高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材.docx

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高考数学第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材

2019-2020年高考数学第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材

教材面面观

1．两角和与差的正余弦公式：

cos（α＋β）＝________；

cos（α－β）＝________；

sin（α＋β）＝________；

sin（α－β）＝________.

答案　cosαcosβ－sinαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ　sinαcosβ＋cosαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ

2．两角和与差的正切公式：

tan（α＋β）＝________；

tan（α－β）＝________（α、β≠kπ＋，α－β≠kπ＋，k∈Z）．

答案　　

3．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ），其中cosφ＝________，sinφ＝________，tanφ＝________.

φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角．

答案　　　　a、b的符号

考点串串讲

1．两角和与差的三角公式需理解

（1）理解运用公式时应注意的几个问题

①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β中有为的整数倍时，使用诱导公式更灵活、简便．

②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义

一般情况下，sin（α＋β）≠sinα＋sinβ，cos（α＋β）≠cosα＋cosβ.只有在特殊情况下，才有可能sinα＋sinβ＝sin（α＋β）．

③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析，便于理解、记忆和应用．

（ⅰ）明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号．

（ⅱ）要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化．

（2）常见的角的代换有：

α＝（α＋β）－β　α＝β－（β－α）

α＝[（α＋β）＋（α－β）]

α＝[（β＋α）－（β－α）]

角的代换实质是根据题意的需要把角看活，要在活字上作文章．

（3）公式的逆向变换、多向变换

使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．

如两角和的正切公式tan（α＋β）＝，就必须掌握如下的一些变换：

＝tan（α＋β）

1－tanαtanβ＝

tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）

tanα·tanβ·tan（α＋β）＝tan（α＋β）－tanα－tanβ

（4）引入辅助角的变换

形如asinx＋bcosx（a、b不同时为零）的式子引入辅助角变形为Asin（x＋φ）的形式．这里A＝，sinφ＝，cosφ＝，φ的终边所在象限由a和b确定．

2．二倍角的正弦、余弦、正切

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α

tan2α＝

公式的推导：

在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令α＝β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式．从推导中可发现，二倍角公式是和角公式的特殊情况．

（2）应注意的地方

①对于“二倍角”的理解，不单纯是α与2α的关系，而应有更广泛的理解．如4α是2α的二倍角；3α是的二倍角；α是的二倍角；是的二倍角等等．

②当α＝kπ＋（k∈Z）时，tanα的值不存在，这时求tan2α的值可利用诱导公式．即tan2α＝tan2（kπ＋）＝tan（π＋2kπ）＝tanπ＝0.

③公式的逆向变换与有关变形

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝（sinα±cosα）2a

1＋cosα＝2cos2b

1－cosα＝2sin2c

cos2α＝（1＋cos2α）d

sin2α＝（1－cos2α）e

上述公式中，b、c又称为升幂公式，d、e又称为降幂公式．

（3）知识的延伸及扩展

①三倍角公式

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

②半角公式

sin＝±

cos＝±

tan＝±＝＝

③万能公式

sinα＝

cosα＝

tanα＝

④和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sincos

sinα－sinβ＝2cossin

cosα＋cosβ＝2coscos

cosα－cosβ＝－2sinsin

⑤积化和差公式

sinαcosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosαsinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosαcosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinαsinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]

3．三角函数的求值、化简和证明

（1）三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角

①给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．

②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异．一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．

③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．

在解给值求角的题型时需注意角的范围．

（2）三角式的化简

这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单，化简时注意最简式的五种形式和要求．

①化简三角函数式的意义是为更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．

②化简三角函数式的要求：

（ⅰ）能求出值种数尽量少．

（ⅱ）使项数尽量少．

（ⅲ）尽量使分母不含三角函数．

（ⅳ）尽量使被开方数不含三角函数．

③化简常用的技巧

（ⅰ）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；

（ⅱ）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；

（ⅲ）对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；

（ⅳ）注意利用角与角之间的隐含关系；

（ⅴ）注意利用“1”的恒等变形；

（ⅵ）注意条件的合理使用：

尽可能不去破坏条件的整体结构，即要把所求式子适当变形，能使条件整体代入；将条件适当简化、整理或重新改造、组合，使其与所求式子更吻合．

④作为三角变换的基础的三角式的化简，有三种基本类型：

根式形式、分式形式、多项式形式．常用方法有：

公式法、切割化弦法、异名化同名、异角化同角．

（3）三角恒等式的证明

恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．

①无条件的等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．

②有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证.

