高中数学 12 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5.docx

高中数学 12 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5.docx

《高中数学 12 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 12 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学12第3课时等比数列的前n项和同步导学案北师大版必修5

第3课时　等比数列的前n项和

知能目标解读

1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.

2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.

3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.

重点难点点拨

重点：

掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.

难点：

研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.

学习方法指导

1.等比数列的前n项和公式

（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为

na1　　　　　（q=1）

Sn=.

　（q≠1）

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.

（2）等比数列{an}中，当已知a1,q（q≠1），n时，用公式Sn=，当已知a1,q（q≠1），an时，用公式Sn=.

2.等比数列前n项和公式的推导

除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.

（1）合比定理法

由等比数列的定义知：

==…==q.

当q≠1时，=q,即=q.

故Sn==.

当q=1时，Sn=na1.

（2）拆项法

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）

当q≠1时，Sn==.

当q=1时，Sn=na1.

（3）利用关系式Sn-Sn-1=an（n≥2）

∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q（Sn-an）

即（1-q）Sn=a1（1-qn）

当q≠1时，有Sn=,

当q=1时，Sn=na1.

注意：

（1）错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.

（2）错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和.

3.等比数列前n项和公式的应用

（1）衡量等比数列的量共有五个：

a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.

（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.

4.等比数列前n项和公式与函数的关系

（1）当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.

当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.

（2）当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.

知能自主梳理

1.等比数列前n项和公式

（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.

（2）推导等比数列前n项和公式的方法是.

2.公式特点

（1）若数列{an}的前n项和Sn=p（1-qn）（p为常数），且q≠0,q≠1，则数列{an}为　　　　.

（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知　求.

［答案］　1.

（1）　　na1　

（2）错位相减法

2.

（1）等比数列　

（2）三　二

思路方法技巧

命题方向　等比数列前n项和公式的应用

［例1］　设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.

［分析］　应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.

［解析］　当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；

当q≠1时，=3a1q2,

因为a1≠0,所以1－q3=3q2（1-q）,

2q3-3q2+1=0,（q-1）2（2q+1）=0,

解得q=-.

综上所述，公比q的值是1或－.

［说明］　

（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.

（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.

（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.

变式应用1　在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.

［解析］　∵S6=,S3=,

∴S6≠2S3，∴q≠1.

=　　　　　　①

∴

=　　　　　②

②÷①得　1+q3=9,∴q=2.

将q=2代入①，得a1=,

∴an=a1qn-1=2n-2.

命题方向　等比数列前n项的性质

［例2］　在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.

［分析］　利用等比数列前n项的性质求解.

［解析］　∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，

∴（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n）

∴S3n=+S2n=+60=63.

［说明］　等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.

变式应用2　等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.

［解析］　解法一：

∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，

∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.

∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2（1+q2）>0,

∴S4=28.

解法二：

∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

=7①

∴

=91②

得q4+q2-12=0,∴q2=3,

∴q=±.

当q=时，a1=,

∴S4==28.

当q=-时，a1=-,

∴S4==28.

探索延拓创新

命题方向　等比数列前n项和在实际问题中的应用

［例3］　某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.

（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；

（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；

（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?

（在计算中可使用lg2≈0.3）

［解析］　

（1）第一年年底本利和为a+a·25%=1.25a,

第二年年底本利和为（1.25a-x）+（1.25a-x）×25%=1.252a-1.25x,

第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+（1.252a-1.25x-x）25%=1.253a-（1.252+1.25）x.

（2）第n年年底本利和为

bn=1.25na-（1.25n-1+1.25n-2+…+1.25）x.

（3）依题意，有

395×1.2520-（1.2519+1.2518+…+1.25）x=4×395,

∴x=

=.　　　　　　　　①

设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20（1-3lg2）=2.

∴t=100,代入①解得x=96.

变式应用3　某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

［解析］　第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行

20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,

第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000（1+10%）-x］（1+10%）-x

=20000×1.12-1.1x-x,

…

第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,

依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得

20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,

解得x=≈3255（元）.

名师辨误做答

［例4］　求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.

［误解］　所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a

=.

［辨析］　所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.

［正解］　由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=.③当a≠0且a≠1时，Sn=.

课堂巩固训练

一、选择题

1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（　　）

A.2B.4C.D.

［答案］　C

［解析］　由题意得==.故选C.

2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（　　）

A.-2B.1C.-2或1D.2或-1

［答案］　C

［解析］　由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,

∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.

3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（　　）

A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2

［答案］　D

［解析］　等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.

∴Sn===2n+1-2,故选D.

二、填空题

4.若数列{an}满足：

a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）

［答案］　16　255

［解析］　考查等比数列的通项公式和前n项和公式.

q==2,a5=a1·q4=16,

S8==28-1=255.

5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.

［答案］　3

［解析］　∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,

两式相减，得a3-a4=-2a3,

∴a4=3a3,∴q=3.

三、解答题

6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3·a5=64，求数列{an}的前8项和.

［解析］　解法一：

设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得

a6-a4=a1q3（q2-1）=24,①

a3·a5=（a1q3）2=64,②

∴a1q3=±8.

将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.

将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.

当q=2时，得a1=1,所以S8==255;

当q=-2时，得a1=-1，所以S8==85.

解法二：

因为{an}是等比数列，所以依题意得

a24=a3·a5=64,

∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.

因为{an}是实数列，所以＞0,

故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±=±16.

公比q的值为q==±2,

当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,

∴S8==255;