习题集含详解高中数学题库高考专点专练之81平面向量的实际应用.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之81平面向量的实际应用

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之81平面向量的实际应用

一、选择题（共40小题；共200分）

1.用力推动一物体水平运动，设与水平面的夹角为，则对物体所做的功为

A.B.

C.D.

2.已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行”，则表示

A.向东南航行B.向东南航行

C.向东北航行D.向东北航行

3.将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为

A.B.

C.D.

4.有一两岸平行的河流，水速为，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝方向行驶．

A.与水速成B.与水速成C.垂直于对岸D.不能确定

5.若向量，分别表示两个力，，则为

A.B.C.D.

6.某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是

A.B.C.D.

7.已知三个力，，同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于

A.B.C.D.

8.用力推动一物体，使其沿水平方向运动，与竖直方向的夹角为，则对物体所做的功为

A.B.C.D.

9.将函数的图象按向量平移到，则的函数解析式是

A.B.

C.D.

10.已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为

A.B.C.D.

11.设点，，将向量按向量平移后得到，则

A.B.C.D.

12.一质点受到平面上的三个力，，（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为和，则的大小为

A.B.C.D.

13.人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度的大小为

A.B.C.D.

14.质点在平面上做匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为，则后点的坐标为

A.B.C.D.

15.点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为，则秒后点的坐标为

A.B.C.D.

16.两个大小相等的共点力，，当它们夹角为时，合力大小为，则当它们的夹角为时，合力大小为

A.B.C.D.

17.共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为

A.B.C.D.

18.已知作用在点的三个力，，且，则合力的终点坐标为

A.B.C.D.

19.把函数的图象按向量经一次平移后得到的图象，则平移向量等于

A.B.C.D.

20.已知作用于原点的两力，，为使它们平滑，需加力为

A.B.C.D.

21.若把一个函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则原函数图象的解析式为

A.B.

C.D.

22.若直线按向量平移后与圆相切，则的值为

A.B.C.D.

23.一条河的宽为，水流的速度为，一船从岸边处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的处，船在静水中的速度是，则在航行过程中，船的实际速度的大小为

A.B.

C.D.

24.河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向驶向对岸，它的实际航行速度是．则小船的静水速度大小为

A.B.C.D.

25.若，，且，分别是直线，的方向向量，则，的值分别可以是

A.B.C.D.

26.一质点受到平面上的三个力（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为和，则的大小为

A.B.C.D.

27.设为内一点，为的边上一点，且满足，，则

A.B.C.D.

28.已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定经过的

A.垂心B.重心C.内心D.外心

29.已知，是所在平面上的点，且，

则直线一定通过的

A.垂心B.重心C.外心D.内心

30.如图所示，在重的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为，，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为

A.，B.，

C.，D.，

31.已知是内部一点，，，且，则的面积为

A.B.C.D.

32.当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为．若，则

A.B.C.D.

33.已知一物体在共点力，的作用下产生位移，则共点力对物体做的功为

A.B.C.D.

34.一质点受到平面上的三个力，，（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成角，且，的大小分别为和，则的大小为

A.B.C.D.

35.设在的内部，且，的面积与的面积之比为

A.B.C.D.

36.在内，存在一点，使最小，则点是的

A.重心B.外心C.垂心D.内心

37.已知是正三角形内部一点，，则的面积与的面积之比是

A.B.C.D.

38.设为的外心，且，则的内角

A.B.C.D.

39.在中，点满足，为内一点，且满足，则

A.B.C.D.

40.设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且，则称，调和分割，，已知平面上的点，调和分割点，，则下面说法正确的是

A.可能是线段的中点

B.可能是线段的中点

C.，可能同时在线段上

D.，不可能同时在线段的延长线上

二、填空题（共40小题；共202分）

41.在水流速度为千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 ．

42.一人用绳拉车沿直线方向前进米．若绳与行进方向的夹角为，人的拉力为牛顿，则人对车所作的功为 ．

43.已知力的大小为，与水平方向的夹角为（斜向上），使物体沿水平方向运动了，则力所做的功为 ．

44.一条河宽为，一船从出发航行垂直到达河正对岸的处，船速为．水速为，则船到达处所需时间为 ．

45.一辆汽车从点出发向西行驶了千米到达点，然后又改变方向向西偏北方向走了千米到达点，最后又改变方向，向东行驶了千米到达点．则 千米．

46.一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶的速度大小为，则河水流速的大小为 ．

47.一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际行驶速度的大小为，则河水的流速的大小为 ．

48.一飞机向南飞行千米，然后改变方向，向西飞行千米，分别用，表示该飞机的前后两段飞行，则飞机的飞行路程为 ，而表示的实际意义为 ．

49.某重量为的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数，那么绳子与地面成 角时，拉力最小．

50.人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为 ．

51.某人用绳拉车沿直线方向前进，若绳与行进方向的夹角为，人的拉力为，则人对车所做的功为 ．

52.用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重力为，则每根绳子的拉力大小是 ．

53.一个重的物体从倾斜角，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是 ．

54.向量方法在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：

⇔ ⇔ ．

（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：

非零向量，，⇔ ⇔ ．

（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式  ．

（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：

 ．

55.直线的方向向量和法向量

（1）直线的方向向量为 ，法向量为 ．

（2）直线的方向向量为 ，法向量为 ．

56.质点在平面上做匀速直线动动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为，则后点的坐标为 ．

57.在长江南岸渡口处，江水以的速度向东流，渡船的速度为．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．

