张宇考研高数冲刺班讲义.docx
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张宇考研高数冲刺班讲义
2014考研高等数学
冲刺班讲义
备战攻略1
一、函数极限2
二、数列极限3
三、一元函数微分学4
四、中值定理6
五、一元函数积分学（重在计算）8
六、微分方程10
七、多元函数微分学12
八、二重积分（重在计算）13
九、级数（数学一、数学三）15
十、多元函数积分学（数一）16
备战攻略
、手段与目的
全面总结（笔记+书）实战演练（模考题+真题）
、关于试卷
1、答题整洁、干净
2、答题顺序
选择填空线代大题概统大题高数大题
选择+填空60-70分钟大题110-120分钟
、函数极限
常规题
泰勒
洛必达
非常规题一一夹逼准则
1
X3~
例1:
求1=lim[1f（tsint1,1t31]ln（1t）dt
X0x0
其中f（u,v）具有连续偏导数，且
f（tu,tv）t2f（u,v）（*）f（1,2）0,f1（1,2）3
［分析］
f（xsinx1A1x31）
ln（1x3）
1lim
x0
e
3x2
0f1（1cosx）f2
0lim2_21x3
=ex037
11
3f2（1,2r
e2（*）式两边同时对t求偏导
fdtu,tv）uf2（tu,tv）v2tf（u,v）
取u1,v2,t1
f1（1,2）1f2（12）22f（1,2）
3f2（1,2）20
1
Ie4
、12n
例2：
（I）比较（1sint）ndt与的大小，并说明理由;
02n1
（II）求limn1（1sint）ndt
n耳0、2
[注]（真题）
11
（I）比较°lnt[ln（1t）]ndt与°|lnttndt的大小（II）求1戸；lnt[In（1t）]ndt
例3：
（8套卷）（|）证明积分中值定理
（II）求I=lim
x
25
arctannxdx
1
1、重点不回避
2、边角知识要考到
3、计算量大
、数列极限
夹逼准则
定积分定义
06年数一（15）
单调有界准则12年数二（21）
8套卷
级数求和
例（i）证明x
13
x
6
n
sinx,x（0,—）
2
（1
）sin
n
分析（i）
令f（x）
sinx
则f'（x）
cosx
f''（x）sinxf'（x）单增f（x）单增
3
x
6
12
x
2
0
f'（x）f'（0）0
f（x）f（0）0
n
（1
£）（in
n2
lim
n
（1
n）
n2
lim
n
3j3
（1
）sinn
n2
（1
lim
n
1
o（1
lim
（1
（1
丄）丄丄
nnn
x）xdx
3i3
n>6n6
1n
6n^i1（1
n）
.3i
limn6
（1
n）
i3
1
00（1
x）x3dx
n
（1
L）（in
3.3
（1
（1
6n6）
（1
）sinn
（1
-）sin冷5nn26
三、一元函数微分学
导数定义高阶导数函数状态
【例1】设f（x）在xo处可导,
n,n都是收敛于0的正项数列，求
lim血
n）f（X。
n）
【分析】“先造函数，再取极限”
已知f'（Xo）
f'（Xo）
limno
f（Xo
n）f（Xo）
n
f（Xo
n）
f（Xo）
f'（Xo）0
（1）
n
f（Xo
n）
f（Xo）
f'（Xo）n0（
n）（1式）
同理，
f'（Xo）
lim
no
f（Xo
n）f（Xo）
n
f（Xo
n）
f（Xo）
f'（Xo）0
（1）
n
f（Xo
n）
f（Xo）
f'（Xo）n0（
n）（2式）
（1）
（2）
f（Xo
n）
f（Xo
n）f'（Xo）（n
n）o（n）o（n）
f（Xo
n）
f（Xo
n）f'（Xo）（n
n）n）qn）
nn
n
n
n
n
0（n）0（n）||0（n
）|
|0（n）|
nnn
n
nn
|0（n）|
|0（
n）1n
o
n
n
If'（Xo）
【例2】设y，求y（n）（o）3x5
【分析】
（i）y
y（n）（0）Xn
✓vn!
1
1（|x）
5
八n3nn
1）nx
5
/八n3nn
（1）百X
n05
⑶由唯一性
3n
y（n）（o）
（1）n皐n!
