布在同一轨道上,才能实现全球通信

（4）地球上的物体和热气球

热气球等同于地球上的物体，浮力相当于地面的支持力。

静止在地球表面上的物体，尽管地球对物体的重量也为，尽管物体随地球自转也一起转，绕地轴做匀速率圆周运动，且运行周期等于地球自转周期，与近地卫星、同步卫星有相似之处，但它的轨道平面不一定通过地心，

只有当物体在赤道上时，轨道平面才能过地心.地球对物体的引力F的一个分力是使物体做匀速率圆周运动所需的向心力ω2r，另一个分力才是物体的重量，即引力F不等于物体的重量，只有当0时，即物体在两极处，由于ω20，F才等于。

赤道上随地球自转而做圆周运动的物体与近地卫星、同步卫星的区别和联系：

A、赤道上物体受的万有引力只有一小部分充当向心力，另一部分作为重力使得物体紧压地面，而近地卫星、同步卫星的引力全部充当向心力，卫星已脱离地球；

B、赤道上（地球上）的物体、同步卫星与地球保持相对静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态。

C、轨道半径：

赤道上的物体和近地卫星都运动轨道相同，等于地球的半径，同步卫星的轨道半径大

D、运行周期：

同步卫星和赤道上地球上的物体周期相同，并且小于近地卫星的周期

E、向心加速度：

近地卫星向心加速度最大，地球上赤道上的物体向心加速度最小

三、变轨问题

卫星由低轨道运动到高轨道，要加速，加速后作离心运动，势能增大，动能减少，到高轨道作圆周运动时速度小于低轨道上的速度。

当卫星由于某种原因速度突然改变时，F万和2不再相等，因此不能再根据v2来计算r

当以第一宇宙速度发射人造卫星，它将围绕地球表面做匀速圆周运动；若它发射的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，则它将围绕地球做椭圆运动。

有时为了让卫星绕地球做圆周运动，要在卫星发射后做椭圆运动的过程中二次点火，以达到预定的圆轨道。

设第一宇宙速度为v，则由第一宇宙速度的推导过程有

。

在地球表面若卫星发射的速度v1＞v，则此时卫星受地球的万有引力

应小于卫星以v1绕地表做圆周运动所需的向心力m

，故从此时开始卫星将做离心运动，在卫星离地心越来越远的同时，其速率也要不断减小，在其椭圆轨道的远地点处（离地心距离为R′），速率为v2（v2＜v1），此时由于G

＞m

，卫星从此时起做向心运动，同时速率增大，从而绕地球沿椭圆轨道做周期性的运动。

如果在卫星经过远地点处开动发动机使其速率突然增加到v3，使G

＝m

，则卫星就可以以速率v3，以R′为半径绕地球做匀速圆周运动。

同样的道理，在卫星回收时，选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速率突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星。

例题：

飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，（地球半径为）

求飞船由A点到B点所需的时间。

四、双星系统和三星系统

1、“双星”问题：

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

“双星”问题的分析思路

质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径r1，r2；周期T1，T2；角速度ω1，ω2线速度V1V2；

向心力相同，是一对作用力和反作用力。

周期相同。

角速度相同

m1ω2r1=m2ω2r2

m1r12r2r1221

V1=ωr1V2=ωr2

V121221

m12=4π2L32

2、“三星”问题有两种情况：

第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；

第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

公式推导

1、在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为

，质量分别为

和

，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；

（3）双星的线速度。

2、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

（引力常量为G）

3、宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：

一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设三颗星质量相等,每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期

（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R,求星体运动的线速度和周期

4、两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：

A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。

C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。

D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

5（G）如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.

（1）求两星球做圆周运动的周期；

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024和7.35×1022.求T2与T1两者平方之比．（结果保留3位小数）

（

，

）

6、（G）用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的大小都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）计算该双星系统的运动周期T计算。

（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：

T计算=1：

（N>1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

（

）

7、（G）已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。

卫星B沿半径为r（r＜h）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同。

求：

（1）卫星B做圆周运动的周期；

（2）卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）。

（

，

）

8、（G）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：

三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力大小；

（2）B星体所受合力大小；

（3）C星体的轨道半径；

（4）三星体做圆周运动的周期T．

（

，

，

，

）