第三节实数域和复数域.docx

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第三节实数域和复数域

第三节实数域和复数域

1．实数和实数域

前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法（因这种扩充，需对极限运算封闭）．

但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致.

（1）定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．

如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．

事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛an｝的极限.则存在k€N,使|ak

—a|v1，从而av1+|ak|.

1+|ak|是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n€N，使n>1+|ak|.故有n

>a.

因此，R是阿基米德序域．

反之，设R是实数域，则对于任意a€R及n€N，存在m1,m2€N,使

有上界（例如m1）.又A非空（至少-m2€A），故A有最大数m€Z,于是

即

liman=a

即R中任意数a都是有理数基本列的极限.

若R1,R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限.

现作映射f:

R1tR1，使对任意a€R1，若liman=a,｛an｝为有理数基本列，｛an｝在R2中极限为a',则f（a）=a'.

易知f是R1到R2的同构映射.因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的.

（2）构造设M是所有有理数基本列的集合.在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下:

对任意｛an｝，｛bn｝€M.

1°｛an｝〜｛bn｝当且仅当lim（an—bn）=O；

2{an}+{bn}={an+bn}；

3{an}{bn}={an•n}；

4°{an}<{bn}当且仅当存在有理数e>0,及no€N，使当n>no时，bn—an

>£.

由有理数的性质知,上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序,是全序．

作商集M/〜=Ro,在Ro中定义等价类的加法、乘法及序如下：

对任意a,Ro,{an}€a,{bn}€3,

1°若{an+bn}€y,则规定a+3=Y；

2°若{anbn}€p,则规定a-3=P

3°若{an}<{bn}，则规定a<3.

不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；Ro中加法、乘法满足结合律、

交换律和分配律.

a,3,存在n€N，使na>3.

若a>o,称a为正兀；若a

因此，Ro是阿基米德序域

（3）嵌入

设Ri是Ro中所有有理常数列{a}所代表的类的集合，R2是Ro中其余的类所组成的

集合，则Ro=RiUR2.

作映射f:

RitQ,使f（{a}）=a.则f是同构映射，因而（Ri；+,•,<）与（Q;+,•,<）同构.

作集合R=QUR2,R中的运算由f的扩张决定.贝UR是通常所说的实数域.R2中的实数,称作无理数.有时为了方便,将正实数集合记为R＋.

实数集R的若干性质.

1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a,b，若a

2°连续统实数集R与直线上点集Ri一一对应.建立对应的方法如下：

在直线l上取O点为原点,OA为单位,A点所在半直线为正向,建立直线坐标系第一次,以OA为单位,从O点开始,向左、右两边等分直线,得第一批分点（与单位端点重合的点）,它们对应全体整数.

划分直线，得第n批分点，其中p€N+,p>1,n=2,3,….

这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数.

现令第n批分点中两个相邻分点之间（包括两端点）所有点组成之集为第n级子区间An,

于是，直线I上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间An之中，这

些An形成一个区间套｛An｝:

实数b．这时规定B与b对应．

建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．

由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．

3°实数表示成无尽小数形式

由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：

设a为正实数，它对应Ri上区间套｛An｝（若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间）.又令ai为Ai左端点对应的整数（自然数）；n>1时，An左端点为An-1中第an（an=O,1,2,…，p-1）个分点.于是得到一个唯一确定的非负整数列（ai,

a2，…，an,…）（0Waj

反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数.

我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列（a1,a2,…，an,…）记作

a1a2a3…an…

并称之为实数a的p进小数表示.在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作

a=a182a3…an…

对每个负实数a,-a>0,故也可表示成无尽小数形式.

为方便起见,常取p=10,把实数表示成10进小数.有理数可以表示成无尽循环小数,当循环节为0时,省略尾部所有的0,成为有限小数.无理数则是无尽不循环小数.

4°R不是可数集

这只须指出单位区间1=｛x€R

反证,假定I可数,其中数（纯10进小数）排成一列：

a1=0.a11a12a13…

a2=0.a21a22a23…

an=0.an1an2an3…

令b=0.b1b2…b…，其中

显然，b€I，但bzan,n=1,2,3,…•这与I可数矛盾•所以I不是可数集，因此R也不是可数集.

*2．实数的公理化定义

实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理（实数公理）将它整体地给出来．

设在集合R中定义了两种代数运算，加法牛”和乘法“；定义了序关系，（R;+,

V）满足以下公理（实数公理）：

I.域公理

对于任意x,y,z€R，有

Ii.x+（y+z）=（x+y）+z;

I2.x+y=y+x;

I3.存在兀素o€R,使0+x=x;

I4.存在兀素—x€R,使x+（—x）=0;

（至此，（R;+）为群）

I5.x（yz）=（xy）z；

I6.xy=yx；

I7.x（y＋z）=xy＋xz；

I8.存在元素1€R，使1-x=x;

（至此，（R;+,）为具有单位元的可换环）

-1-1

I9.若XM0，则总存在元素x€R，使xx=1.

