圆锥曲线典型例题.docx

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圆锥曲线典型例题

圆锥曲线典型例题强化训练

一、选择题

1.若点P到直线y=—l的距离比它到点（03）的距离小2,则点P的轨迹方程为（）A

A.x2=12yB.y2=12xC・x2=4yD.x2=6y

2、若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x—y+o=0的距离为芋，则a的值为

（）c

A.一2或2B.—或二C.2或0D•-2或0

22x2

3、设F“F2为曲线C”7+^-=1的焦点，P是曲线:

y，=1与C】的一个交点，

b23

则APFE的面积为（）C

（A）扌（B）1（0y/2（D）2^2

4、经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线/的方程是（）A

A.6x一4y一3=0B・3x一2y一3=0

C.2x+3y-2=0D.2x+3y-l=05、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆—+—=1的右焦点重合，则〃的值为（）D

6、如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线1交拋物线于点A、B,交其准线于点

已知双曲线壬一匚=1@>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y2=16%的焦点重合,

则该双曲线的离心率等于（）D

二、解答题

U已知椭圆%2+^=1（0

<1）的左焦点为F,左右顶点分别为A.C上顶点为B,过F.B.CZr

三点作OP,其中圆心P的坐标为（mji）.

（1）若椭圆的离心率e=£，求0P的方程；

（2）若OP的圆心在直线x+y=O上，求椭圆的方程・

2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为4（0,2）,右焦点F与点B（、任，血）的距离为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率比工0的直线/：

y=kx—2,使直线/与椭圆相交于不同的两点M

满足\AM1=1ANI,若存在，求直线/的倾斜角a；若不存在，说明理由。

3.已知椭圆E的方程为二+二=1@＞〃＞0）,双曲线二一二=1的两条渐近线为/和

cr/?

"crh

12,过椭圆E的右焦点F作直线/,便得/丄厶于点C,又/与厶交于点P,/与椭圆E的两个交点从上到下依次为A3（如图）.

⑴当直线厶的倾斜角为30。

，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程;

（2）设用=人乔，丙=心丽，证明：

人+几2为常数.

4、椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2迈,相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线$（准线方“耳*a桃半「为半轴交于杯H=2|M.^A^

线与椭圆相交于点P、Qo

（1）

（2）

求椭圆方程；求椭圆的离心率；

（3）

若丽・O0=O,求直线PQ的方程。

"•'・'・•I・•・•

5.已知力（一2,0）.B（2.0）,点C点〃依次满足IACI=2,AD=—（A3+AC）・

（1）求点〃的轨迹方程；

（2）过点月作直线/交以才、〃为焦点的椭圆于•"、W两点，线段丿側的中点到y轴的

4距离为且直线/与点〃的轨迹相切，求该椭圆的方程.

6、若椭圆二+匚二

crX

=1@＞〃＞0）过点（-3,2）,离心率为』3,00的圆心为原点，直径

为椭圆的短轴，。

\1的方程为（兀一8）2+0—6）2=4,过0M上任一点p作。

0的切线PA、

PB,切点为A、B.（I）求椭圆的方程；

（II）若直线PA与0M的另一交点为Q,当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；

（III）求页•西的最大值与最小值.

7、已知乩〃分别是椭圆二+L=1的左右两个焦点，0为坐标原点，点戶（一1，二）在a2b22

椭圆上，线段削与y轴的交点"为线段丹的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

8、已知曲线G尤尸1,过C上一点儿（x八儿）作一斜率为心=——的直线交曲线C耳+2

于另一点A心（占…儿小），点列儿（〃=1,2,3,…）的横坐标构成数列{xn}9其中

（1）求心与心亠的关系式；

（2）求证：

｛—丄+；｝是等比数列；

心-23

（3）求证：

（一1）幼+（—1）2七+（-1）33+・+（-1）吸〃vlGwN,nnl）。

9、已知点F（-l,0）和直线/：

x=-2，动点M到点F的距离与到直线/的距离之比为f•

（I）求动点M的轨迹方程；

（II）设过点F的直线交动点M的轨迹于A、B两点，并且线段AB的中点在直线

x+y=0上，求直线AB的方程.

10、设椭圆C：

4+^-=lG/>0）的左右焦点分别为匚E,A是椭圆C上的一点，且cr2

巫•丽=0,坐标原点O到直线A巧的距离为-\OF｛\.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设0是椭圆C上的一点，过点Q的直线/交X轴于点F（-l,0）,交y轴于点M,若

=求玄线/的斜率.

11、已知动圆过定点A（1,O）,且与直线x=—l相切.

（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；

（2）是否存在直线/,使/过点8（0,1）,并与轨迹C交于两点，

（

且满足丽=0若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

12.设化分别是椭圆—+y2=1的左、右焦点.

（I）若P是该椭圆上的一个动点，求碎I•血的最大值和最小值；

（II）设过定点M（0,2）的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,求直线/的斜率k的取值范围.

