第三节实数域和复数域.docx

1、第三节实数域和复数域第三节 实数域和复数域1实数和实数域前节所说的，用 N 中自然数序对作为新数 整数，用 Z 中整数序对作为新数 有 理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向 实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法 (因这种扩充，需对极限运算封闭 ) 但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致.(1)定义 含有有理数域为其子域的连续域 R 称为实数域， R 的元素称为实数如果实数域 R 存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列 an的极限.则存在k N,使|a ka| v 1，从而 a v 1

2、 + |a k | .1+ |a k|是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在 n N，使n 1 + |a k| .故有n a .因此， R 是阿基米德序域反之，设R是实数域，则对于任意 a R及n N，存在m 1 , m 2 N,使有上界(例如m 1).又A非空(至少-m 2 A)，故A有最大数m Z ,于是即lima n = a即R中任意数a都是有理数基本列的极限.若R1, R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限.现作映射f: R1 tR1，使对任意a R1，若lima n=a , an为有理数基本列， an 在R2中极限为a,则f(a)=a .易知f是R1到R2的同构映射.

3、因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的.(2)构造 设 M 是所有有理数基本列的集合.在 M 中定义等价关系、加法、乘法及序如 下:对任意 an， bn M.1 an bn当且仅当 lim(a n bn)=O ；2 a n + b n = an + bn ；3 an bn = a n n；4 an0,及no N，使当n no时，bn an .由有理数的性质知, 上述基本列的加法、 乘法满足结合律、交换律和分配律 所定义的 基本列的序,是全序作商集M/=Ro,在Ro中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意 a, Ro, an a, bn 3,1若 an + bn y,则规定 a+ 3= Y

4、；2 若 an bn p,则规定 a-3 =P3 若 an bn ，则规定 a 3.若a o,称a为正兀；若 a o,称a为负兀.对任两正兀因此， Ro 是阿基米德序域(3)嵌入设Ri是Ro中所有有理常数列 a所代表的类的集合， R2是Ro中其余的类所组成的集合，则 Ro=R i U R2.作映射f:R i t Q ,使f( a )=a .则f是同构映射，因而(Ri ； +, , )与(Q ; +, , ) 同构.作集合R=Q U R2, R中的运算由f的扩张决定.贝U R是通常所说的实数域.R2中的实 数,称作无理数.有时为了方便,将正实数集合记为 R.实数集 R 的若干性质.1 有理数集Q

5、在R中处处稠密 对任意两实数a , b，若ab，则必存在c Q，使 a c 1 , n=2 , 3 ,.这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数.现令第n批分点中两个相邻分点之间 （包括两端点）所有点组成之集为第 n级子区间An,于是，直线I上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间 An之中，这些An形成一个区间套 An :实数 b 这时规定 B 与 b 对应建立直线坐标系的直线 R1 称为数直线， 或实直线， 或连续统； 在它上面已不再有 “洞 ”由于实数集 R 与实直线 R1 等价，以后不再区别 R 与 R13实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成 p

6、进制无尽小数方法如下：设a为正实数，它对应 Ri上区间套 An（若a为有理数，是某些区间的端点，则规 定它属于右边的区间）.又令ai为Ai左端点对应的整数（自然数）；n 1时，An左端点为 An -1中第an（an=O , 1 , 2 ,，p-1）个分点.于是得到一个唯一确定的非负整数列 （ai,a2，an,）（0 Waj0,故也可表示成无尽小数形式.为方便起见, 常取 p=10 ,把实数表示成 10 进小数. 有理数可以表示成无尽循环小数, 当循环节为 0 时,省略尾部所有的 0,成为有限小数.无理数则是无尽不循环小数.4R 不是可数集这只须指出单位区间1= x R x 1 不可数即可，可用

7、著名的 对角线法”证明如下：反证,假定 I 可数,其中数 （ 纯 10 进小数 ） 排成一列：a1=0 . a 11 a12 a 13 a2 = 0 . a 21 a 22 a23 an=0 . a n1 a n2 an3 令b=0 . b 1b2b，其中显然，b I，但bzan , n=1 , 2, 3 ,这与I可数矛盾所以I不是可数集，因此 R 也不是可数集.*2 实数的公理化定义实数域 R 的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域可以用一组公理 （ 实数公理 ）将 它整体地给出来设在集合R中定义了两种代数运算， 加法 牛”和乘法“；定义了序关系 ，（R ; +,V）满足以下公理（实数公理）