（至此，（R;+,）为域）

n.序公理

对任意x,y,z€R，有

ni.xVy或x=y或yVx，有且仅有一个成立；

n2.若xVy,yVz,贝UxVz;

（至此,（R;V）为全序集）

n3.若xVy，贝Ux+zVy+z;

n4.若0Vx,0Vy，贝U0Vxy;

（至此，（R;+,•V）为全序域）

川.阿基米德公理对于任意R中正元0Vx,0Vy，总存在n€N，使yVnx.

（至此，（R;+,•V）为阿基米德序域）

W.完备公理（柯西准则）R中基本序列在R中收敛

（至此，（R;+,；v）为连续的或完备的阿基米德序域）

公理W又称连续公理，它有许多等价形式：

1°（戴德金定理）R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数;或B中有最小数，A中无最大数

2°（确界存在定理）R中有上（下）界子集必有上（下）确界．

3°（单调有界定理）R中单调有界数列必有极限．

4°（区间套定理）R中任意闭区间套{[an,bn]}确定唯

T0,则存在唯一实数a€[an,bn],n=1,2,3,….

6°（致密性定理）R中每个有界数列必合收敛子列．

7°（聚点定理）R中有界无穷点集至少有一个聚点．

3．复数域

从实数集向复数集的扩充,又可以采用代数扩张的办法．

（1）定义含有实数域R和i（i具有性质i2=-l）的最小域C,称为复数域•即

1°域（R;+,）是（C;+,）的子域；

3°若域（C';+,）满足上述1°与2°,则（C;+,）是（C';+,）的子域.

域C中元素叫做复数.

如果复数域C存在,则C具有形式

2

C={a+bi|a,b€R,i=—1}

因此，所有在此定义下的复数域C是同构的•即复数域C若存在，则在同构的意义上

是唯一的.

（2）构造作集合

C0={（a,b）|a,b€R}

在Co中定义加法牛”和乘法“如下：

对任意实数对（a,b）,（c,d）€Co，规定

（a，b）＋（c，d）=（a＋c，b＋d）

（a,b）（c,d）=（ac-bd,ad＋bc）

容易证明，（Co;+,）是域.

与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集.

（3）嵌入令Co=C1UC2，其中

Ci={（a,0）|a€R}

C2由C0中其余元素组成．

作映射f:

RfCi，使对每一a€R，都有f（a）=（a,0）.易知f是（R;+,）到（Ci;

+,）的同构映射，故（R；+,）是（Co；+,）的子域.

令C=RUC2,C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于

（0，i）（0，i）=（-i，0）

所以i=（0，i），i2=-i

复数的性质

i°复数域是代数闭域

这由下面定理保证:

代数基本定理复系数n次方程

nn-i

x+an-ix+•••+aix+ao=0

在复数域C中有n个根.

只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹.

2°复数域不能成为序域

首先，要明确全序集与序域的区别.复数集C,可以定义序V,使（C;<）成为全序集.例如，对于任意ai+bii,a2+b2i€C,规定ai+bii<*a2+b2i当且仅当ai

但是，对于复数域C上任意序<,（C;+,,<）都不是序域.

事实上，只要考虑i与0的序关系即可•由于i工0只有0

若0

0

所以

0<（－i）（－i）=i（*）

又由序公理n3,应有0+1<（—i）+i，即i<0,与（*）矛盾

若i<0,则0=i+（-i）<0+（-i）=-i，同样推得矛盾.

因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域（C;+,）中的复数，没有大小顺序.这

就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在.

在数系的扩充过程中,数的范围不断扩大,数的结构逐渐完善,数的性质有所增加,但有时也失去一些原有性质.例如,N扩充到Z,失去了良序性等.当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时,数的一些基本性质,如乘法交换律,甚至连乘法的结合律都要失去,与“数”的传统概念就相去很远了.因此,通常所说的数,都是指实数或复数.