祥细答案

1、解：

（1）当e=时，“=1,c=-,

b2=a2-c2=\--=丄，b丄点3（0丄），F（—迺,0）,C（l,0）2分

44222

设0P的方程为（兀一m）2+（y—n）2=r

由OP过点F,B.C得

/.nr+（—-ft）2=r2①

（m+f），+/『=i'2②

（1—+ir=广（3）5分

由①®③联立解得加=?

虫，”=1-2的,r2=5了分

444

.••所求的0P的方程为（X—2二5）2+（〉,一匕空）2=丄8分

444

（2）T0P过点F・B,C三点，.•.圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,

FC的垂直平分线方程为X——④9分

VBC的中点为（丄上）,kBC=-b

•••BC的垂直平分线方程为y-£=丄匕一丄）——⑤10分

2b2

由④⑤得％=匕，），=土工，即加=匕£,=冬二£11分

22b22b

1—cb~—c

在直线x+y=0上，:

.—^―+—=0=>（1+/?

）（Z?

—c）=0

••T+b>0:

.b=c^b2=l-c2得沪=一

•••椭圆的方程为

]••«•»«■»丿?

/b1

F（c,0）,c=J/一I,,2分

由IFBA2,得7（c-V2）2+（0-V2）2=2,

即（c—JJ）2+2=4,解得c=2近。

4分

解：

（1）依题意，设椭圆方程为二+二=l（a>〃>0）,则其右焦点坐标为

又•:

b=2.:

.a1=c2+/?

2=12,即椭圆方程为—+—=L……5分

（2）由\AM\=\AN\知点A在线段MN的垂直平分线上,

y=kx-2

由\x2y2.消去y得，+3伙兀一2）2=12

1124

即（l+3k»-12心=0（♦）7分由kHO,得方程（*）的4=（一12上）2=144/>0,即方程（*）有两个不相等的实数根。

8分

设M（%,,）'”（兀2，〉‘2），线段MN的中点P（“，儿），

.I儿）=二，即P（亠，二）•……］。

分

\+3k21+3&2\+3k2\+3k2

_2,_22

・・・&H0,•••直线AP的斜率为k严一=-2-2（1+3「）,……］］分

\+3k2

•:

2+2+6&'=6，解得：

k=-,即tancr=-,13分

又OSgvk,故a=—.或a=—,

•:

存在直线/满足题意，其倾斜角a=-9或a=—.……14分

3、解：

（1）由已知，-=——,a2+b2=\6.2分

解得：

/=12上2=4,4分

V2V2

所以椭圆E的方程是：

—+—=1.5分

124

⑵解法1：

设人（壬,儿）,3（兀2，儿）

由题意得：

直线厶的方程为：

y=l-x.直线人的方程为：

y=--x97分

则直线/的方程为：

y=-（x-c）,其中点F的坐标为（c,0）；8分

ry=-xfx=—

由」〉"得：

丿C，则点P（—9分

I“/、abcc

Iy=-（x-c）ly=-

由PA=A}AF得：

x,-—=^（c-xj，则：

人=——

cc（c-X]）

•>

12分

同理由g丽得二击

解法2：

过P作x轴的垂线川，过人B分别作加的垂线，垂足分别为…6分

由题意得：

直线A的方程为：

y=-x.直线人的方程为：

v=--x,a-a

则直线/的方程为：

y=-（x-c）.其中点F的坐标为（c,O）；b

x=—

C•则直线m为椭圆E的右准线;ab

^y=-

14分

2分

故人+人=o为常数.

4、解：

（1）由已知得b=近、c=2（-一c）,解得：

云=4卫2=6c

所求椭圆方程为—+—=14分

（2）因a=y/b,c=2,得e=—=-y=-7分

ay/b3

（3）因点A（—,0）BPA（3,0）,设直线PQ方程为y=k（x^3）8分

（4）

则由方程组2：

爲消去用（I曲宀沁+27宀6=。

因OP^OQ=0,得xrv2+>^^2=0,

又》=«2（召-3）（®-3）=鸟2牛2-3/（西+兀2）+9&2,代入上式得

5、解:

（/）设G〃点的坐标分别为C（x^y0）9〃（兀»则AC=（x0+2,y0）,

代入I犹1=J（x°+2）2+元=2中，整理得x2+y2=\,即为所求点〃的轨迹方程.

（刃易知克线/与x轴不垂克，设直线/的方程为y=k（x+2）①.

又设椭圆方程为二+」一=1（/>4）②.

//_4

咧线5-昨与画宀心相切我掛"解畛斗

将①代入②整理得，（a2k2+cr-4）x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4/=0（3）

将&2=1代入上式，整理得（/_3），+/x_』/+4/=0,

设川（孔*2）,则州+不=-一，

cC_3

由题意有，_=2x土（/>3），求得/=&经检验，此时③的判别式△>（）・

cr—35

故所求的椭圆方程为P务“

（II）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8,6）时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：

y-6=k（x-8）

又因为PA与圆0相切，所以圆心（0,0）到直线PA的距离为、斤6

"卅"讪S或“罟

所以直线PA的方程为：

x—3y+10=0或13兀一9），一50=0

（III）设ZAOP=a则ZAOP=ZBOP.ZAOB=2a

则cosZAOB=2cos2a-1=2（21）?

