概率论与数理统计英文.docx

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概率论与数理统计英文

3.RandomVariables

3.1DefinitionofRandomVariables

Inengineeringorscientificproblems,wearenotonlyinterestedintheprobabilityofevents,butalsointerestedinsomevariablesdependingonsamplepoints.（定义在样本点上的变量）

Forexample,wemaybeinterestedinthelifeofbulbsproducedbyacertaincompany,ortheweightofcowsinacertainfarm,etc.Theseideasleadtothedefinitionofrandomvariables.

1.randomvariabledefinition

Definition3.1.1Arandomvariableisarealvaluedfunctiondefinedonasamplespace;i.e.itassignsarealnumbertoeachsamplepointinthesamplespace.

Herearesomeexamples.

Example3.1.1Afairdieistossed.Thenumbershownisarandomvariable,ittakesvaluesintheset.

Example3.1.2ThelifeofabulbselectedatrandomfrombulbsproducedbycompanyAisarandomvariable,ittakesvaluesintheinterval.

Sincetheoutcomesofarandomexperimentcannotbepredictedinadvance,theexactvalueofarandomvariablecannotbepredictedbeforetheexperiment,wecanonlydiscusstheprobabilitythatittakessomevalueorthevaluesinsomesubsetofR.

2.Distributionfunction

Definition3.1.2Letbearandomvariableonthesamplespace.Thenthefunction

.

iscalledthedistributionfunctionof

NoteThedistributionfunctionisdefinedonrealnumbers,notonsamplespace.

Example3.1.3Letbethenumberwegetfromtossingafairdie.Thenthedistributionfunctionofis（Figure3.1.1）

Figure3.1.1ThedistributionfunctioninExample3.1.3

3.Properties

Thedistributionfunctionofarandomvariablehasthefollowingproperties:

（1）isnon-decreasing.

Infact,if,thentheeventisasubsetoftheevent,thus

（2）,

.

（3）Forany,.Thisistosay,thedistributionfunctionofarandomvariableisrightcontinuous.

Example3.1.4LetbethelifeofautomotivepartsproducedbycompanyA,assumethedistributionfunctionofis（inhours）

Find,.

Solution

Bydefinition,

.

Question：

Whataretheprobabilitiesand?

Example3.1.5Aplayertossestwofairdice,ifthetotalnumbershownis6ormore,theplayerwins$1,otherwiseloses$1.Letbetheamountwon,findthedistributionfunctionof.

Solution

Letbethetotalnumbershown,thentheeventscontainssamplepoints,.Thus

And

so

Thus

Figure3.1.2ThedistributionfunctioninExample3.1.5

Thedistributionfunctionofrandomvariablesisaconnectionbetween

probabilityandcalculus.Bymeansofdistributionfunction,themaintoolsincalculus,suchasseries,integralsareusedtosolveprobabilityandstatisticsproblems.

3.2DiscreteRandomVariables离散型随机变量

Inthisbook,westudytwokindsofrandomvariables.

Definition3.2.1Arandomvariableiscalledadiscreterandomvariable,ifittakesvaluesfromafinitesetor,asetwhoseelementscanbewrittenasasequence

Assumeadiscreterandomvariabletakesvaluesfromtheset.Let

（3.2.1）

Thenwehave,.

theprobabilitydistributionofthediscreterandomvariable（概率分布）

X

a1

a2

an

probability

p1

p2

pn

注意随机变量X的分布所满足的条件

（1）Pi≥0

（2）P1+P2+…+Pn=1

离散型分布函数

Andthedistributionfunctionofisgivenby

（3.2.2）

Ingeneral,itismoreconvenienttouse（3.2.1）insteadof（3.2.2）.Equation（3.2.1）iscalledtheprobabilitydistributionofthediscreterandomvariable.

Example1

Foranexperimentinwhichacoinistossedthreetimes（or3coinsaretossedonce）,constructthedistributionofX.（LetXdenotethenumberofheadoccurrence）

Solution

n=3,p=1/2

Xpr

11/8

23/8

33/8

41/8

Example2

在一次试验中，事件A发生的概率为p,不发生的概率为1－p,用X=0表示事件A没有发生，X=1表示事件A发生，求X的分布。

two-pointdistribution（两点分布）

X

0

1

P

1-p

p

某学生参加考试得5分的概率是p,X表示他首次得5分的考试次数，求X的分布。

geometricdistribution（几何分布）

X

1

2

3

4

…

k

…

P

p

q1p

q2p

q3p

qk－1p

…

Example3（射击5发子弹）

某射手有5发子弹，射一次命中率为0.9,如果命中目标就停止射击，如果不命中则一直射到子弹用尽，求耗用子弹数x的概率分布。

*****

Example3.2.1

Adieistossed,bywedenotethenumbershown,Assumethattheprobabilityisproportionalto,.Findtheprobabilitydistributionof.

SolutionAssumethat

constant,.

Sincetheevents,aremutuallyexclusiveandtheirunionisthecertainevent,i.e.,thesamplespace,wehave

thus.Theprobabilitydistributionofis（Figure3.2.1）

.

Figure3.2.1ProbabilitydistributioninExample3.2.1

Question.Whatisthedifferencebetweendistributionfunctionsandprobabilitydistributions

例2有一种验血新方法：

把k个人的血混在一起进行化验，如果结果是阴性，那么对这k个人只作一次检验就够了，如果结果是阳性，那么必须对这k个人再逐个分别化验，这时k个人共需作k+1次检验。

假设对所有人来说，化验是阳性反应的概率为p，而且这些人反映是独立的。

设表示每个人需要化验的次数，求的分布（constructthedistributionof）

Binomialdistribution（二项分布）

Example3.2.2Afairdieistossed4times.Letbethenumberofsixgot.Findtheprobabilitydistributionof.

Solution.Thepossiblevaluesofare.

Firstwefindthe