58.两个力，作用于同一个质点，使点从点移到点，则对质点做的功 ．（即与的数量积）

59.原点受两个力与的作用，，为牛顿，为牛顿，则这两个力的合力的大小是 牛，与的夹角是 ．

60.如图，在直角梯形中，，，，动点在内运动（含边界），设，则的取值范围是 ．

61.若要拖动一辆汽车至少需要的力，现有大小分别为的力和的力作用在这辆汽车上，则当两个力的夹角满足 时，才能拖动这辆汽车．

62.一质点受到平面上三个力，，的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，，则 ．

63.已知作用于同一物体的两个力，的大小分别是，，，所成的角为，则合力的大小为 ；合力与的夹角的余弦值为 ．

64.平面内三个力，，作用于同一个点且处于平衡状态，已知，的大小分别为，，与的夹角为，则与的夹角是 ．

65.已知点是的重心，则 ．

66.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是 （写出正确的所有序号）．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

67.如图所示，在的斜坡上，放着重量为的物体，若摩擦力为，物体沿着与坡面平行的方向做匀速直线运动，则作用在物体上的与坡面平行的拉力的大小为 ．

68.在四边形中，，，则四边形的面积是 ．

69.设是图形上的一点，将图形按向量平移，得到图形，相应地，点平移后得到点，我们把上述的变换称之为图形按照向量的一个平移变换．

（1）把函数的图象按向量平移变换后得到的图象，则可以是 ．

①；②；③；④．

（2）若点按照向量平移后得到点，则向量 ．

70.已知一物体在共点力，的作用下产生位移，则共点力对物体所做的功为 ．

71.平面上有两个向量，，今有动点从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为．另一点从出发，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为．设，在秒时分别在，处，则当时， ．

72.在中，已知，且，则这个三角形的形状是 ．

73.如图所示，绳子的点处拴着一个重物，保持绳与竖直方向的夹角不变，改变绳与水平的夹角，并保持物体处于静止状态，则绳子所受的拉力变化情况可用函数来描述，则函数的最小值为 ．

74.河水从西向东流，流速为，一轮船以的速度垂直于水流方向向北横渡，则轮船的实际航行速度为 ，航行方向为 ．

75.某船以的速度向东航行，船上有人测得风自北方来．若船速加倍，则测得风自东北来，则风速大小为 ．

76.有一两岸平行的河流，水的速率为，有一小船想行驶到对岸，小船的速率为，为使所走路程最短，小船应朝 的方向行驶．

77.函数的图象是由函数的图象按向量平移得到的，则的解析式为 ．

78.如图，在圆的内接中，是的中点，．若，则 ．

79.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足，，为边上的一个动点，则的最小值为 ．

80.如图，在等腰三角形中，已知，，，分别是边，上的点，且，，其中，．若，的中点分别为，，且，则的最小值是 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.如图，质量为的物体静止在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力的大小．

82.在重的物体上系有两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为，（如图所示），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．

83.在水流速度为的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．

84.一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了．拉力的大小为，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示．求所做的功．

85.一艘船从点出发以的速度向垂直于河对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与水的流速间的夹角表示）．

86.如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且，连接并延长交于点，求的值．

87.在风速为的西风中，飞机以的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

88.质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿斜面角的光滑斜面向上滑行的距离（如图所示）

（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；

（2）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少?

89.2012年英国伦敦奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东，速度为，此时水的流向是正东，流速为，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度与方向．

90.已知，为中线，求证：

．

91.如图1，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），点，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：

．

92.如图所示，若点是内一点，并且满足，求证：

．

93.如图，已知在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，用向量方法证明四边形也是平行四边形．

