完整版高中物理带电粒子在磁场中的运动知识点汇总docx.docx
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难点之九：
带电粒子在磁场中的运动
一、难点突破策略
（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点
1.产生洛伦兹力的条件：
①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行．
2.洛伦兹力大小：
当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；
当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB；
当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f=qυB·sinθ
3.洛伦兹力的方向：
洛伦兹力方向用左手定则判断
4.洛伦兹力不做功．
（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律
带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：
1.若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．
2.若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．
qvBmv2
①向心力由洛伦兹力提供：
R
mv
R
②轨道半径公式：
qB
2R
2m
m
T
，可见T只与q有关，与v、R无关。
③周期：
v
qB
（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。
1.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题
（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。
确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，
t
T或t
T
有时需要建立运动时间
t和转过的圆心角α之间的关系（
）作为辅助。
圆心的确定，通常有以下
两种方法。
①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P为入射点，M为出射点）。
②已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂
线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-2,P为入射点，M为出射点）。
图9-1图9-2图9-3
（2）半径的确定和计算：
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。
并注意以下两个重要的特点：
①粒子速度的偏向角等于回旋角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍，如图9-3所示。
即：
＝＝2
t。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ
/互补，即θ＋θ/＝180o。
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为
T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示
t
T或t
T
360
2。
注意：
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。
①带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，
则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，
入射速度方向、
出射速度方向与边界的夹角相等；
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。
例1：
如图9-4
所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于
xy平面并指向纸面外，磁感应强度为
B，
一带正电的粒子以速度从
O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置
与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。
图9-4图9-5
【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并
应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。
【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图
9-5
所示，找出圆心
A，向
x轴作垂线，垂足为
H，由与几
何关系得：
①
带电粒子在磁场中作圆周运动，由
解得②
①②联立解得
【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。
例2：
电视机的显像管中，电子（质量为
速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图
时，电子束将通过O点打到屏幕的中心
θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？
m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加
9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场
M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度
图9-6
图9-7
【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀
速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。
【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点
垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。
a、b分别为进入和射出的点。
做
a、b点速度的
mv2
eU
设电子进入磁场时的速度为
v，对电子在电场中的运动过程有：
2
evB
v2
m
对电子在磁场中的运动（设轨道半径为
R）有：
R
r
r、R的关系为：
tan
由图可知，偏转角θ与
2R
B12mUtan
联立以上三式解得：
re2
【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。
2.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的范围型问题
例3：
如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的
速度V0垂直射入磁场中。
要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？
EF上有粒子射出的区域？
【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越
大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨
迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。
【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A
并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。
图9-8
图9-9
图9-10
临界半径R0由R0
R0Cosθd
R0
d
有:
1Cos
；
故粒子必能穿出
EF的实际运动轨迹半径
R≥R0
mv0
d
v0
qBd
R
1
Cos
m（1
Cos
）
即:
qB
有:
。
由图知粒子不可能从又由于粒子从点A有粒子射出的区域为
P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；
进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中
PG，
PGR0Sindcot
dSin
dcot
1Cos
且由图知:
。
【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临
界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。
例4：
如图9-11所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的
电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？
②若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
2eBL
③若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为m，则档板上出现电子的范围多大？
图9-11图9-12
【审题】电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其
受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O；
由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这
样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点，最高点为动态圆与
MN相割，且SP2为直径时P为最高点。
【解析】①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，
L
mv0
L
2mv
0
R
B
则电子圆周运动的轨道半径必满足
2
，由eB
2
得：
eL
L
mv0
L
R
，由eB
2
②要使电子从S发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的
O点，故仍有粒子圆周运动半径
2
v0
eBL
有：
2m
2eBL
R
/
mv
2L
③当从S发出的电子的速度为
m时，电子在磁场中的运动轨迹半径
qB
作出图示的二临界轨迹
，故电子击中档板的范围在
P1P2间；
对SP1弧由图知OP1
（2L）2L2
3L
对SP2弧由图知
OP2
（4L）2
L2
15L
【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径
R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径
R
与R0的大小关系确定范围。
3.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题
寻找产生极值的条件：
①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。
例5：
图9-13中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于
纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为
v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏
转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？
【审题】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的
轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作
出α粒子的运动轨迹进行求解。
R
mv
0.2m2r
【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：
qB
α粒子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆
O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角
即为最大偏转角θ。
由上面计算知△SO/P必为等边三角形，故θ＝60°
图9-13
此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动
的最长时间。
【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
例6：
一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀
强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
【审题】由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的
运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁
场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。
【解析】由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。
∵△ABC为等边三角形，故图中α＝30°
2rPQ2RCos
3
mv0
qB
则：
S
r
23m2v02
4q2B2
故最小磁场区域的面积为
。
图9-14
【总结】根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”
。
4.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的多解型问题抓住多解的产生原因：
（1）带电粒子电性不确定形成多解。
（2）磁场方向不确定形成多解。
（3）临界状态不唯一形成多解。
（4）运动的重复性形成多解。
例7：
如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。
质量为m，电量大小为q的
带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60o，试分析计算：
（1）带电粒子从何处离开磁场？
穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？
（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？
图9-15图9-16
【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。
若带电
粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。
粒子速率一定，所以不
论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。
只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。
【解析】粒子运动半径：
。
如图9-16，有
带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为
（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角
A点与O点相距
若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角
B点与O点相距
（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。
例8：
一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速
度可能是（）
A.B.C.D.
