圆锥曲线典型例题.docx

1、圆锥曲线典型例题圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1.若点P到直线y = l的距离比它到点（03）的距离小2,则点P的轨迹方程为（ ）AA. x2 = 12y B. y2 = 12x C x2 = 4y D. x2 = 6y2、 若圆x2 +y2-2x-4y = 0的圆心到直线x y + o = 0的距离为芋，则a的值为( )c13A. 一2 或 2 B. 或二 C. 2 或 0 D-2 或 0222 2 x23、 设F“ F2为曲线C” 7 + - =1的焦点，P是曲线: y，= 1与C】的一个交点，b 2 3则APFE的面积为( )C(A)扌 (B) 1 (0 y/2 (D) 224、 经

2、过抛物线y2 = 2x的焦点且平行于直线3x-2y + 5 = 0的直线/的方程是( )AA. 6x 一 4y 一 3 = 0 B 3x 一 2y 一 3 = 0C.2x + 3y-2 = 0 D. 2x + 3y-l = 0 5、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+ = 1的右焦点重合，则的值为（）D6 26、如图，过抛物线y2 =2px（p0）的焦点F的直线1交拋物线于点A、B,交其准线于点8,已知双曲线壬一匚=10）的中心在原点，右焦点与抛物线y2 =16%的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（）D二、解答题U已知椭圆%2+ = 1(0/?0）的左右焦点分别为匚 E, A是椭圆C上的一点，且

3、 cr 2巫丽 =0,坐标原点O到直线A巧的距离为-OF.（I） 求椭圆C的方程；（II） 设0是椭圆C上的一点，过点Q的直线/交X轴于点F（-l,0）,交y轴于点M,若= 求玄线/的斜率.11、已知动圆过定点A(1,O),且与直线x = l相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线/,使/过点8(0,1),并与轨迹C交于两点，(且满足丽= 0若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.12.设化分别是椭圆+ y2 =1的左、右焦点.4(I)若P是该椭圆上的一个动点，求碎I 血 的最大值和最小值；(II)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,求直线/的斜率k的

4、取值 范围.祥细答案1、解：（1）当 e = 时，“ = 1, c = -,2 2b2=a2-c2=- =丄，b丄点 3（0 丄），F（迺,0）, C（l,0） 2 分4 4 2 2 2设0P的方程为（兀一 m）2 + （yn）2 = r由OP过点F,B.C得/. nr +(- ft)2 = r2 2(m + f)，+/=i2 (1 + ir =广 (3) 5 分由联立解得 加=?虫，”=1-2的,r2 = 5 了分4 4 4.所求的0P的方程为（X 2二5）2+（, 一匕空）2=丄 8分4 4 4（2）T0P过点FB,C三点，.圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,FC的垂直

5、平分线方程为X 9分2VBC的中点为（丄上）,kBC =-b2 2BC的垂直平分线方程为y - =丄匕一丄） 10分2 b 2由得 = 匕，），=土工，即加=匕,=冬二 11分2 2b 2 2b1 c b c在直线 x+ y = 0上，:. + = 0 = (1 + /?)(Z?c) = 0T + b 0 :.b = c b2=l-c2 得沪=一2 椭 圆 的 方 程 为 丿?222./ b1F(c,0),c = J/ 一I, , 2 分由 I FBA2,得7(c-V2)2+(0-V2)2 = 2,即(c JJ)2 + 2 = 4,解得c = 2近。 4 分解：(1)依题意，设椭圆方程为 二+

6、二= l(a0),则其右焦点坐标为又:b = 2 . :. a1 =c2+/?2 =12,即椭圆方程为+ = L5分（2）由AM = AN知点A在线段MN的垂直平分线上,y = kx- 2由x2 y2 .消去y得，+3伙兀一2）2 =12112 4即（l + 3k-12心=0 （） 7 分 由kHO,得方程（*）的4 = （一12上）2=144/0,即方程（*）有两个不相等的实数根。 8分设 M （%, , ） ”（兀2，2），线段 MN的中点 P（“，儿），.I儿）=二，即P（亠，二）。分 + 3k2 1 + 3&2 + 3k2 + 3k2_2,_2 2&H0, 直线AP的斜率为k严 一 =

7、-2-2（1 + 3）,分6k6k + 3k2: 2 + 2 + 6&=6，解得：k = -,即 tancr = - , 13 分3 3又OSgvk,故 a =.或a =,6 6:存在直线/满足题意，其倾斜角a = -9或a = .14分6 63、解：（1）由已知，-=,a2+b2 =6. 2 分a 3解得：/=12上2=4, 4分V2 V2所以椭圆E的方程是：+ = 1. 5分12 4 解法1：设人（壬,儿）,3（兀2，儿）由题意得：直线厶的方程为：y = l-x.直线人的方程为：y = -x9 7分a a则直线/的方程为：y = -（x-c）,其中点F的坐标为（c,0）； 8分br y =

8、 -x fx= 由 得：丿 C ，则点P（ 9分I “ / 、 ab c cI y = -（x-c） ly = -由 PA = AAF 得：x, - = (c-xj，则：人= c c(c-X)12分同理由g丽得二击解法2：过P作x轴的垂线川，过人B分别作加的垂线，垂足分别为6分由题意得：直线A的方程为：y = -x.直线人的方程为：v = -x, a - a则直线/的方程为：y = -（x-c）.其中点F的坐标为（c,O）； br ax=C 则直线m为椭圆E的右准线; aby=-14分 2分故人+人=o为常数.4、解：(1)由已知得b =近、c = 2( -一c),解得：云=4卫2=6 c所求

