河南省学年九年级第一次大联考数学试题.docx
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河南省学年九年级第一次大联考数学试题
河南省2020-2021学年九年级第一次大联考数学试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一.单选题
1•卞列方程中，关于X的一元二次方程的是
（）
A・x+2x=lE・x2+2y=2
C.2x-x2=3
1/
D・x+-=4y
2.抛物线y=3（兀-2尸-4的顶点坐标是（
）
A.（2,4）B.（-2,-4）
C.（2,-4）
D.（-2,4）
3.—元二次方程亍_25=0的解为（）
A.=x2=5E・=x2=-1
C.旺=5,=-5
D・為=25,
兀=-25
4.用公式法解一元二次方程2亍-3x=l时，化方程为一般式当中的b、c依次为
（）
A.2,-3,-1E.2,3,1C・2,一3,1D・2,3,-1
5.抛物线T—8x+4的对称轴是直线（）
A・x=-lE・x=lC・x=-4D・x=4
6.关于x的一元二次方程ax2-4x+i=0有两个相等的实数根，则。
的值是（）
A・一2E.2C・-4D・4
7.用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0时，以下变形正确的是（）
A.（x-3）2=13B.（x_3）'=5C.（x+3）'=13D.（x+3）'=5
8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2.r-4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是（）
A.y=2（x+2）'+3B.y=2（x-2）2+3
C・）‘=2（x+2）~-3D・y=2（x-2）2-3
9.
己知等腰公ABC的两边分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则的周长为
10.二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，则一次函数y=cx+ab的图彖不经过
（）
A.第一象限B.第二象限C.第三彖限D.第四彖限
二、填空題
11.若函数y=（w-2）?
n|+l（加是常数）是二次函数，则加的值.
12.己知4为方程X2-X-1=0的一个根，则代数式3亍—3a—2的值为.
13.已知点（-1,2）在二次函数y=kx2的图象上，则R的值是.
14.某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810
元，设平均每次降价的百分率为X,根据题意可列方程为.
15.若抛物线y=ax2+（a+3）x-2（a^0）^口向上，且当x>-l时，V随x值的增大
而增大，则满足条件的“的取值范围是.
三、解答题
16.解方程F—3x+1=0
17.已知二次函数y=X—8x+5.
（1）将二次函数y=F—8x+5配方成y=a（x-h）2+k的形式.
（2）若点4（-3,yJ,B（l,y2）在二次函数y=x2-8x+5的图象上，则儿与儿的大
小关系是.
18.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过（70）,（0,5）两点，求此二次函数的解析式.
19.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：
今有门，不知其高宽；有竿，
不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角
线长恰好相等・问门咼、门宽各为多少？
20.已知关于x的方程x2+mx-—=Q.
4
（1）求证：
不论川为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
3
（2）若方程有一个根是求方程的另一个根和加的值.
2
21.已知二次函数y=亍一2尤一3.
（1）完成下表
X
•••
-1
0
1
2
3
•••
y
•••
0
•••
（2）根据
（1）的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线.
A\
y
r一I一「一tt一—I—I
IIIII4||||
1__|_」_丄__丄_L_l_
IIIII3
h-i-h-+-ht
IIIII厂一|一1一丁一厂亍
IIIII
r~r~r~r~n）
iii
iiiii-i
I-—厂—--
+ITI--
T—「—一-2一-3blr—--
+ITI--
T—「—I-—厂—TI「—J_—厂—
L_l_」_丄__丄_1__l_J
（3）结合函数图象，当yvO时，x的取值范围是・
22.为了丰富市民的文化生活，我市开放膝王阁夜游项目《滕王宴乐》.为吸引游客组团来此夜游观看，特推出了如下门票收费标准：
标准一：
如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；
标准二：
如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人.
（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为元；当夜游人数为25人时，人均
门票价格为元.
（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去滕王阁夜游观看？
23.
在平面直角坐标系中，坐标原点为o,已知抛物线y=d（x—〃7）'+“（dH°）与y轴交于点A,它的顶点为B,连接AB、BO,则称△ABO为抛物线的伴生三角形，直线AB为抛物线的伴生直线・
（1）如图1,求抛物线y=（x+2）'+l的伴生直线43的解析式.
（2）已知抛物线y=k（x-2）2+1的伴生直线为y=—x+3,求R的值.
（3）如图2,若抛物线y=a（x-m）2+n（tn>0）的伴生直线是y=—4,且伴生三角
形430是直角三角形，求此抛物线的解析式.
参考答案
1.C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可
【详解】
解:
A、x+2x=1是一元一次方程，不符合题意；
B、x2+2y=2-元二次方程，不符合题意；
C、2x-x2=3是一元二次方程，符合题意；
D、x+丄=4不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意；
y
故选：
C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2.C
【分析】
根据二次函数的解析式特点即可求解.
【详解】
抛物线y=3（x-2）2-4的顶点坐标是⑵—4）
故选C.
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点.
3.C
【分析】
先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可.
【详解】
解：
F—25=0
移项：
妒=25
开平方得x】=5,x2=-5,
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法.
4.A
【分析】
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a,b,c.
