北京各区初三二模数学分类汇编二次函数的图象性质和应用含答案.docx

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北京各区初三二模数学分类汇编二次函数的图象性质和应用含答案

2020 北京各区初三二模数学分类汇编

—二次函数的图象、性质和应用

1.（2020▪东城初三二模）若点 A（1,y1 ） ， B（2, y2 ） 在抛物线 y = a（ x + 1）2 + 2 （ a＜0 ）上，则下列结论正确的是（）

A. 2 > y > y

12

B． 2 > y > y

2     1

C． y > y > 2

1     2

D． y > y > 2

2     1

．．．

2.（2020▪海淀初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（a, b），若 ab>0，则称点 P 为“同号点”. 下列函数

的图象中不存在 “同号点”的是（）

y =-

x

D.

y = x2 +

1

x

C

3.（2020▪海淀初三二模） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有五个点 A（2,0） ，B（0, -2） ， （-2,4） ，D（4, -2） ，E（7,0） ，

将二次函数 y = a（x - 2）2 + m （m ≠ 0） 的图象记为 W.下列的

判断中

①点 A 一定不在 W 上；

②点 B，C，D 可以同时在 W 上；

y

7

6

5

C      4

3

2

1

A

E

③点 C，E 不可能同时在 W 上.

所有正确结论的序号是_______．

–4  –3  –2  –1

O

–1

–2

–3

1   2   3   4   5   6   7

B            D

8   x

．．

4.（2020▪丰台初三二模）如图，抛物线 y = x2 - 1 .将该抛物线

在 x 轴和 x 轴下方的部分记作 C1，将 C1 沿 x 轴翻折记作 C2，C1 和 C2 构成的图形记作 C3.关于图形 C3，给出如下四

个结论，其中错误的是（）

（A）图形 C3 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

（B）图形 C3 上任意一点到原点的距离都不超过 1

（C）图形 C3 的周长大于 2π

（D）图形 C3 所围成的区域的面积大于 2 且小于 π

1 / 16

5. （2020▪海淀初三二模） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=mx2+2mx+3 的图象与 x 轴交于点 A（-3,0） ，与

y 轴交

于点 B，将其图象在点 A，B 之间的部分（含 A,B 两点）记为 F.

（1）求点 B 的坐标及该函数的表达式；

（2）若二次函数 y=x2+2x+a 的图象与 F 只有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.

y

6

5

4

3

2

1

–4–3–2–1

O   1  2  3  4  x

–1

–2

6. （2020▪西城初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x 2+bx + c 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），

抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，且 OB=2OD.

（1）当 b = 2 时，

①写出抛物线的对称轴；

②求抛物线的表达式；

（2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ：

b + 2 和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，结

y = x +

2

合函数图象，求 b 的取值范围.

7. （2020▪东城初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，4），点 B 的坐标为（6，4），抛物线 y=x2-5x+a-2

的顶点为 C.

（1）当抛物线经过点 B 时，求顶点 C 的坐标；

（2）若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围；

（3）若满足不等式 x2-5x+a-2≤0 的 x 的最大值为 3，直接写出实数 a 的值.

2 / 16

8. （2020▪朝阳初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + a 2 x + c 与 y 轴交于点 （0,2 ）.

（1）求 c 的值;

（2）当 a = 2 时，求抛物线顶点的坐标;

（3）已知点 A （-2,0 ）, B （1,0 ），若抛物线 y = ax2 + a 2 x + c 与线段 AB 有两个公共点，结合函数图象.求 a 的取值

范围.

9．（2020▪丰台初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 - 4ax + 3a 与 y 轴交于点 A.

（1）求点 A 的坐标（用含 a 的式子表示）；

（2）求抛物线与 x 轴的交点坐标；

（3）已知点 P（a，0），Q（0， a - 2 ），如果抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

10．（2020▪燕山初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y = ax2 - 4ax（a ≠ 0） 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左

侧）．

y

（1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）已知点 P（2，2），Q（2＋2a，5a），若抛物线与线段 PQ 有公共点，

请结合函数图象，求 a 的取值范围．

1

O  1               x

11．（2020▪房山初三二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax2 + 2ax + c 与 x 轴交于点 A 、 B ，且 AB = 4 .抛

物线与 y 轴交于点 C ，将点 C 向上移动 1 个单位得到点 D .

