完整版高中不等式试题和答案.docx
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完整版高中不等式试题和答案
不等式
、选择题:
1不等式（1+x）（1—|x|）>0的解集是
A.{x|0实v1}
B.{x|xv0且x^—1}
C.{x|—1vxv1}D.{x|x<1且x^—1}
2.直角三角形ABC的斜边AB=2，内切圆半径为r，贝Ur的最大值是
A.2B.1C.-2D.2—1
3.
给出下列三个命题
②若正整数m和n满足m
其中假命题的个数为
A.0B.1C.2D.3
4.不等式|2x—Iog2x|v2x+|log2x|的解集为
A.（1,2）B.（0,1）C.（1,+s）D.（2,+s）
5.
如果x,y是实数，那么xyv0"是“i|—y|=|x|+|y|的
9.某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增
长率为x,则
abababab
A.x=B.xw-C.x>D.x>-
2222
10.设方程2x+x+2=0和方程Iog2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f（x）=（x+p）（x+q）+2,
则
A.f
（2）=f（0）（2）（2）D.f（0）（2）
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：
11.
对于—1（2）^ax<
（1）2x+a_1成立的x的取值范围是
三、解答题：
16.（本题满分l2分）
设函数f（x）2|x1|x1，求使f（x）>2J2的x取值范围.
17.（本题满分12分）
已知函数f（x）2sin2xsin2x,x[0,2].求使f（x）为正值的x的集合.
18.
（本题满分14分）
立的条件;
91
厂乞（x（0,2））的最小值，指出取最小值时x的
值.
19.（本题满分14分）
设函数f（x）=|x—m|—mx,其中m为常数且m<0.
⑴解关于x的不等式f（x）<0；
⑵试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值
20.（本题满分14分）
已知a>0，函数f（x）=ax—bx2.
⑴当b>0时，若对任意x€R都有f（x）1，证明a2b;
⑵当b>1时，证明对任意x[0,1],都有|f（x）|1的充要条件是b—1a2ib;
⑶当0对任意x[0,1],都有|f（x）|1的充要条件.
21．（本题满分14分）
⑴设函数f（x）xlog2x（1x）log2（1x）（0
x1），求
⑵设正数p1,p2,p3,,p2n满足p1p2p3
p2n1，
p1log2p1p2log2p2p3log2p3
p2nlog2p2n
f（x）的最小值；
证明
n．
、选择题
［不等］符号定，比较技巧深参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
C
A
B
C
C
B
A
二、填空题11.XW0或x>2;12.155;13.（3]-14；15.②④
2'4
三、解答题
3
16.解：
由于y=2X是增函数，f（x）>22等价于|x+1|—|x—1|>-,①2
分
（i）当x>1时，|x+1|—|x—1|=2。
二①式恒成立5
分
33
（ii）当—1vxv1时，|x+1|—|x—1|=2x。
①式化为2x^2，即4三x<18
分
（i）当xw—1时，|x+1|—|x—1|=—2。
・••①式无解
3
综上，x的取值范围是[3，+m）。
……12分
17.解：
•••f（x）1cos2xsin2x2分
1.2sin（2x-）4分
4
f（x）01.2sin（2x）0
sin（2x）6分
42
5八
—2k2x2k8分
444
kxk10分
4
又x[0,2].
37
•-x（0,）（,）12分
44
18•解：
（1）应用二元均值不等式，得
—）（xy）a2b2a2—b2-a2b22ja2—b2—（ab）2,
yxyxy
222
ab（ab）
xyxy
当且仅当亠2y'2Xrrab
，即一
y
时上式取等旦
y
号.
（2）由
（1）
f（x）
22
2x
2x
（23）2
25.
2x（12x）
2
当且仅当•
2x
1
—时上式取最小值，即［f（X）］min25.……5
点评：
给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质.