【详解】
解：
•・•方程2x2-3x=1化为一般形式为：
2扌一3兀一1=0，
a=2»b=-3,c=-l»
故选：
A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0＞其中a,b分别是二次项和一次项系数，c为常数项.
5.D
【分析】
根据二次函数的对称轴方程可直接得出答案.
【详解】
解：
Ty=x'-8x+4,
・*.a=l,b=-8
・・•亠.
2a
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查二次函数对称轴方程，熟练掌握对称轴方程公式是解题的关键.
6.D
【分析】
根据关于a-的一元二次方程ax2-4x+l=0有两个相等的实数根可知夕・4«c=0,求出a
的取值即町•
【详解】
解：
•・•关于A-的一元二次方程X・4X+1=0有两个相等的实数根，
-4ac=（-4尸-4a=Q,
解得0=4.
故选：
D.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程处2+bx+c=O（aHO）的根与b--4ac有如下关系：
①当夕・4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当，・4dc=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当b~-4ac<0^,方程无实数根.
7.B
【分析】
将方程的常数项移到右边，两边都加上9,左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.
【详解】
解：
x2-6.v+4=0
移项得：
x2-6x=-4
配方得：
x2-6x+9=5
（x-3）2=5
故选：
B.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解.
&D
【分析】
根据二次函数图象的平移规律即可得到结果.
【详解】
解：
函数y=2x2-4先向右平移2个单位，得y=2（x—2『一4,
再向上平移2个单位，得y=2（x—2『一3,
故选D.
【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握二次函数图彖的平移规律：
左加右减，上加下减.
9.A
【分析】
先求出一元二次方程的两个根，从而求出等腰三角形的两个边，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据三角形的三边关系排除并求周长即可.
【详解】
解：
x2-10X4-21=0
解得：
X]=3,兀=7
・•・等腰aABC的两边分别是3和7
若等腰△A3C的腰长为3,
•.•3+3V7
・•・不能构成三角形，故舍去；
若等腰aABC的腰长为7,
由3+7>7
・•・等腰aABC的周长为3+7+7=17
故选A.
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系是解题关键.
10.B
【分析】
根据二次函数图象的开II方向、对称轴判断出a、b和c的正负情况，再由一次函数的性质解答.
【详解】
解：
由图彖开口向下可知aVO,
由对称轴x=-—>0,得b>0.
2a
由图彖与y轴正半轴相交，得oo
则ab<0,
所以一次函数y=cx+ab的图彖经过第一、三、四彖限，不经过第二象限.
故选：
B
【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图彖的性质，解答本题的关键是求出a、b和c的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不人.
11.-2
【分析】
根据二次函数的定义解答.
【详解】
由题意知，加一2工0且»|=2,
解得：
m=~2,
故答案为：
一2.
【点睛】
本题考查二次函数的定义，属于基础题型.
12.1
【分析】
把4代入方程1=0,得到关于。
的代数式的值，求解即可.
【详解】
解：
Ta为方程x2-x-l=0的一个根，
・°・夕-。
一1=0，即亍一。
=1，
・•・3夕一3。
-2=3（亍一。
）-2=3><1-2=1,
故答案为：
1.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把a代入方程F—x—1=0,得到关于a的代数
式的值是解题的关键.
13.2
【分析】将点（-1,2）直接代入二次函数的解析式即可得.
【详解】
由题意，将点（T,2）代入二次函数的解析式得：
（―1「R=2,
解得k=2,
故答案为：
2.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数中的参数，熟练掌握待定系数法是解题关键.
14.1000（1-x）2=810
【分析】
第一次降价后的单价是1000（1-x）,第一次降价后的单价是1000（1-x）2,根据题意列出方
程即可.
【详解】
解：
由题意得
1000（1-x）2=810
故答案为：
1000（1—x）'=810
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解平均变化率并正确列出一元二次方程是解题的关键.
15.0<«<3
【分析】
根据二次项的系数人于0,对称轴右边y随x增大而增大，可得答案.
【详解】
解：
T抛物线v-ax2+（a+3）x-2（a^O）开II向上，且当x>-l时，y随x值增大而增人，
a+3
.\a>0,<-1,
2a
解得0VaS3.
故答案为0【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0,开【I向上，有最小值，在对称轴的右侧，y随x值增人而增人；二次函数的二次项系数小于0,开II向卞，有最人值，在对称轴的右侧，y随x值增人而减小.
3+石3-^5
16.x.=,=
122
【分析】
先用△=b2-4ac判断解的个数，再用x=求出方程的两个解.
2a
【详解】
解：
Td=1,b=—3,c=l
・：
△=b2-4ac=5
…-b±Jb2-4cic
•x=
2a
•3+石3-厉
••兀=，=
122
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的解法，熟悉用/\=b2-4ac判断解的个数，再用
开="土J/一仏求解是关键
2a
17.
（1）y=（x_4）2_ll；
（2）儿>儿.
【分析】
（1）利用配方法即可得：
（2）结合
（1）的结论得出二次函数的增减性，由此即可得出答案.
