张宇考研高数冲刺班讲义.docx

1、张宇考研高数冲刺班讲义2014 考研高等数学冲刺班讲义备战攻略 1一、函数极限 2二、数列极限 3三、一元函数微分学 4四、中值定理 6五、一元函数积分学（重在计算） 8六、微分方程 10七、多元函数微分学 12八、二重积分（重在计算） 13九、级数（数学一、数学三） 15十、多元函数积分学（数一） 16备战攻略、手段与目的全面总结（笔记 +书） 实战演练（模考题 +真题）、关于试卷1、 答题整洁、干净2、 答题顺序选择 填空 线代大题 概统大题 高数大题选择 +填空 60-70分钟 大题 110-120分钟、函数极限常规题泰勒洛必达非常规题一一夹逼准则1X 3例 1:求 1= lim 1 f

2、(t si nt 1,1 t3 1ln(1t)dtX 0 x 0其中f(u,v)具有连续偏导数，且f(tu,tv) t2f (u,v) (*) f(1,2) 0, f1 (1,2) 3分析f (x sinx 1A1 x3 1)ln(1 x3)1 limx 0e3x20 f1 (1 cosx) f2 0 lim 2_2 1 x3=ex 0 371 13 f2(1,2re2 (*)式两边同时对t求偏导fdtu,tv) u f2(tu,tv) v 2t f(u,v)取 u 1,v 2,t 1f1(1,2) 1 f2(12) 2 2 f(1,2)3 f2(1,2) 2 01I e4、1 2n例2：(

3、I)比较(1 sin t)ndt与 的大小，并说明理由;0 2 n 1(II)求 lim n 1(1 sin t)ndtn 耳 0、 2注(真题)1 1(I)比较 lntln(1 t)ndt与 |lnttndt的大小 (II )求1戸 ；lnt In(1 t)ndt例3：（ 8套卷） （|）证明积分中值定理(II) 求 I= limx2 5arcta n nx dx11、 重点不回避2、 边角知识要考到3、 计算量大、数列极限夹逼准则定积分定义06 年数一（15）单调有界准则12年数二（21）8套卷级数求和例（i）证明x1 3x6nsin x, x (0,)2(1)sinn分析（i）令 f (

4、x)sin x则 f (x)cosxf (x) sin x f (x)单增 f (x)单增3x61 2x20f (x) f (0) 0f(x) f(0) 0n(1)( i nn2limn(1n)n2limn3j3(1)sin nn2(1limn1o(1lim(1(1丄)丄丄n n nx)xdx3i3n 6n61 n6ni1(1n).3 ilim n 6(1n)i310 0(1x)x3dxn(1L)( i n3.3(1(16n6)(1)sin n(1-)sin 冷 5 n n2 6三、一元函数微分学导数定义 高阶导数 函数状态【例1】设f (x)在xo处可导,n , n都是收敛于0的正项数列，求

5、lim血n) f(X。 n)【分析】“先造函数，再取极限”已知f (Xo)f (Xo)lim n of (Xon) f (Xo)nf (Xon)f (Xo)f (Xo) 0(1)nf (Xon)f (Xo)f (Xo) n 0(n) (1式 )同理，f (Xo)limn of (Xon) f (Xo)nf (Xon)f (Xo)f (Xo) 0(1)nf (Xon)f (Xo)f (Xo) n 0(n) (2 式)(1) (2)f (Xon)f (Xon) f (Xo)( nn) o( n) o( n)f (Xon)f (Xon) f (Xo)( nn) n) q n)n nnnnn0( n)

6、 0( n) | |0( n)|0( n)|n n nnn n|0( n)|0(n) 1 nonnI f (Xo)【例2】设y ，求y(n)(o) 3x 5【分析】(i)yy(n)(0)Xnv n!11 ( |x)5八 n 3n n1) nx5/八n 3n n(1)百 Xn0 5由唯一性3ny(n)(o)( 1)n 皐 n!5例 3】设 y x2 sin x，求 y(n) (x)【分析】莱氏公式：n(n) k (k) (n k)(u v) Cnu vk 0(si nkx) knsi n(kx n)2(n) / 2 (n)詈2(-(n 1) n(n 1)sin(x -(n 2)y (x sin

