函数定义域值域求法全十一种.docx

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函数定义域值域求法全十一种

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1求函数

的定义域。

解：

要使函数有意义，则必须满足

由①解得

或

。

③

由②解得

或

④

③和④求交集得

且

或x>5。

故所求函数的定义域为

。

例2求函数

的定义域。

解：

要使函数有意义，则必须满足

由①解得

③

由②解得

④

由③和④求公共部分，得

故函数的定义域为

评注：

③和④怎样求公共部分？

你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知

的定义域，求

的定义域。

（2）其解法是：

已知

的定义域是［a，b］求

的定义域是解

，即为所求的定义域。

例3已知

的定义域为［－2，2］，求

的定义域。

解：

令

，得

，即

，因此

，从而

，故函数的定义域是

。

（2）已知

的定义域，求f（x）的定义域。

其解法是：

已知

的定义域是［a，b］，求f（x）定义域的方法是：

由

，求g（x）的值域，即所求f（x）的定义域。

例4已知

的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域。

解：

因为

。

即函数f（x）的定义域是

。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数

的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：

函数的定义域为R，表明

，使一切x∈R都成立，由

项的系数是m，所以应分m=0或

进行讨论。

解：

当m=0时，函数的定义域为R；

当

时，

是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知

。

评注：

不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6已知函数

的定义域是R，求实数k的取值范围。

解：

要使函数有意义，则必须

≠0恒成立，因为

的定义域为R，即

无实数

①当k≠0时，

恒成立，解得

；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是

。

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：

设矩形一边为x，则另一边长为

于是可得矩形面积。

。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

。

故所求函数的解析式为

，定义域为（0，

）。

例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：

由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x，所以

，所以

，

故

根据实际问题的意义知

故函数的解析式为

，定义域（0，

）。

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9已知

的定义域为［0，1］，求函数

的定义域。

解：

因为

的定义域为［0，1］，即

。

故函数

的定义域为下列不等式组的解集：

，即

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当

时，F（x）的定义域为

；

（2）当

时，F（x）的定义域为

；

（3）当

或

时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。

因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10求函数

的单调区间。

解：

由

，即

，解得

。

即函数y的定义域为（－1，3）。

函数

是由函数

复合而成的。

，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间

上是增函数；在区间

上是减函数，而

在其定义域上单调增；

，所以函数

在区间

上是增函数，在区间

上是减函数。

函数值域求法十一种

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数

的值域。

解：

∵

∴

显然函数的值域是：

例2.求函数

的值域。

解：

∵

故函数的值域是：

2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数

的值域。

解：

将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：

当x=1时，

，当

时，

故函数的值域是：

[4，8]

3.判别式法

例4.求函数

的值域。

解：

原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当

时，

解得：

（2）当y=1时，

，而

故函数的值域为

例5.求函数

的值域。

解：

两边平方整理得：

（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由

，得

由

，仅保证关于x的方程：

在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程

（1）

解得：

即当

时，

原函数的值域为：

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6.求函数

值域。

解：

由原函数式可得：

则其反函数为：

，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7.求函数

的值域。

解：

由原函数式可得：

∵

∴

解得：

故所求函数的值域为

例8.求函数

的值域。

解：

由原函数式可得：

，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

6.函数单调性法

例9.求函数

的值域。

解：

令

则

在[2，10]上都是增函数

所以

在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10.求函数

的值域。

解：

原函数可化为：

令

，显然

在

上为无上界的增函数

所以

，

在

上也为无上界的增函数

所以当x=1时，

有最小值

，原函数有最大值

显然

，故原函数的值域为

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11.求函数

的值域。

解：

令

，

则

∵

又

，由二次函数的性质可知

当

时，

当

时，

故函数的值域为

例12.求函数

的值域。

解：

因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13.求函数

的值域。

解：

原函数可变形为：

可令

，则有

当

时，

当

时，

而此时

有意义。

故所求函数的值域为

例14.求函数

，

的值域。

解：

令

，则

由

且

可得：

∴当

时，

，当

时，

故所求函数的值域为

。

例15.求函数

的值域。

解：

由

，可得

故可令

∵

当

时，

当

时，

故所求函数的值域为：

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16.求函数

的值域。

解：

原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），

间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例17.求函数

的值域。

解：

原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点

到两定点

的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

，

故所求函数的值域为

例18.求函数

的值域。

解：

将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点

到点

的距离之差。

即：

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

，则构成

，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：

由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：

例17的A，B两点坐标分别为：

（3，2），

，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），

，在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式

，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数

的值域。

解：

原函数变形为：

当且仅当

即当

时

，等号成立

故原函数的值域为：

例20.求函数

的值域。

解：

当且仅当

，即当

时，等号成立。

由

可得：

故原函数的值域为：

10.一一映射法

原理：

因为

在定义域上x与y是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21.求函数

的值域。

解：

∵定义域为

由

得

故

或

解得

故函数的值域为

11.多种方法综合运用

例22.求函数

的值域。

解：

令

，则

（1）当

时，

，当且仅当t=1，即

时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：

先换元，后用不等式法

例23.求函数

的值域。

解：

令

，则

∴当

时，

当

时，

此时

都存在，故函数的值域为

注：

此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。