第四节代数数、超越数和作图不能问题

1．代数数和超越数有理系数（或整系数）多项式

p（x）=anxn+an-ixn-1+…+aix+ao

（1）

的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．

一个代数数a所满足的有理系数多项式的最低次数，称作a的次

为它们满足一次方程qx-p=0．

代数数，而

是四次代数数，因a5是四次方程

42

x-5x+5=0

的根

有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．

人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：

①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．

但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问

题”相关．

1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．

然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite（1822—1901）第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann（1852—1939）越数，列为他著名的“23个问题”的第7个.1929年，Gelfond（1906—1968）证明了en是超越数；1930年，Kuzmin（1891—1949）将

本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类.例如

sin1，cos3，ln2，ln5，…

和

un是不同

都是超越数（这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：

若u1，u2，…，的代数数，那么复指数e"1,e"2,…，e"n在代数数域上线性无关）.

然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连n+e,ne是不是超越数，至今还不

知道．

*2.n和e

这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．

圆周率n,即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值.1761年，Lambert（1728—1777）证明了n是无理数，这才打破了人们的梦想.

但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法•因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明.

取自然数n>q，用n!

乘下列级数表达式两边:

n!

e=an+bn

因n>1，故0vbn<1•即bn不可能是整数•产生矛盾•所以e是无理数.

n和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明

大意，方法与上面相仿.

e不是二次代数数即证明：

对于任意ao,a1,a2€Z且ao工0,都有

2

aoe+a1e+a2工0

事实上，如果有某三个整数ao（丰0）,a1,a2使

2

aoe＋a1e＋a2=o

即

-1

aoe＋a1＋a2e=o（3）

将

（2）代入（3）,便有

从而

（n-1）!

Sn=-（n-1）!

Rn

因（n—1）!

Sn为整数，故

也应为整数．

令A=|ao|+|a2|，取n>3A.则

因此，（n—1）！

Rn=0，（n-1）！

Sn=0．由此可以导致矛盾（详见［39］）．

证明n是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题化圆为方”

作图是不可能的.

3.几何作图不能问题

华罗庚在1952年发表过一篇题为三分角问题”的文章①•他说：

我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚（即使不能严格证明），以免引人走入歧途.”

作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚.

古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是

1三等分任意角问题；

2倍立方问题（作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍）；

3化圆为方问题（作一正方形使其面积等于已知圆的面积）.

如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题.

所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题.

如何证明它们是作图不能问题呢？

先看看用尺规可以作出哪些几何图形.

设给出一单位长线段1（用线段的长度表示该线段），则可作出：

1°所有正整数n（长度为n的线段）；

3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根.

如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段（设为

和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”.例

其中a，b，A是较低层平方根数或有理数.

每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程

（1）或有理方程

xn+aixn1+…+an-ix+an=0,a"€Q（4）

的根•反之，方程（4）如果有这样多层平方根数”的根x=a，则a是由方程（4）的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．

设方程（4）的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：

42

x-5x+5=0

于是a5€F2•

为解决几何作图问题，我们先证明

定理Q上三次方程

2

X3+aix+a2X+a3=0（5）

的一个根若为多层平方根数”则一定有有理根.

证设（5）有一个根xi是“多层平方根数”：

其中a,b,A€Fk-i,k》l.

（6）代入（5）：

整理得

x3=-ai-xi-x2=ai-2a

也是（5）的根

如果a€Q,则定理已经证明.若a€Fk-i工Q，那么又令a=a'

因此，方程（5）有根

x1或x2，即

由此定理得

推论如果三次方程（5）没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图.

利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”.

4.“几何作图三大难题”的解答

（1）三等分角问题

设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线

由于

3

4x-3x-cosA=0

的根.特别地，当A=60°时，cos20°是方程

3

8x3－6x－1=0（8）

的根.

方程（8）没有有理根.事实上，令y=2x，（8）变成

y3-3y-1=0（9）

323

p—3qp=q

即

p（p2—3q2）=q3（10）

从而p|q3，但（|p|，|q|）=1，故p=±1.

同样，由（10）有q|p3，又得q=±1.

从而（9）若有有理根，则只能为y=±1.经检验，y=±1均不是（9）的根.所以方程（9），从而（8），没有有理根.由上段推论，

（2）倍立方问题

设已知立方体棱长为1,2倍体积的立方体校长为x，则有

x3=2或x3—2=0（11）

同上可证，（11）也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．

方程（8）和（11）都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：

代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．

（3）化圆为方问题

设给定圆半径为1，则其面积为n设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程

x2=n或x2—n=0（12）

有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．

研究与思考题

1•试说明在数的扩充过程中，从NtC的每一步，数的性质增加了什么？

减少了什么？

2•试证明：

有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域.

3.从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？

原因何在？

4•证明：

实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数.

5.证明：

代数数集A构成实数域R的子域.又问，超越数集T是否也构成R的子域？

6．作图不能问题的含义是什么？

希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？

7．“复数不能规定大小”的含义是什么？

8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？

为什么？