市北资优七年级分册 第11章 1113 十字相乘法+郑宇.docx
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市北资优七年级分册第11章1113十字相乘法+郑宇
11.13十字相乘法
怎样把多项式
，
分解因式？
这两个多项式都是二次三项式，但都不是完全平方式，不能运用
完全平方公式分解因式.
观察
1.口答计算结果：
（1）
（2）
在多项式的乘法中，有
（3）
（4）
2.问题：
你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
归纳
等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是一个二次三项式，这个过程将积的形式转化成和差形式，进行的是乘法计算.反过来可得：
反之，等式的左边是二次三项式，右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化成积的形式，进行的是因式分解.
将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）
6=；12=；24=；
-6=；-12=；-24=；
要将二次三项式
因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p，满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
用十字交叉线表示：
x+a
x+b
由于把
中的q分解成两个因素有多种情况，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
利用十字交叉法来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对二次项系数为1的二次三项式进行因式分解时，先把常数项分解成两个整数的积，再判断这两个整数的和是否等于一次项系数.如果恰有这两个整数的和等于一次项系数，那么这个二次三项式就可以用十字相乘法分解因式.
例1.因式分解：
（1）
；
（2）
x2x6
x3x-1
原式=
原式=
例2.分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
解：
（1）原式
（2）原式
（3）原式
对二次三项式
进行因式分解，应重点掌握以下两个方面：
1.掌握方法：
拆分常数项，验证一次项.
2.符号规律：
当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因素与p的符号相同.
显然，完全平方公式可以看作是十字相乘的特殊情况.
练习11.13
（1）
1.分解因式：
2.分解因式：
3.分解因式：
4.分解因式：
5.分解因式：
6.分解因式：
7.分解因式：
8.分解因式：
9.分解因式：
10.分解因式：
思考
如何分解因式：
.
解法一：
（主元法）原式
解法二：
原式
解法三：
原式
x-4y-3
x2y2
解法三称为双十字相乘法，也叫长十字相乘法.式中的三个十字叉实际是三次十字相乘.其中两次十字相乘就可以确定算式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下.
双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为二元二次六项式的多项式的因式分解.
例3分解因式：
.
解先进行两次十字相乘，由算式
（x）（y）（x）
（1）
2-324
323-5
-52
得
为避免混淆，我们在算式中写上（x）、（y）、
（1），表示相应的列是x、y的系数或常数项，然后把两个算式拼成
（X）（y）
（1）
2-34
32-5
验证一下，正好有
于是
例4分解因式：
解由算式
（x）（y）（z）
1-3-2
1-3-3
得
例5已知：
a、b、c为三角形的三条边，且
，求证：
2b=a+c
解由算式
（a）（b）（c）
1-13
1-21
得
于是，由已知条件，得
因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以
从而
即
对于形如
的多项式的因式分解，基本步骤是：
（1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因素，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y的项的交叉之积的和等于原多项式中含y的一次项Ey，同时这两个因素与含x的项的交叉之积的和等于原多项式中含x的一次项Dx.
练习11.13
（2）
1.分解因式：
2.分解因式：
3.分解因式：
练习11.13
（1）答案
1.原式
2.原式
3.原式
4.原式
5.原式
6.原式
7.原式
8.原式
9.原式
10.原式
练习11.13
（2）答案
1.原式
2.原式
3.原式
11.13十字相乘法练习
练习11.13
（1）
1.分解因式.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.分解因式.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.分解因式.
（1）
（2）
（3）
（4）
练习11.13
（2）
1.分解因式：
2.分解因式：
3.分解因式：
4.分解因式：
5.分解因式：
6.分解因式：
练习11.13
（1）答案
1.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3.
（1）
（2）
（3）
（4）
练习11.13
（2）答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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