7、x)2 . (n) (n 1)x sin x n 2x (sin x)2x sin(x $n) n 2x sin(x2x n(n 1)s in (x n) 2n xcos(x n), n 2,3,2 2四、中值定理好就未考：柯西常规题：“折腾区间”【例1】（8套卷）1 x y设 y x 0，证明： 1 x y 1 1x y e e【分析】y xxe ye ,1x yey / yex/x ,11iyx令 f(u)u e,g(u)u1,在x, y上用柯西u1 1 y x 令 h(u) eu 则 h(u) eu h(u)单减ueu eu,【例2】(i)2e e , x y1 yTu (x,y)ue

8、0uh(u) h(0) 1设f(x)在a,b非负连续且不恒为0,证明:bf(x)dx 0(ii)是否存在0,2上的可导函数f(x)，满足f(0)1,f(2) 1,|f(x)|1,10 f(x)dx 1，说明理由。【分析】(i)设X。又limx x0a,b,使侬)0 f(x)f(xo) 0f(x。) x (Xo,X),f (x)进一步，bf (x)dxa0,使f (x)x0f (x)dxx0x0dxx0(ii)问法新颖，沉着应对(1)x (0,1,对f (x)在0, x上用拉式定理 f(x) f(0) f(1)x1 x f (x) f ( 1)x 1 1 x1,2),对f (x)在x, 2上用拉

9、式定理 f(x) f( 2)(2 x) f(x) 1xf(2)x 1于是，10(1 x)dx1 1彳12 2f( 2)(2 x) 32(x1 2f(x)dx021)dx o f (x)dx1f (x)dx0不存在满足题意的f(x)1f (x)dx021 f(x)dx21 f(x)dx1 20(1 x)dx 1(3 x)dx五、一元函数积分学（重在计算）基本法：凑微分法、换元、分部、有理函数积分法用性质：奇偶性、周期性、绝对值函数特殊通法：区间再现法、I 1 +I 2,I I2f (a b x)dxb如：（i）证明 f（x）dxa(ii)求 I 04 ln(1 tan x)dx【分析】（i）f

10、(x)dxbx a b t a f(a b t)dtf(ax)dx(ii)I 4ln(1 tan x)dxx4t 04 ln(1 tan(x)dx石n(101 tan x、，)dx1 tanx。张2ln(1 tan x)dxl n 2 041 n(1 tan x)dxI -l n2 I I In24 8n【例1】求 x|sinx |dx, n为正整数【分析】n iI x|si nx|dx(i 1)i 1 丿nt x (i 1) Jt (i 1) sin tdti 1n(i 1otsi ntdt(i1)o si ntdt)n(i 1(i 1)2)n2 (0(n1)n 2 n2【例2】(i)证明：

11、0ex2 、dx2(ii)计算1oex2dx【分析】(oe x dx)dx2y dye(x2y2)do2d2rdrr2|0edx(ii)x2dx2 1 2 (x -)2o 2xd(x2乞。2x(x2 1)x2e 1 |0 2x(x2 2)x2e|o2x(x2 1)21 2x2x2Jx2(x2x2e 2x2 |02x 1六、微分方程x2e)102)x2|0x22 e dx0以方程为载体考综合体、丄皆按类求解，对号入座 计算超纲类型+附加条件【例11设q(x) 0，证明y【分析】dC)xx2/ 2 1、e (x丿 22 dxxe x dx2x 2xdxq(x)y 0的任意非零解至多有一个零点。设方