8、：I.域公理对于任意x , y, z R，有I i. x + （y + z） = （x + y） + z ;I 2 . x + y = y + x ;I 3 .存在兀素 o R,使0 + x = x;I 4 .存在兀素x R, 使 x + （ x） = 0 ;（至此，（R ; + ）为群）I 5 . x（yz）=（xy）z ；I 6 . xy = yx ；I 7. x（y z）=xy xz ；I8 .存在元素1 R，使1 -x=x ;（至此，（R ;+,）为具有单位元的可换环）-1 -1I 9 .若XM0，则总存在元素x R，使x x=1 .（至此，（R ;+,）为域）n.序公理对任意x, y

9、, z R，有n i. x V y或x=y 或y V x，有且仅有一个成立；n 2 .若 x V y , y V z,贝U x V z;（至此, （R ;V ）为全序集 ）n 3 .若 x V y，贝U x+z V y+z ;n 4 .若 0 V x , 0 V y，贝 U 0 V xy ;（至此，（R ;+, V ）为全序域）川.阿基米德公理 对于任意R中正元0 V x , 0 V y，总存在 n N ，使 y V nx .（至此，（R ;+, V ）为阿基米德序域）W.完备公理（柯西准则）R中基本序列在 R中收敛(至此，(R ;+, ；v )为连续的或完备的阿基米德序域 )公理W又称连续公

10、理，它有许多等价形式：1( 戴德金定理 ) R 中任意一个分割 A|B 都确定唯一的一个实数，即或 A 中有最大 数， B 中无最小数;或 B 中有最小数， A 中无最大数2( 确界存在定理 ) R 中有上 (下)界子集必有上 (下)确界3( 单调有界定理 ) R 中单调有界数列必有极限4 (区间套定理)R中任意闭区间套 an, bn确定唯T0,则存在唯一实数 a an, bn, n=1 , 2 , 3 ,.6 ( 致密性定理 ) R 中每个有界数列必合收敛子列7 ( 聚点定理 ) R 中有界无穷点集至少有一个聚点3 复数域从实数集向复数集的扩充,又可以采用代数扩张的办法(1)定义 含有实数域

11、R和i(i具有性质i2=-l)的最小域C,称为复数域即1域(R ;+,)是(C ;+,)的子域；3若域(C;+,)满足上述1与2 ,则(C ;+,)是(C;+,)的子域.域C中元素叫做复数.如果复数域 C 存在,则 C 具有形式2C = a + bi|a , b R, i = 1 因此，所有在此定义下的复数域 C是同构的即复数域 C若存在，则在同构的意义上是唯一的.(2)构造 作集合C0= (a , b)|a , b R在Co中定义加法 牛”和乘法“如下：对任意实数对(a , b) , (c , d) Co，规定(a ， b) (c ，d)=(a c， bd)(a , b)(c , d)=(a

12、c-bd , ad bc)容易证明，(Co;+,)是域.与前节构作整数环 Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集.(3)嵌入令Co=C 1 U C2，其中Ci= (a , 0)|a RC2 由 C0 中其余元素组成作映射f: Rf Ci，使对每一 a R，都有f(a) = (a , 0).易知f是(R ;+,)到(Ci ;+ ,)的同构映射，故(R ；+,)是(Co；+,)的子域.令C = RU C2, C中的运算由f的扩张决定，则 C就是通常所说的复数域，且由于(0 ， i)(0 ， i)=(-i ， 0)所以 i=(0 ， i) ， i2=-i复数的性质i 复数域是代数闭域这由

13、下面定理保证:代数基本定理 复系数 n 次方程n n-ix + an-i x + aix+a o = 0在复数域 C 中有 n 个根.只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的 根，这真是一个数学奇迹.2 复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别. 复数集C,可以定义序V,使(C ; )成为全序集.例 如，对于任意 ai + bi i, a2 + b2i C,规定 ai +b ii *a 2+b 2i 当且仅当 ai a2;或 ai =a 2, bi b2 .贝U *”是C的一个全序，从而(C ; *)是全序集.但是，对于复数域 C上任意序,(C ;