5
[例3】设yx2sinx，求y（n）（x）
【分析】莱氏公式：
n
（n）k（k）（nk）
（uv）Cnuv
k0
（sinkx）⑺knsin（kx—n）
2
（n）/2（n）
詈2（"
-（n1））n（n1）sin（x-（n2））
y（xsinx）
2.（n）（n1）
xsinxn2x（sinx）
2
xsin（x$n）n2xsin（x
2
[xn（n1）]sin（xn）2nxcos（xn）,n2,3,…
22
四、中值定理
好就未考：
柯西
常规题：
“折腾区间”
【例1】（8套卷）
1xy
设yx0，证明：
1xy11
xyee
【分析】
yx
xeye,
1
xy
ey/y
ex/x,
1
1
i
y
x
令f（u）
ue
g（u）
u
1
在［x,y］上用柯西
u
11yx令h（u）eu则h'（u）euh（u）单减
u
e
ue
u,
【例2】（i）
2
ee,xy
1y
T
u（x,y）
u
e0
u
h（u）h（0）1
设f（x）在［a,b］非负连续且不恒为0,证明:
b
f（x）dx0
（ii）是否存在［0,2］上的可导函数
f（x），满足
f（0）
1,f
（2）1,|f'（x）|
1,
1
0f（x）dx1，说明理由。
【分析】
（i）
设X。
又lim
xx0
[a,b],使侬）0f（x）
f（xo）0
f（x。
）x°（Xo
X°
）,f（x）
进一步，
b
f（x）dx
a
0,使f（x）
x0
f（x）dx
x0
x0
dx
x0
（ii）问法新颖，沉着应对
（1）
x（0,1],对f（x）在[0,x]上用拉式定理f（x）f（0）f'
（1）x
1xf（x）f'
（1）x11x
⑵
[1,2）,对f（x）在[x,2]上用拉式定理f（x）f'
（2）（2x）f（x）1
x
f
（2）
x1
于是，
1
0（1x）dx
11彳
1
22
f'
（2）（2x）3
2
（x
1\
2
f（x）dx
0
2
1）dxof（x）dx
1
f（x）dx
0
不存在满足题意的f（x）
1
f（x）dx
0
2
1f（x）dx
2
1f（x）dx
12
0（1x）dx1
（3x）dx
五、一元函数积分学（重在计算）
基本法：
凑微分法、换元、分部、有理函数积分法
用性质：
奇偶性、周期性、绝对值函数
特殊通法：
区间再现法、I1+I2,II」2
f（abx）dx
b
如：
（i）证明f（x）dx
a
（ii）求I04ln（1tanx）dx
【分析】（i）
f（x）dx
b
xabtaf（abt）dt
f（a
x）dx
（ii）
I°4ln（1tanx）dx
x
4
t04ln（1tan（x））dx
石n（1
0
1tanx、，
）dx
1tanx
。
张2
ln（1tanx）]dx
—ln2041n（1tanx）dx
I-ln2II—In2
48
n
【例1】求x|sinx|dx,n为正整数
【分析】
ni
Ix|sinx|dx
（i1）
i1'丿
n
tx（i1）Jt（i1）]sintdt
i1
n
（
i1
otsintdt
（i
1）
osintdt）
n
（
i1
（i1）
2）
n
2（0
（n
1））
n2n
2
【例2】
（i）证明：
0
e
x2、
dx
2
（ii）计算1
o
e
x2
dx
【分析】
（o
exdx）
dx
2
ydy
e（x2
y2）d
o2d
2
rdr
r2
|0
e"dx
（ii）
x2
dx
212（x-）
2
o2xd（
x2
乞「。
2x（x21）
x2
e1|02x（x22）
x2
e
|o
2x（x21）
2
12x2
x2
J
x
2（x2
x2
e2x
2|0
2x1
六、微分方程
x2
e
¥）10
2）
x2
|0
x2
2edx
0
以方程为载体考综合体
、丄皆按类求解，对号入座计算
超纲类型+附加条件
【例11设q（x）0，证明y''
【分析】
dC）
x
x2/21、
e（x丿
2——2dx
x
exdx
2
x2xdx
q（x）y0的任意非零解至多有一个零点。
设方程的任意非零解为y（x）0,其至少有2个零点,记为％,x2,不妨x,
x（x,,X2）,y（x）
y'（xi）,y'（x2）已知
y'（x1）Vlim必^-
xx,
x2,且相邻
0
y（xj
0xx1y'（x2）Vlimy（x）y（x2）0
_x卷xx2
对y'（x）在［x1,x2］上用拉式定理
y''（）y'（X2）y'（xi）0,（xi,x2）
X2Xj
但，y''（）q（）y（）0y''（）0矛盾
故y（x）至多一个零点。
1
【例2】设yy'q（x）y0有两个互为倒数的特解，求该方程的通
x
解。
【分析】
（i）简单情形：
若yi（x）a（0）常数，y2-代入原方程
a
q（x）a0q（x）0
i
y''y'0
x
试用yx（i）x2x22
取yx2
故y通CiaC?