12、程的任意非零解为y(x) 0,其至少有2个零点, 记为,x2,不妨x,x (x,X2),y(x)y(xi),y(x2)已知y(x1)Vlim 必-x x,x2,且相邻0y(xj0 x x1 y(x2)Vlim y(x) y(x2)0_ x 卷 x x2对y(x) 在x1, x2上用拉式定理y() y(X2)y(xi) 0, (xi,x2)X2 Xj但，y( ) q( )y( ) 0 y( ) 0 矛盾故y(x)至多一个零点。1【例2】设y y q(x)y 0有两个互为倒数的特解，求该方程的通x解。【分析】(i)简单情形：若yi(x) a( 0)常数，y2 -代入原方程aq(x)a 0 q(x)

13、 0iy y 0x试用 y x ( i)x 2 x 2 2取y x2故 y通 Ci a C?x ,(a 0, Ci, C2)(2) 一般情形:若y-i (x)不恒为常数，则记y1, y2 代入原方程yiyi22(yi)i yi232yiyix yi(yi )232 0yiyi(yi)2 yiiyiyixyi -yi qyi x2qi q yi(yi )2yiVz AVx BVy.(Vx)2 (Vy)2y1 1 % (旦)-(旦)0取也2xyix yiyi再取y1ex ,则 y2x2 ey通2Gex C?e2x,(Ci, C2 )七、多元函数微分学概念（可微、连续、偏导数）计算应用一多元函数极值

14、、最值(a、Jx| x2y2 b)Sin(xy4),(x,y) (0,0)x y在点（0,0）处0,(x, y)(0,0)【例】设f（x,y）可微，（i） 求常数a，b（ii） 求 f xy（0，O），f yx（0,0）【分析】（i）连续:lim f (0Vx 0 Vx,0Vy)f (0,0) 0Vy 0即 V!m0 a |Vx|Vy 0(Vx)2(Vy)22sin(Vx(Vy) b 2 4(Vx)2 (Vy)4取 Vx (Vy)2JipL a |Vy |(Vy)4(Vy)2bsin(Vy44 02(Vy)b 1 0 b0；2可微：可微 连续0limVx 0Vy 00f y(0,0) 0ih

15、(Vx；：Vy) 0a 0;(ii)八、二重积分（重在计算）(x y)n2,x0在点（0,0）处连续的正整数0n。（ii）对上述n,计算Infn(x,y)d ,D:x【分析】当(x, y)fi(x, y)f2(x, y)(0,0)时，x y (x yx lim 2Vx 0Vy 0(x巧同阶) y竺22 x2、【/,不存在，不连续；limVx 0Vy 0lim 0Vx 0 2 x2Vy 0不存在，不连续;当 n 3寸,fn(x, y)其中Z|x y故 lim fn (x, y)03,4,5,.(x y)n2 2x yx2 2xy y2VxVyn(ii)InD345 d41 3454(x y)nd

16、dy1rn(cos0x2,D：nn2n(cos3454 n /sin (x y) / 、n 2(x y)y2|xy| 22 2 Zx yIx yfn(0,0)x2sin2rsin )nd4)dsi nntdt4)nrdrsinn tdt1)当 n3,5,7,.时In02)当n4,6,8,.时上222 -In2sinn tdtn 0n 222n 1 n3 1nn n2 . 22九、级数（数学一、数学三）判敛收敛域（端点）展开与求和,x1)nt2ndt(-n 0x 0f(x)1)2n 1x2n 11)n1)n1(x -)x n2n 2x2n 12nx2n 11)n1)n2n 1x2n 12nx2n 12n1 2n 11)n22 x4n 10时，f (0) 1十、多元函数积分学（数一）：X2 y2 1(0 z 2)好久未考：一面 引力例：设有一段均匀圆柱面其面密度 1, G为引力常数，求该段圆柱面对原点处单位质点的引力【分析】FdSz2)2G (x2 又因为dS . 1 (Xy)2 (xz )2 dydz :x2 y2 1,(x 0)Xz 0,Xy2y22y原式2G2Gz3 Dyz (1 z2)21厂严1=dydzy(1z?dz z2)22(1F= (0，,2(1）