14、 +, )都不是序域.事实上，只要考虑i与0的序关系即可由于i工0只有0 i或i 0 .若0 i，由实数序公理n 4，有0 i i=-i所以0(i)( i)=i (*)又由序公理n 3,应有0 +1 ( i) + i，即i 0,与(*)矛盾若i 0,则0 = i + (-i) q，用n!乘下列级数表达式两边: n ! e = an+ bn因n 1，故0 v bn3A .则因此， （n 1） ！ Rn=0 ， （n-1） ！ Sn=0 由此可以导致矛盾 （详见39 ）证明n是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题 化圆为方”作图是不可能的.3.几何作图不能问题华罗庚在1952年

15、发表过一篇题为 三分角问题”的文章他说： 我建议传授几何问 题的人， 如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚 （即使不能严格证明 ） ，以免引人走入歧 途. ”作为一个数学教师，对 “三等分角 ”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚.古希腊数学家提出的所谓 “几何作图三大问题 ”是1三等分任意角问题；2倍立方问题 （作一立方体使其体积等于已知立方体体积 2 倍）；3化圆为方问题 （作一正方形使其面积等于已知圆的面积 ）.如果限于尺规作图， 即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图， 那么这三个作图问题， 都 是作图不能问题.所谓 “作图不能问题 ”，不是没有找到作图方法的、 尚未解决的作图问题， 而

16、是从理论上 已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题.如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形.设给出一单位长线段 1（用线段的长度表示该线段 ），则可作出：1 所有正整数n（长度为n的线段）；3 上述各种数的和、差、积、商及算术平方根.如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段 （设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的 “多层平方根数 ”.例其中 a， b， A 是较低层平方根数或有理数.每一个这样的 “多层平方根数 ”，都是一个 n 次整系数方程 (1) 或有理方程xn + aixn1 + + an-ix + an = 0 , a Q (4)

17、的根反之，方程(4)如果有这样多层平方根数”的根x=a，则a是由方程(4)的系数经过 有限步四则运算和开平方运算产生的代数数设方程 (4) 的系数域为 F0=Q ，它的根是 “多层平方根数 ”，所在生成的扩域：42x -5x + 5 = 0于是a 5 F2 为解决几何作图问题，我们先证明定理 Q 上三次方程2X3 + aix + a2X+a 3=0 (5)的一个根若为多层平方根数”则一定有有理根.证 设(5) 有一个根 xi 是“多层平方根数 ”：其中 a , b , A Fk-i , kl .(6) 代入 (5) ：整理得x3=-a i-x i-x 2=a i-2a也是 (5) 的根如果a

18、Q,则定理已经证明.若 a Fk-i工Q，那么又令a=a 因此，方程 (5) 有根x 1 或 x 2，即由此定理得推论 如果三次方程 (5) 没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根 数，因而不能尺规作图.利用这一推论，很容易解决 “几何作图三大难题 ”.4. “几何作图三大难题 ”的解答(1)三等分角问题设给定角 A ，相当于给出了 cosA 所对应的单位圆上余弦线由于34x -3x-cosA = 0的根.特别地，当 A=60 时， cos20 是方程38x 3 6x 1=0 (8)的根.方程 (8) 没有有理根.事实上，令 y=2x ， (8) 变成y3-3y-1 = 0 (

19、9)323p 3q p = q即p(p 2 3q 2)=q 3 (10)从而 p|q 3，但 (|p| ， |q|)=1 ，故 p= 1 .同样，由 (10) 有 q|p 3 ，又得 q= 1 .从而 (9) 若有有理根， 则只能为 y= 1 .经检验， y= 1 均不是 (9) 的根.所以方程 (9) ， 从而 (8) ，没有有理根.由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为 1 , 2倍体积的立方体校长为 x，则有x3= 2 或 x3 2=0 (11)同上可证， (11) 也无有理根，因此，它的根不能尺规作出方程(8) 和(11) 都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平

20、方根数”这 说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为 n设正方形边长为 x，面积为x2，与圆面积相等，得 方程x2 = n 或 x2 n =0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的 “多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出 至此，三个几何作图不能问题， 均化为二次或三次方程有理根的判定问题， 从而得到彻 底解决研究与思考题1试说明在数的扩充过程中， 从NtC的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2试证明：有理数域 Q是最小的无限域；实数域 R是最小的完备域.3.从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4证明：实数集 R中实数项基本列 rn 不再定义出新数.5.证明：代数数集A构成实数域R的子域.又问，超越数集T是否也构成R的子域？6作图不能问题的含义是什么？希腊 “几何作图三大难题 ”是怎样解决的？7“复数不能规定大小”的含义是什么？8能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？