，即
12x
14分
（1—m）x19.解:
（1）由f（x）<0得，|x—m|m
2x
①当m=—1时，
0
②当一1X
③当m<—1时，
综上所述，当m<—1
m
1m
m
1m
m
1m
m
1m
mm
1+mm
X<1—I
时，不等式解集为｛x|x<1—
当m=-1时，不等式解集为｛x|x<—
当—1（1m）xm,xm（1m）xm,xm
■/m<0,「.1—m>0,f（x）在［m,
m）上是减函数或常数，•••—
故f（x）存在最小值的充要条件是
（2）f（x）=
+旳上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，则
（1+m）O即m»1,又m<0,「.一1—1令1<0，且f（x）min=
2
f（m）=—m.
f（x）在（-
14分
20.解：
⑴对已知二次函数应用配方法,
得f（x）
b（x
2
2b「4b，当X&R时，f（x）max
a2
4b，
日对任意x€R都有f（x）1
疋，
f（X）max
2
a
1
4b
f（X）max1,
f（X）min1,
（*）
f（x）一b（x—2b
2
a
+-,
4b
（x[0，1]）
当2b
a时，0<旦
2b
f（x）max
f（X）min=f（0）或f
（1）；
当2ba>1,2b
f（x）
max
f
（1）,f（x）
min=f（0）.
是（*）
1且2b
a,
b1且2b
1,
4b
f（0）0
f
（1）a
1,
1,
f
（1）
f（0）
a,
b1,
1.
故对任意x[0,1],都有|f（x）|1的充要条件是b—1a2,b
2b
a
0且0
b
1,
2
a
1,
4b
f（0）
0
1,
f
（1）
a
b
1,
0b+1
02ba且0b1,或f
（1）ab1,f（0）01.
b+1.
（3）由
（2）的解答知，对任意x€[0,1],都有|f（x）|1当且仅当
1的充要条件为0故当0点评：
含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一.读者在
备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，
反复思考参数的处理艺术.
21.解：
对函数f（x）求导数：
f（x）（xlog2x）[（1x）log2（1x）]
于是
<）0.
当x
i
-时，f（x）
log2x
log2（i
x）
0,f（x）在区间
i
（0,—）是减函数,
2
2
当x
1
-时，f（x）
2
log2x
log2（i
x）
0,f（x）在区间
1
（—,i）是增函数.
2
所以
i
f（x）在x—
时取得最小值，
f（・
ii,
22
（n）证法一：
用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）假定当nk时命题成立，即若正数Pi,p2,,p2k满足Pip2p2k1，
则pilog2pi
P2log2P2
p2klog2p2k
k.
当nk
i时，
若正数
Pi,P2,
P2ki满足Pi
P2
P2kii
令xPi
P2
p
2k,qi
Piq2
x
P2
J
x
q2k
P2k
x
则qi,q2,
为正数，
且qi
q2
q?
k
i.
由归纳假定知q1log2p1p2log2p2q2klog2q2kk.
Pilog2Pip2log2p2p2klog2p2kx（qilog2qiq2log2q2q2klog2q2k
log2x）x（k）xlog2x,①
同理，由p2kip2k2p2kiix可得p2kilog2p2kip2kilog2p2ki
（ix）（k）（ix）log2（ix）.②
综合①、②两式pilog2pip2log2p2p2kilog2p2ki
[x（ix）]（k）xlog2x（ix）log2（ix）（ki）.
即当nki时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数g（x）xlog2x（cx）log2（cx）（常数c0,x（0,c））,那么
g（x）哙0g€
xx
（i-）log2（i—）log2c],
cc
利用（【）知，当—-（即xE）时，函数g（x）取得最小值.
c22
对任意x10,x20,都有
X1log2X1
X1X2X1X2
X2log2X222log22
（XiX2）[log2（X!
X2）1].①
下面用数学归纳法证明结论•
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数p1,p2,,p2k满足p1p2p2k1,有
口log2P1P2log2P2Lp2klog2p?
kk.
当nk1时，口，p2,L,p2k1满足P1P2Lp2k11.
令HP1log2P1P2log2P2Lp2k11log?
p2z1p2zlog?
p2z
由①得到
H（P1P2）[log2（P1P2）1]L（P2k11P2k1）[log2（P2k11P2k1）1],
因为（P1P2）L（p2k11P2k1）1,
由归纳法假设
（P1P2）log2（P1P2）L（p2k11P2k1）log2（p2k11P2k1）k,得到
Hk（P1P2Lp2k11p2k1）（k1）.
即当nk1时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.
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