（1）求抛物线对称轴；

（2）求点 D 纵坐标（用含有 a 的代数式表示）；

（3）已知点 P （-4,4 ） ，若抛物线与线段 PD 只有一个交点，求 a 的取值范围.

3 / 16

12．（2020▪顺义初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = mx2 - 3（m - 1）x + 2m - 1（m ≠ 0）．

（1）当 m=3 时，求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点 A（1，2）．试说明抛物线总经过点 A；

（3）已知点 B（0，2），将点 B 向右平移 3 个单位长度，得到点 C，若抛物线与线段 BC 只有一个公共点，求 m 的

取值范围．

13. （2020▪密云初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：

y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B

的左侧），与 y 轴交于点 C．点 B 的坐标为（3，0），将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后，恰好经过 B、

C 两点．

（1）求 k 的值和点 C 的坐标；

（2）求抛物线 C1 的表达式及顶点 D 的坐标；

（3）已知点 E 是点 D 关于原点的对称点，若抛物线 C2：

y=ax2-2（ a ≠ 0 ）与线

段 AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．

4 / 16

14．（2020▪平谷初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx-1（m>0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交

点 C.

（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域为图形 W（不含

边界）．

①当 m=1 时，求图形 W 内的整点个数；

②若图形 W 内有 2 个整数点，求 m 的取值范围．

15．（2020▪门头沟初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 - 2ax + a 2 的顶点为 A，直线 y = x + 3 与抛物

线交于点 B，C（点 B 在点 C 的左侧）.

（1）求点 A 坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段 BC 及抛物线在 B，C 两点之间的部分围成的封闭区域（不含边

界）记为 W.

①当 a = 0 时，结合函数图象，直接写出区域 W 内的整点个数；

②如果区域 W 内有 2 个整点，请求出 a 的取值范围.

y

6

5

4

3

2

1

–5 –4 –3 –2 –1 O

–1

–2

1  2  3  4  5 x

5 / 16

2020 北京各区初三二模数学分类汇编—二次函数的图象、性质和应

用参考答案

1.A

2.C

3.①②．

4.C

5.解：

（1）∵y=mx2+2mx+3 的图象与与 y 轴交于点 B，

∴点 B 的坐标为（0,3）.

∵y=mx2+2mx+3 的图象与 x 轴交于点 A（-3,0） ，

∴将 A（-3,0） 代入 y=mx2+2mx+3 可得 9m - 6m + 3 = 0 .

∴m= -1.

∴该函数的表达式为 y=-x2-2x+3.

（2）∵将二次函数 y=mx2+2mx+3 的图象在点 A，B 之间的

部分（含 A,B 两点）记为 F，

∴F 的端点为 A,B，并经过抛物线 y=mx2+2mx+3 的

顶点 C（其中 C 点坐标为（-1,4））.

∴可画 F 如图 1 所示.

∵二次函数 y=x2+2x+a 的图象的对称轴为 x=-1，

且与 F 只有一个公共点,

∴可分别把 A,B,C 的坐标代入解析式 y=x2+2x+a 中.

∴可得三个 a 值分别为-3，3，5.

可画示意图如图 2 所示.

A

–4 –3 –2 –1

C

A

–4 –3 –2 –1

y

6

5

4

3 B

2

1

O

–1

–2

–3

–4

图 1

y

6

5

4

3 B

2

1

O

–1

–2

–3

–4

图 2

1  2  3  4  x

1  2  3  4  x

6 / 16

∴结合函数图象可知：

二次函数 y=x2+2x+a 的图象与 F 只有一个公共点时，

a 的取值范围是-3≤a<3 或 a=5.