一1=_1

OPOP二

•••1"爲=1°+2=210円丽=10-2=8

.•刀•辰硕•洒cosW^-K）

7、解：

（1）•••点M是线段PB的中点：

.OM是△PAB的中位线

4分

c=1

.*•<丄+—=1解得/=2,b2=\.c2=17分

tr2b，

a2=b2+c2

V-

•:

椭圆的标准方程为+y~二18分

（2）V点C在椭圆上，A.〃是椭圆的两个焦点

•••AC+BC=2臼=2>/2,AB=2c=

因为易=M,而绚=—L2=—2H0,

7州一23

因此数列{一^+丄}是等

心-23

8分

（3）由

（2）可知：

atl=（-2）"，则©=2+——1一，

（切匕

（―m—1）〃・2+r

2—（-1）屠

9分

当n为偶数时有：

（一1）”“兀-+（—1）“£=

112心+r

2心+丄2n--（2心+丄）（2“_]）

333311分

于是

①在门为偶数时有:

・•・+丄V1

（_1）旺+（-1）2x2+---+（-1）,!

xwv*+右+占+占+

12分

②在/;为奇数时.前n-l项为偶数项，于是有:

（_1）旺+（_1）2七+・・+（_1）一口心+（_1）"兀

心1（2+

T）=—i+—<1

（-2）"-

-2,l+-

—

-13分

综合①

②可知

原不等式

得

证

9、解：

（I）设动点M的坐标为（a\y）,由于动点M到点F的距离与到直线/的距离

之比为丰

拽J（x+l）'+y2_Q

lx+212

化简得：

宁+）7,这就是动点m的轨迹方程.

（II）设直线AB的方程为y=k（x+\）伙HO）,

代入^-+/=1,整理得（\+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.

•.•直线AB过椭圆的左焦点F,.•.方程有两个不等实根，

41（2

记人（心”）小（大2*2），AB中点P（x（pyo）,则X]+x2=-2

乙K十1

12k2k

忑=尹+花）=-齐，沪心+1*齐’

•••线段AB的中点P在直线x+y=0上，

2k2

2/+1

+2?

当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x+y=O上,

•••直线AB的方程是y=0或x—2y+l=0.14分

10、解：

（I）由题设知斥（―—2,0）迅（_2,0）,其中a>y/2

由于qE•亦=0，则有A唐丄砧，所以点A的坐标为（冷_2,±?

）……・・2分a

故AFX所在直线方程为y=±（—==+-）3分

a\]a2—2a

所以坐标原点。

到直线越的距离为悟

Z\OF,I=yja2—2,所以一¥—=—\ja2—2解得：

a=2.5分

a~3

所求椭圆的方程为卩『1•………7分

（II）由题意可知直线/的斜率存在，设直线斜率为£

直线/的方程为y=R（x+l）,则有M（0,灯9分

设OGwJ,由于0、F、M三点共线，且|M2|=2|er|

Y=—2

12分

根据题意得（召」一幻=±2（齐+1」）解得彳1，或＜

>i=T

卜=-斤

（_2f（_b\2（—|）2（石丿

又0在椭圆C上，故+=1或一^_+丄厂=1解得k=o,k=±4

综上，直线/的斜率为°或±4.14分

11、解：

（1）设M为动圆圆心，由题意知：

IMA\=M到定直线x=-l的距离，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中4（1,0）为焦点，x=—1为准线，•••动圆的圆心M的轨迹C的方程为：

b=4x5分

（2）由題意可设直线/的方程为x=k（y-\）伙HO）,

由]X~k^~^得）,2_4灯,+4^=0y=4%

7分

△=16戸一16«>0=>£>1或k<0

且>'i+〉‘2=4k,yxy2=4k9分

由OPOQ=0=>x,x2+y}y2=011分

=>«2（乃一i）（儿一i）+x儿=°=>伙'+1）X>‘2一《'（1+儿）+疋=o

^>4/:

（^2+l）-^2-4/:

+A:

2=0=>/;=^或k=0（舍去）13分

又k=7vO,所以直线/存在，其方程为：

x+4y-4=014分

12、解：

（I）解法一：

易知a=2,b=\,c=*，所以斥（—JJ,O）,耳（J5,0）1分,

设P（x,y）,则所.巫=（—JJ—x,-），）,（JJ—x,—y）=F+b_33分

因为xw[—2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，•有最小值-2-5分

当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时，所・P可有最大值17分

解法二：

易知a=2、b=\、c=羽,所以斤（―Jl0）迅（x/5,0）1分,

设P（x,y）,则

所•两=阿•阴•cosZFf耳=|两H呵•

牙+>/J）+y2+（^-

+y2-12=x2+y2-3

3分（以下同解法一）

（II）显然直线x=0不满足題设条件

8分,

可设直线l:

y=kx+2.A^y2）y2）,

联立＜

y=kx+2/

.，消去y,整理得：

疋

2=1

——+）广=

由△=（4約2_4伙2+丄）X3=4八一3>0得：

k>叵或k<一止

422

12分

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