9、椭圆方程为+ = 1 4分6 2(2)因 a = y/b,c = 2 ,得e = =-y= - 7 分a y/b 32(3)因点 A(,0) BP A (3, 0),设直线 PQ 方程为 y = k(x3) 8 分(4)则由方程组2：爲消去用(I曲宀沁+ 27宀6 =。因 OPOQ = 0 ,得 xrv2 + 2 =0 ,又=2(召-3)( -3)=鸟2牛2-3/(西+兀2)+ 9&2,代入上式得5、解:(/)设G 点的坐标分别为C(xy0)9 (兀 则AC=(x0+2,y0),代入I犹1= J(x+2)2 +元=2中，整理得x2+y2=,即为所求点的轨迹方程.(刃易知克线/与x轴不垂克，设直

10、线/的方程为y = k(x + 2) .又设椭圆方程为二+一= 1(/ 4) ./ /_4咧线5-昨与画宀心相切我掛解畛斗将代入整理得，(a2k2 +cr -4)x2 +4a2k2x + 4a2k2 -a4 +4/ =0 (3)将&2=1代入上式，整理得(/_3)，+/x_/+4/=0,34设 川(孔*2),则州 +不=- 一，cC _3由题意有，_ = 2x土(/3)，求得/=&经检验，此时的判别式()cr 3 5故所求的椭圆方程为P务“(II )由题可知当直线PA过圆M的圆心(8, 6)时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存 在， 设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)又因为PA与圆0相

11、切，所以圆心(0, 0)到直线PA的距离为、斤6卅讪S或“罟所以直线PA的方程为：x 3y+ 10 =0或13兀一9)，一50 = 0(III)设 ZAOP=a 则 ZAOP= ZBOP.ZAOB = 2a则 cosZAOB= 2cos2 a -1 = 2(21)? 一 1 = _1OP OP 二1爲=1 + 2 = 210円丽=10-2 = 8.刀辰硕洒cosW-K）7、解：（1） 点M是线段PB的中点：.OM是PAB的中位线 4分c = 1.* /2 , AB = 2c =因为易 =M ,而绚 =L 2 = 2 H 0 ,7 州 一 2 3因 此 数 列 一 +丄 是 等心- 2 3 8分

12、(3)由(2)可知：atl = (-2)，则=2 + 1一，(切匕(m1)2+ r2(-1)屠 9分当n为偶数时有：(一1)”“兀-+(1)“ =1 1 2 心 + r H 2心+丄 2n- (2 心+丄)(2“_)3 3 3 3 11分于是在门为偶数时有: +丄V1r(_1)旺 +(-1)2x2+- + (-1),!xw v* +右 + 占 + 占 + 12分在/;为奇数时.前n-l项为偶数项，于是有:(_1)旺 +(_1)2七 + + (_1)一口心 +(_1)兀l + (-l)vn=l-心 1 (2 +T)= i+ y/2由于qE 亦 =0，则有A唐丄砧，所以点A的坐标为(冷_2,?)2

13、分 ax故AFX所在直线方程为y = (= + -) 3分aa2 2 a所以坐标原点。到直线越的距离为悟Z OF,I = yja2 2 ,所以一 = ja2 2 解得：a = 2 .5 分a 3所求椭圆的方程为卩17分(II)由题意可知直线/的斜率存在，设直线斜率为直线/的方程为y = R(x + l),则有M(0,灯 9分设OGwJ,由于0、F、M三点共线，且|M2| = 2|er|Y = 212分根据题意得(召一幻=2(齐+1)解得彳1 ，或i=T卜=-斤(_2f (_b2 (|)2 (石丿又0在椭圆C上，故 + = 1或一_ +丄厂=1解得k=o,k=4综上，直线/的斜率为或4. 14分

14、11、解：(1)设M为动圆圆心，由题意知：IMA=M到定直线x = -l的距离， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中4(1,0)为焦点，x = 1为准线， 动圆的圆心M的轨迹C的方程为：b=4x 5分(2)由題意可设直线/的方程为x = k(y-)伙HO),由Xk 得),2_4灯,+ 4=0 y =4% 7分 = 16戸一160 = 1 或 k i +2 = 4k , yxy2 = 4k 9 分由 OPOQ = 0 = x,x2 + yy2 = 0 11 分=2(乃 一 i)(儿 一 i)+x 儿= = 伙+1) X 2 一(1 + 儿)+疋=o4/:(2 + l)-2-4/: + A

15、:2 =0=/; = 或 k = 0 (舍去) 13 分又k = 7vO,所以直线/存在，其方程为：x+4y-4 = 0 14分12、解：(I )解法一：易知a = 2,b = ,c = *，所以斥(JJ,O),耳(J5,0) 1 分,设 P(x,y),则所.巫=(JJx,-)，),( JJx,y) = F + b _3 3 分因为xw2,2,故当x = 0,即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2-5分当x = 2,即点P为椭圆长轴端点时，所P可有最大值1 7分解法二：易知a = 2、b = 、c =羽,所以斤(Jl0)迅(x/5,0) 1分,设 P(x,y),则所两=阿阴 cos ZFf耳=|两H呵牙+ /J) +y2 +(-+ y2 -12 = x2 + y2 - 33分(以下同解法一)(II )显然直线x = 0不满足題设条件8分,可设直线 l:y = kx+2.Ay2) y2),联立y = kx + 2 /.，消去y,整理得：疋2 =1X+ )广=由 = (4約2 _ 4伙2 +丄)X 3 = 4八一 3 0得：k叵或k 一止4 2 212分