x,（a0,Ci,C2）
（2）一般情形:
若y-i（x）不恒为常数，则记y1,y2—代入原方程
yi
yi''
2
2（yi'）
iyi'
2
3
2
yi
yi
xyi
（yi'）2
3
2—0
yi
yi
（yi
■）2yi''
i
yi
yi
x
yi''-yi'qyix
2
q
iqyi
（yi'）2
yi
VzAVxBVy
.'（Vx）2（Vy）2
y1'1%'
（旦）’-（旦）0
取也2x
yi
xyi
yi
再取y1
ex,则y2
x2e
y通
2
GexC?
e
2
x,（
Ci,C2）
七、多元函数微分学
概念（可微、连续、偏导数）
计算
应用一多元函数极值、最值
（a、Jx|x2
y2b）Sin（xy4）,（x,y）（0,0）
xy
在点（0,0）处
0
（x,y）
（0,0）
【例】设f（x,y）
可微，
（i）求常数a，b
（ii）求f''xy（0，O），f"yx（0,0）
【分析】（i）
连续:
limf（0
Vx0'
Vx,0
Vy）
f（0,0）0
Vy0
即V!
m0a|Vx|
Vy0
（Vx）2
（Vy）2
2
sin（Vx（Vy））b]24
（Vx）2（Vy）4
取Vx（Vy）2
JipLa|Vy|
（Vy）4
（Vy）2
b]sin（Vy440
2（Vy）
b10b
0；
2
可微：
可微连续
0
lim
Vx0
Vy0
0
f'y（0,0）0
ih（Vx；：
Vy）0
a0;
（ii）
八、二重积分（重在计算）
（xy）n
2
x
0
在点（0,0）处连续的正整数
0
n。
（ii）对上述n,计算In
fn（x,y）d,D:
x
【分析】
当（x,y）
fi（x,y）
f2（x,y）
（0,0）时，
xy（
（
xy
xlim2
Vx0
Vy0
（x巧同阶）y
竺2
2x2
、【/
不存在，不连续；
lim
Vx0
Vy0
lim0
Vx02x2
Vy0
不存在，不连续;
当n3寸,fn（x,y）
其中Z|
xy
故limfn（x,y）
0
3,4,5,...
（xy）n
22
xy
x22xyy2
Vx
Vy
n
（ii）
In
D
3
45d
4
13
4
5
4
（xy）nd
d
y
1rn（cos
0
x2
D：
n
n
2"
n
（cos
3
4
5
4
・n/
sin（
（xy）/、n2
（xy）
y
2|xy|2
22Z
xy
I
xy
fn（0,0）
x2
sin
~2
r
sin）nd
4）d
[sinntdt
4
）n
rdr
sinntdt
1）当n
3,5,7,・・.
时In
0
2）当n
4,6,8,..
时
上2
22-
In
2
sinntdt
n0
n2
22
n1n
31
n
nn
2...2
2
九、级数（数学一、数学三）
判敛
收敛域（端点）
展开与求和
x
1）nt2ndt
（-
n0
x0
f（x）
1）
2n1
x
2n1
1）n
1）n
1
（x-）
xn
2n2
x
2n1
2n
x
2n1
1）n
1）n
2n1
x
2n1
2n
x
2n1
2n
—12n1
1）n
2
2x
4n1
0时，f（0）1
十、多元函数积分学（数一）
：
X2y21（0z2）
好久未考：
一面引力
例：
设有一段均匀圆柱面
其面密度1,G为引力常数，求该段圆柱面
对原点处单位质点的引力
【分析】F
—dS
z2）2
G——
（x2又因为
dS.1（Xy）2（xz）2dydz:
x2y21,（x0）
Xz0,Xy
2
y
2^
2
y
原式
2G
2G
z
3Dyz（1z2）2
1
厂严
1
=dydz
y
（1
z
?
dzz2）2
2（1
F=（0，,2（1
）
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