6．解：

（1）当 b = 2 时， y = x 2 + bx + c 化为 y = x 2 + 2 x + c ．

① x = -1 ．

②∵抛物线的对称轴为直线 x = -1 ，

∴点 D 的坐标为（-1， 0 ），OD=1．

∵OB=2OD，

∴OB=2．

∵点 A，点 B 关于直线 x = -1 对称，

∴点 B 在点 D 的右侧．

∴点 B 的坐标为（ 2 ， 0 ）．

∵抛物线 y = x 2 + 2 x + c 与 x 轴交于点 B（ 2 ， 0 ），

∴ 4 + 4 + c = 0 ．

解得 c = -8 ．

∴抛物线的表达式为 y = x 2 + 2 x - 8 ．

（2）设直线b + 2 与 x 轴交点为点 E，

y = x +

2

∴E（

-

．

b + 2 ，0）

2

7 / 16

抛物线的对称轴为b ，

x =-

2

∴点 D 的坐标为（

-

b ， 0 ）．

2

①当 b > 0 时，b ．

OD =

2

∵OB=2OD，

∴OB= b．

∴点 A 的坐标为（ - 2b ， 0 ），点 B 的坐标为（b， 0 ）．

当 - 2b 

b + 2

-y = x +

22

和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，

解得2 ．

b >

3

y

y

4

3

4

3

2

A E

-1

2

1

D

O

1

B

x

-1

1

A

O

-1

-2

1

E D   B

x

-1

-3

-2

-3

②当 b < 0 时， - b > 0 ．

∴b ．

OD = -

2

∵OB=2OD，

∴OB= -b．

8 / 16

∵抛物线 y = x 2+bx + c 与 x 轴交于点 A，B，且 A 在 B 的左侧，

∴点 A 的坐标为（ 0 ， 0 ），点 B 的坐标为（-b， 0 ）．

当0 

b + 2

-y = x +

22

和抛物线交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，

解得 b<-2．

综上，b 的取值范围是 b < -2 或2 . ·················· 6 分

b >

3

7. 解：

（1）依据题意，得

4 = 36 — 30+a— 2.

解得 a = 0.

此时 , y== x 2— 5 x — 2.

所以顶点 C 的坐标为

5 33 ....................................... 2 分

（ , -  ）

2   4

（2）当抛物线过 A（0,4）时, a = 6；

当抛物线过 B（6,4）时, a = 0;

当抛物线顶点在线段 AB 上时, a = 49

4

结合图象可知, a 的取值范围是 0≤a＜6 或 a = 49...................... 4 分

4

（3） a = 8. .......................................................... 6 分

8.解：

26．解：

（1）∵抛物线 y = ax 2 + a 2 x + c 与 y 轴交于点（0,2），

∴c=2.

9 / 16

（2）当 a=2 时，抛物线为 y = 2 x 2 + 4 x + 2 ，

∴顶点坐标为（

0）.

（3）当 a＞0 时，

①当 a=2 时，如图 1，抛物线与线段 AB 只有一个公共点.

②当 a = 1 +2 时，如图 2，抛物线与线段 AB 有两个公共点.

图 2

结合函数图象可得 2 < a≤1 + 2 .

当 a＜0 时，抛物线与线段 AB 只有一个或没有公共点.

综上所述，a 的取值范围是 2 < a≤1 + 2 .

9.解：

（1）令 x=0，则 y=3a.

∴点 A 的坐标为（0，3a）.………………………………………………1 分

（2）令 y=0，则 ax2- 4ax+3a=0.…………………………………………2 分

∵a≠0，∴解得 x = 1, x = 3 .

12

∴抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）.…………4 分

（3）①当 a < 0 时，

可知 3a≥a - 2.解得 a≥-1.

∴a 的取值范围是-1≤a < 0.

10 / 16

②当 a＞0 时，由①知 a≥-1 时，点 Q 始终在点 A 的下方，所以抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点时，只要 1≤a < 3

即可.

综上所述，a 的取值范围是-1≤a < 0 或 1≤a < 3.......….........….....………7 分

10．解：

（1） ∵ y = ax2 - 4ax ＝ ax（ x - 4） ，

∴抛物线与 x 轴交于点 A（0，0），B（4，0）．

抛物线 y = ax2 - 4ax 的对称轴为直线：

 x = -

-4a

2a

= 2 ．

（2） y = ax2 - 4ax ＝ a（ x 2 - 4 x） ＝ a（ x - 2）2 - 4a ，

抛物线的顶点坐标为（2，－4a）．

令 y = 5a ，得 ax 2 - 4ax = 5a ，

a（ x - 5）（ x + 1） = 0 ，

解得 x = -1 ，或 x = 5 ，

∴当 y = 5a 时，抛物线上两点 M（－1，5a），N（5，5a）．

①当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q（2＋2a，5a）位于点 P 的右侧，

如图 1，当点 N 位于点 Q 左侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，

此时 2＋2a>5，

解得3 ．

a>

2

②当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q（2＋2a，5a）位于点 P 的左侧，

（ⅰ）如图 2，当顶点位于点 P 下方时，抛物线与线段 PQ 有公共点，

此时－4a<2，

解得1 ．

a> -

2

11 / 16

（ⅱ）如图 3，当顶点位于点 P 上方，点 M 位于点 Q 右侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，