【详解】
（1）y=x2-8x+5=x2-8x+16-11=（x-4）2-11,
即y=（X-4）2-ll;
（2）由二次函数的性质可知，当XW4时，y随x的增人而减小，因为点△（—3,兀），〃（1,儿）在此二次函数的图彖上，且-3<1<4,所以开>儿.
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图彖与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
18.y=-x2+4X+5
【分析】
将（1,0）、（0,5）两点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、C的方程组，然后解方程组即
可.
【详解】
解：
把（1,0）、（0,5）代入y=—十+bx+c
-l-b+c=0
得彳＜，
c=5
b=4
解得｛V,
c=5
所以二次函数的解析式为y=—F+4x+5
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.
19•门高为8尺，门宽为6尺
【分析】
设竿的长度为x尺，则门高为（v-2）尺，门宽为（x-4）尺，根据勾股定理列出方程即可求
解.
【详解】
解：
设竿的长度为x尺，则门高为（v-2）尺，门宽为（X—4）尺，
故门对角线长为x尺.
根据勾股定理得（%-2）2+（x-4）2=x2,
整理得x2-12x+20=0,
解得=2,x2=10.
经检验，x=2不符合题意，舍去,
•:
x=10
即门高为x—2=8,门宽为x-4=6.
答：
门高为8尺，门宽为6尺.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质，列方程求解.
20.
（1）证明见解析；
（2）方程的另一个根为m=-l.
2
【分析】
（1）直接利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可得.
【详解】
（1）•:
一元二次方程x2+rnx=0中的a=l,b=m,c=——一,
44
・•・其根的判别式为厶=府—4x1x（—才丿=府+15>0,
•••不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根;
（2）设方程的另一个根为〃，
3——+n=-in
2
由一元二次方程根与系数的关系得：
;15
——n=一一-
24
m=-l
解得］5，
n=—
2
即方程的另一个根为m=-l.
2
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、
根与系数的关系是解题关键.
21.
（1）-3,-4,-3,0：
（2）见解析；（3）-l【分析】
（1）将各已知的横坐标代入解析式求解出函数值即町：
（2）先在直角坐标系中描出表格中各个点，再用光滑的曲线连接即可;
（3）由函数图像得，当yvO时，-1【详解】
解：
（1）当x二0时，y=x2-2x-3=-3:
当x=l时，y=%2—2%—3=—4；
当x二2时，y=x2-2x-3=-3:
当x二3时，y=x2-2x-3=0；
故答案为：
-3,-4,-3,0
（2）图象如图所示：
（3）由函数图像得，该抛物线的开II向上，
•・•>?
<0
・•・-l故答案为：
—lvx<3.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数图像与不等式的关系.
22.
（1）60；50；
（2）该单位这次共有22名员工去滕王阁夜游观看.
【分析】
（1）根据“如果人数不超过20人，门票价格为60元/人：
如果人数超过20人，每超过1
人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人”可得答案；
（2）设该单位这次共有x名员工去滕王阁夜游观看，利用数量=总价*单价结合人数为整数可得出a>20,由总价=单价X数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
【详解】
解:
（1）V15<20,
・••人均门票价格为60元，
V25>20,
・••人均门票价格为60—2（25-20）=50元
故答案为：
60：
50；
（2）设该单位这次共有x名员工去滕王阁夜游观看.
•・•1232>20x60,
x>20.
根据题意,得460-2（x-20）]=1232,
整理，得x2-50x+616=0»
解得人=22,兀=28.
当x=22时，人均旅游费用为60—4=56；
当x=28时，人均旅游费用为60—16=44v50,不符合题意，舍去.
x=22.
答：
该单位这次共有22名员工去滕王阁夜游观看.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
23.
（1）y=2x+5；
（2）k=-；（3）y=--（x-4）2或『=--（x-2）2-2.
242
【分析】
（1）求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）求出伴生直线y=-x+3与）,轴的交点坐标，然后代入抛物线解析式中即可求出结论：
（3）先求出伴生直线y=X-4与y轴的交点坐标，从而求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，分别求出点B的坐标即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出结论.
【详解】
解：
（1）•・•在y=（x+2）'+1中，当x=0时，y=5,
・•・抛物线y=（x+2尸+1与），轴的交点坐标为4（0,5）,
顶点坐标为3（—2,1）.
设伴生直线AB的解析式为y=bx+ct
f-2b+c=l
则匸5，
|7?
=2
解得95，
・•・抛物线y=（x+2）2+1的伴生直线AB的解析式为J=2x+5.
（2）•・•伴生直线y=-x+3与y轴的交点为（0,3）,
抛物线y=k（x-2）2+1与y轴的交点为（0,3）.
把点（0,3）代入抛物线y=k（x-2）'+1中，
得q.
（3）•・•伴生直线y=x-4与），轴的交点A为（0.-4）,
OA=4.
•・•伴生三角形是直角三角形，
满足条件的点B有两个.
1B点在x轴上时，ZAOB=90°,则B点为（4,0）,
m=4,〃=0.
将点4（0,-4）代入y=a（x-4）2中，得一丄，
4
・•・抛物线的解析式为y=-丄（x-4）2.
4
2B点在直线y=x-4±,且ZABO=90。
，如图，
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