【审题】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。
在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。
因此分两种情况应用牛顿第二定律
进行求解。
【解析】当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知
，得
此种情况下，负电荷运动的角速度为
当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有，得
此种情况下，负电荷运动的角速度为
应选A、C。
【总结】本题中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成双解。
例9：
如图
9-17
甲所示，
A、B
为一对平行板，板长为
L，两板距离为
d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大
小为
B，方向垂直纸面向里，一个质量为
m，带电量为
+q的带电粒子以初速
，从
A、B两板的中间，沿垂直于磁感
线的方向射入磁场。
求在什么范围内，粒子能从磁场内射出？
【审题】粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。
要想使粒子
能射出磁场区，半径r必须小于d/4（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）
【解析】如图
9-17乙所示，当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，则其圆心为图中
O1点，半径
。
因此粒子从左边射出必须满足
。
Bqv0
v02
m
即:
由于
r
所以
当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中
O2点，半径为。
图9-17
由几何关系可得:
因此粒子从右边射出必须满足的条件是，即
所以当
或
时，粒子可以从磁场内射出。
【总结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，
也可能转过
180o
从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。
例10：
如图9-18
所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为
E，方向竖直向下。
在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度
为B，方向垂直纸面向里。
在x轴上有一点P，离原点的距离为a。
现有一带电量+q的粒子，质量为
m，从y轴上某点
由静止开始释放，要使粒子能经过
P点，其初始坐标应满足什么条件？
（重力作用忽略不计）
9-18
【】根据粒子在中的加速运和粒子在匀磁中的匀速周运知，要使粒子能通
点，由于粒子在磁中偏到达P点可能的半个数不确定，致多解。
【解析】
（1）粒子从y上由静止放，在加速下入磁做半径R的匀速周运。
由于粒子可能偏一个、
二个⋯⋯半到达P点，
P
故
①
放距O的距离y1，有:
②
③
由①、②、③式有
9-19
【】粒子在部分是磁，部分是的空运，运往往具有重复性，因而形成多解。
5.粒子在几种“有界磁”中的运
（1）粒子在状磁中的运
例11：
核聚反需要几百万度以上的高温，把高温条件下高速运的离子束在小范内（否不可能生核反
），通常采用磁束的方法（托卡克装置）。
如9-19所示，状匀磁成中空区域，中空区域中的粒子
只要速度不是很大，都不会穿出磁的外而被束在区域内。
状磁的内半径R1=0.5m，外半径R2=1.0m，
磁的磁感度
B=1.0T，若被束粒子的荷比
q/m=4×107
C/㎏，中空区域内粒子具有各个方向的速度。
算：
（1）粒子沿状的半径方向射入磁，不能穿越磁的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁的最大速度。
【】本也属于极，求“界迹”是解的关。
要粒子沿状的半径方向射入磁，不能穿越磁，粒子的界迹必要与外相切；要使所有粒子都不穿越磁，保沿内切方向射出的粒子不穿越磁，即运迹与内、外均相切。
【解析】
（1）迹如9-20所示
由中知r12
R12
（R2
r1）2
，解得r1
0.375m
BqV1
mV12
V1
Bqr1
1.510
7m/s
由
r1得
m
r
所以粒子沿状的半径方向射入磁，不能穿越磁的最大速度
1
V11.5
107m/s。
9-20
（2）当粒子以V2
的速度沿与内相切方向射入磁且道与外相切，以
V1速度沿各方向射入磁区的粒子
都不能穿出磁界，如
9-21所示。
r2
R2
R1
0.25m
O
2
由图中知
BqV2mV22
V2
Bqr2
1.0
107m/s
O2
由
r2
得
m
图9-21
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
V21.0
107m/s
【总结】带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。
（2）带电粒子在有“圆孔
”的磁场中运动
例12：
如图9-22
所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝
a、b、c和
d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为
B。
在两极间加
上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。
一质量为ｍ、
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