典例对对碰

题型一两角和与差的三角公式应用

例1求下列各式的值：

（1）cos80°cos35°＋cos10°cos55°；

（2）sin75°－sin15°；

（3）tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；

（4）.

解析　充分利用公式，把已知的角化为可求的特殊角．

（1）原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°

＝cos（80°－35°）

＝cos45°＝.

（2）原式＝sin（45°＋30°）－sin（45°－30°）

＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°－sin45°cos30°＋cos45°·sin30°

＝2cos45°sin30°

＝2××＝.

（3）∵tan45°＝tan（30°＋15°）

＝，

∴tan30°＋tan15°＝1－tan30°tan15°.

∴原式＝tan30°＋tan15°＋tan30°tan15°＝1.

（4）原式＝＝

＝tan（45°－15°）＝tan30°

＝.

变式迁移1

已知△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0.求角A、B、C的大小．

解析　由sinB＋cos2C＝0得sinB＝－cos2C＝sin（－2C）．由0＜B、C＜π，所以B＝－2C或B＝2C－.

即B＋2C＝或2C－B＝.

由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，

得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0.

所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0.

即sinB（sinA－cosA）＝0.

因为sinB≠0，所以cosA＝sinA.

由A∈（0，π），知A＝.

从而B＋C＝，知B＋2C＝不合要求．

再由2C－B＝，得B＝，C＝.

所以A＝，B＝，C＝.

题型二二倍角公式的应用

例2化简：

（1）cos72°·cos36°；

（2）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；

（3）cosα·cos·cos·cos·…·cos.

解析　

（1）cos36°·cos72°

＝

＝

＝＝.

（2）原式＝cos20°·cos40°·cos80°

＝

＝

＝

＝＝.

（3）原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得

原式＝.

点评　解的过程中反复地使用二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.要注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时，可采用类似的方法解之.

变式迁移2

化简：

（－tan）·（1＋tanα·tan）．

解析　原式

＝·

＝·

＝·

＝·＝.

题型三角的凑配

例3已知＜α＜，0＜β＜，cos（－α）＝，sin（＋β）＝，求sin（α＋β）的值．

分析　注意到（＋β）－（－α）＝＋（α＋β）．欲求sin（α＋β），即求－cos（＋α＋β），这只需求出cos（＋β）和sin（－α）的值．因此“整体变换”的方法是解本题的合理选择．

解析　－＜－α＜0，

∴sin（－α）＝－，＜＋β＜π，

∴cos（＋β）＝－.

sin（α＋β）＝－cos[＋（α＋β）]

＝－cos[（＋β）－（－α）]

＝－cos（＋β）·cos（－α）－sin（＋β）·sin（－α）

＝×－×（－）＝.

点评　角度的和差之间相差kπ或kπ＋（k∈Z）时，可以用诱导公式进行变换．本题若从已知直接去求sinα、cosα、sinβ、cosβ，则解题过程十分复杂．因此类似问题中应考虑优先使用上面的简捷解法.

变式迁移3

已知sinα＝，tan（α＋β）＝1，且α是第二象限的角，那么tanβ的值是（　　）

A.　　　　　　　　　B．－

C．7D．－7

答案　D

解析　由sinα＝，α是第二象限角，

可得tanα＝－，从而

tanβ＝tan[（α＋β）－α]

＝

＝＝－7.

题型四辅助角公式的应用

例4不查表，计算－＋64sin220°.

解析　原式＝＋64sin220°

＝＋64sin220°

＝＋64sin220°

＝32cos40°＋64×＝32.

点评　对于形如asinα±bcosα的三角函数式的化简求值，往往需要通过提取公因式构造辅助角（主要为，，），然后逆用两角和与差的正、余弦公式化简，尤其是当系数中含有时，一般都可运用辅助角公式.

变式迁移4

已知函数f（x）＝2cos2x＋sin2x，x∈R.

（1）求f（x）的最大值及相应的x的取值集合；

（2）求f（x）的单调递增区间．

解析　

（1）f（x）＝2cos2x＋sin2x＝2sin（2x＋）＋1，

当2x＋＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值3.

所以，f（x）的最大值为3，相应的x的取值集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．

（2）f（x）＝2sin（2x＋）＋1，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