此时 2＋2a<－1，

解得3 ．

a< -

2

综上，a 的取值范围是3 ，或 1，或3 ．

a>a< -

22

11．解：

（1）对称轴

2a = -1

……………………………………1 分

（2）∵ AB = 4

A（-3，0），B（1，0）……………………………………2 分

把（1，0）代入表达式：

 a + 2a + c = 0 得：

 c = -3a ……………3 分

∴C（0，-3a）

∴D（0，-3a+1）,y = -3a +1 …………………………4 分

D

（3）当 a > 0 时

将点 P （-4,4 ） 代入抛物线 y = ax2 + 2ax - 3a 得：

4 = 16a - 8a - 3a ,4

a =

5

∴当4 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点…………………5 分

a ≥

5

当 a < 0 时

抛物线的顶点为 （-1,-4a ）

当 -4a = 4 时 a = -1 ………6 分

12 / 16

综上所述，当4 或 a = -1 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点.

a ≥

5

12．解：

（1）把 m=3 代入 y = mx 2 - 3 （m - 1） x + 2m - 1 中，得

y = 3x2 - 6x + 5 = 3（x - 1）2 + 2 ，

∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2 分

（2）当 x=1 时， y = m - 3（m - 1） + 2m - 1 = m - 3m + 3 + 2m - 1 = 2 ．

∵点 A（1，2），

∴抛物线总经过点 A．………………………………………………3 分

（3）∵点 B（0，2），由平移得 C（3，2）．

y

①当抛物线的顶点是点 A（1，2）时，抛物线与

线段 BC 只有一个公共点．由

（1）知，此时，

m=3．……………………………………4 分

B

1

O

A      C

1             x

②当抛物线过点 B（0，2）时，

将点 B（0，2）代入抛物线表达式，得

2m-1=2．

∴m= 3 >0．

2

此时抛物线开口向上（如图 1）．

图1

13 / 16

∴当 0

2

只有一个公共点．………………………………………5 分

③当抛物线过点 C（3，2）时，

将点 C（3，2）代入抛物线表达式，得

9m-9（m-1）+2m-1=2．

∴m=-3<0．

y

B

1

O

A      C

1             x

图2

此时抛物线开口向下（如图 2）．

∴当-3

只有一个公共点．………………… 6 分

综上，m 的取值范围是 m=3 或 0

2

13.

（1）解：

∵直线 y=kx+3 经过点 B（3，0）

∴3k+3=0

k=-1………………………………1 分

∴y=-x+3 与 y 轴的交点，即为点 C（0，3）………………………………2 分

（2）解：

∵抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B（3，0）和点 C（0，3）

∴y=x2+bx+3

∴ 9+3b+3=0

b=-4

∴抛物线 C1 的函数表达式为 y=x2-4x+3 ………………………3 分

∴y=（x-2）2-1

∴顶点 D 的坐标为（2，-1）………………………………4 分

14 / 16

（3）解：

∵点 E 是点 D 关于原点的对称点

∴点 E 的坐标为（-2，1）

3

4

当 y=ax2-2 经过点 E（-2，1）时，a=

当 y=ax2-2 经过点 A（1，0）时，a=2

3

∴a 的取值范围是≤a<2……………6 分

14.解：

（1）··························· 1

x = -= 1

2a

C（0，-1） ······························· 2

（2）①1 个 ······························· 3

②当抛物线顶点为（1，-2）时，m=1

当抛物线顶点为（1，-3）时，m=2

所以，1 < m ≤ 2 ····························· 6

15.解：

 ）∵抛物线y

x2    2ax   a2 的顶点为A ，

∴

x =-

-2a = a ,y

2

a2   2a  a  a2   0 .

∴ Aa ， ； ........................................................... 2 分

（2）①4 个 .............................................................4 分

②如图所示：

当抛物线yx22ax

a22 ， a = ± 2

a = 2不符合题意舍去；

当

a2 经过点  0 ， 时，

抛

a2

1 ，a     1.

物

线

15 / 16

a1 不符合题意舍去；

∴- 2a ≤1...............................................6 分

16 / 16