94.如图所示，已知平行四边形中，，在对角线上，且．求证四边形是平行四边形．

95.如图，在四边形中，已知，分别是，的中点，且，求证：

且．

96.设，其中，，求的最小值．

97.在内任意取一点，，，的面积分别记为，，．

（1）试求；

（2）试判断是线性相关还是线性无关．

98.如图，已知点是的重心．

（1）求；

（2）若过的重心，且，求证：

．

99.已知点为的外心，以线段，为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．

（1）若，，，，试用，，表示；

（2）求证：

；

（3）若中，，，外接圆的半径为，用表示．

100.已知常数，向量．经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：

是否存在两个定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

答案

第一部分

1.D2.A3.A4.B【解析】如图所示，是水速，为船速，是船的实际速度，且．

在中，，

所以，

所以．

5.C

6.B【解析】在竖直方向运动的时间由，解得，

故在水平方向的位移大小为．

7.D【解析】．

8.D【解析】根据力对物体做功的定义，．

9.A10.B

11.B【解析】向量和位置无关，所以无论怎样平移，向量不变．

12.D【解析】由已知得，，故，．

13.C14.C【解析】设后点的坐标为，则，解得，．

15.C

16.B【解析】，当，由平行四边形法则知：

．

17.D【解析】．所以．

18.A【解析】，

设合力的终点为，则．

19.A20.C

21.D22.A23.C【解析】提示：

船的实际速度就是和的合速度，且垂直于河岸线．

24.B25.A

26.D【解析】设，，，则，，所以，即的大小为．

27.B【解析】因为，所以，又．如图所示，

所以，，所以．

28.B29.D30.C

31.B【解析】是内部一点，，所以为的重心；，，，．

32.D【解析】如图所示．

．

又因为，

所以．

所以．

33.D【解析】

34.D【解析】，

所以．

35.B

【解析】如图，令是的中点，

则有，

又，

所以，即，，三点共线，且，

所以到的距离是点到的距离的，

所以到的距离是点到的距离的，

所以的面积与的面积之比为.

36.A【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．设，，，，则

要使上式取最小值，只需，，即

所以点为的重心．

37.B【解析】由已知得．如图，分别是对应边的中点．

由平行四边形法则知

故．由于为正三角形，故

又是中点，故到的距离是正三角形高的一半．所以．

的面积与的面积之比为．

38.B【解析】

由为的外心，设垂直平分．又，且，而，所以，所以，，得.

39.A40.D

【解析】由已知，，，且．

A选项，当是中点时，，此时无解，不满足题意．

B选项，同上可得无解，不满足题意．

C选项，如果，同时在线段上，那么，，无法使成立，不满足题意．

D选项，如果，同时在线段延长线上，那么，，无法使成立，所以，不可能同时在线段的延长线上，即正确．

第二部分

41.

【解析】如图用表示水流速度，表示与水流垂直的方向的速度，则表示船实际航行速度，

因为，，所以解直角三角形．

42.焦耳

43.

44.

【解析】船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示．

，．

根据勾股定理，

所以所需时间为．

45.

【解析】如图所示．

由题意，易知与方向相反，故与共线．

又，

所以在四边形中，且．

所以四边形为平行四边形．

所以千米．

46.

47.

48.千米，向西南方向位移千米

49.

50.

51.

【解析】（）．

52.

53.

【解析】．

54.

（1），，

（2），，（3），，（4）

55.

（1），，

（2），

56.

【解析】设后点的坐标为，则，解得，．

57.北偏西

58.

【解析】．

59.，

60.

【解析】

解法1如图建立直角坐标系，则点，．设点，则，所以则．又（含边界）所表示的区域是由线性规划知识可得，在线段上取得最小值，在点处取得最大值．

解法2建立如图所示直角坐标系，过点做，分别交，于点，．

当点在上向右滑动时，不变，变大，故的最小值只能在边界取到，最大值只能在边界取到．

设．

因为，，，．所以．

故．

所以．

又，故．

所以，．

所以．

即

61.

62.

【解析】由，得，．所以．

63.，

【解析】因为

所以．

设与的夹角为，

则，

即与的夹角的余弦值为．

64.

【解析】如图，设三力作用于点，与的合力为，由共点力平衡，得，令，，，．

因为，

所以．

在中，由余弦定理，得

，

所以，即．

又由正弦定理，得

，

所以，．

所以与的夹角为．

65.

【解析】如图所示，连接并延长交于点，点为的中点，延长到点，使，

则，所以．

66.①③

【解析】设水的阻力为，绳的拉力为，与水平方向夹角为．

则，所以．因为增大，减小，所以增大．因为增大，所以船的浮力减小．

67.

68.

【解析】已知向量满足，而均为单位向量，所以可得四边形为菱形，易求，，则四边形的面积是．

69.④，

【解析】

（1）设，为函数图象上的一点，则为函数图象上的点的对应点，所以，所以有，即．当时，．

（2）取为坐标原点，由题意知，于是．

70.

【解析】对于合力，其所做的功为．

71.

【解析】因为，，

所以．

又因为，

所以．

因为，

所以．

所以当时刻时，点的位置为，点的位置为．

所以．

因为，

所以．

所以．

72.等边三角形

【解析】，

所以．因为，所以．又由题意，得，所以该三角形为等边三角形．

73.

【解析】因为重力、绳子的拉力方向不变，其中重力大小也不变，所以三个力形成的受力三角形如图所示，

显然，绳子所受的拉力随着绳子与水平的夹角的增大先减