北师大版七年级上数学第三章字母表示数学习笔记.docx
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北师大版七年级上数学第三章字母表示数学习笔记
____第三章 字母表示数
1 字母能表示什么
Ⅰ 学法导引
回忆以前学过的公式和运算律，加法交换律可以表示成a＋b＝b＋a，这里a、b分别表示两个数，因此数和字母是个别和一般的关系，即字母可以表示任意数．课堂上动手用火柴棒摆一摆，边摆边思考，进而找到图形的数量变化与火柴棒数量变化的规律．
Ⅱ 思维整合
解析重点 经历探索过程，体会字母表示数，形成初步符号感．
【例１】 如下图3—1—1，搭一个正方形需要4根火柴棒．
按上图的方式，搭2个正方形需要________根火柴棒，搭3个正方形需要________根火柴棒．
（1）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？
（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？
你是怎样得到的？
（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？
解析 本题对第
（1）问还可以画出火柴棒的根数；但对第
（2）问，数数的方法失效，若正方形的数目再大，数火柴棒的方法更不可行．
若能找出正方形的个数和火柴棒的根数之间的关系，问题将迎刃而解．
用x表示正方形的个数，用不同的方法给出火柴棒的根数的表达式．
第一个正方形用4根，每增加一个增加3根，若搭x个正方形，则增加3（x－1）根，故火柴棒的根数可表示为：
4＋3（x－1）．
把每一个正方形都看成4根火柴棒搭成的，然后再减去多算的根数，x个正方形所需的根数即为：
4x－（x－1）．
把每一个正方形看成3根火柴棒搭成的，然后再加上最后一根，这样，x个正方形所需的根数为：
3x＋1．
当搭100个正方形，即x＝100时，上述三种做法算得火柴棒都是301根．
解 搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒．
（1）搭10个这样的正方形需要31根火柴棒．
（2）搭100个这样的正方形需要301根火柴棒，方法为：
3×100＋1＝301（根）．
（3）搭x个这样的正方形需要（3x＋1）根火柴棒．
点拨 用字母表示数，简洁明了地表示了正方形个数与火柴棒根数之间的关系．
剖析难点 探索过程中，找不到规律或不能用字母把找到的规律正确表达出来．
【例2】 如图3－1－5①是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图②；再分别连结图②中间小三角形三边的中点，得到图③．
（1）图①、图②、图③中分别有多少个三角形？
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？
因此第n个图形中三角形个数为1＋4×（n－1），即4n－3．
解
（1）1，5，9；
（2）4n－3．
点击易错点 不能把找到的规律用字母表示出来．
【例3】 图中的各个图形是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断S与n的关系式是________．
错解 S＝3n．
错解分析 由于每条边上都有n盆花，共有3条边，便直接用3和n相乘，而忽略了端点处3盆花各重复了一次，应再减3．
正解 S＝3n－3．
［想一想］ 观察下列各式：
想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？
设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为________×________＝________＋________．
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 用字母表示数是代数的基础，它常和以前学过的公式综合出题，它容身于代数、几何的各个角落．
【例4】 如图3－1－7，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c＜b＜a＝，然后作成一个长方体盒子，用字母表示它的容积．
解析 根据长方体的容积（体积）公式V＝Sh．欲求长方体的容积需知长方体的底面积S和长方体的高，又可根据S＝ab，欲求底面积需知底面的长和宽，用图中虚线部分作成长方形盒子的底面，它的长为（a－2c），宽为（b－2c）由作法可知，盒子高为c，故盒子容积为（a－2c）（b－2c）·c．
解 根据长方体的容积公式可知：
此盒子的容积为：
（a－2c）（b－2c）·c
创新能力升级 对于方案设计及判断不同方案的优劣，用字母表示数从不同角度解决问题，培养学生创新意识．
【例5】 用a米的竹篱笆在空地上围成一个养鸡场，有两种方案：
一种围成正方形，另一种围成圆形，试比较两种方案的面积大小，并说明理由．
应用能力升级 把学到的知识用到生活中，求某些图形的周长或面积．
【例6】 学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪上修建如图3－1－8所示的两条小路，已知两条小路的宽都是x米，求
（1）修建的两条小路的面积是多少平方米？
（2）草坪的面积是多少平方米？
解析 两条小路分别为长方形和平行四边形，长方形面积为长×宽＝a×x，平行四边形的面积为x×b，求两条小路的面积时不要忽略重合部分，草坪的面积就为大长方形面积减去两条小路面积．
2 代数式
Ⅰ 学法导引
明白代数式的特征：
只含有加、减、乘、除、乘方等运算符号及括号，而不含“等号”、“大于号”、“小于号”．注意单独一个数或字母也是代数式，思考代数式的优点，如代数式10x＋5y可表示什么，加深体会字母可以表示任何数，列代数式时，要正确判断各数量关系中的运算顺序，并抓住关键词语．
Ⅱ 思维整合
解析重点 在具体情境中列出代数式．
【例1】 一家商店某种服装成本价为a元，按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，用代数式表示这种服装的实际售价．
解析 列代数式时抓住关键词：
提高、理顺运算顺序，先说先算，分层处理，先找出标价，最后打八折．
解 实际售价为：
a（1＋40%）×80%．
点拨 正确书写代数式，数字与字母或字母与字母相乘时乘号写作“·”或省略不写，数字与数字相乘仍用“×”．
剖析难点 用代数式表示实际问题中的数量关系，理解代数式表示的实际意义．
【例2】 甲、乙两地相距x千米，某人计划用a小时从甲地到乙地，如果必须提前2个小时到达，那么他每小时需多走____．
点击易错点 本节常见易错点有：
（1）对代数式的意义叙述不准确；
（2）列代数式时审题不仔细，弄错运算顺序．
【例3】 说出下列代数式的意义．
正解
（1）x的平方的3倍与5的差；
（2）a与b的差的立方的5倍．
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 代数式与数字问题的综合、代数式与简单方程的综合．
【例4】 一个十位数字为0的三位数，它恰好等于各位数字和的m倍，交换它的百位数字与个位数字的位置，得到新的三位数是其各位数字之和的n倍，则n的值是 （ ）
A．99－m B．101－m
C．100－m D．101＋m
解析 设原三位数为100a＋b，则交换百位数字与个位数字后的三位数为100b＋a，则由题意可得：
100a＋b＝m（a＋b），100b＋a＝n（a＋b），两式左右两边相加，得101a＋101b＝（m＋n）（a＋b）即101（a＋b）＝（m＋n）（a＋b），∴ m＋n＝101，即n＝101－m．
解 B
应用能力升级 列代数式解决实际问题，如水费，电费、稿费、出租车收费固定电话收费等分段收费问题．
解析 此题中关系复杂，关键在于用水量是否超标，由于结算方法不同，所列代数式也不同．
解 分两种情况：
（1）当x≤12时未超标，此时应交纳水费1.4x元；
（2）当x＞12时，用水量超标，此时应交纳水费［1.4×12＋（x－12）×2.6］元．
创新能力升级 用字母表示学过的公式并灵活运用，把求平均数的方法用到求平均速度中．
【例6】 某人以每小时a千米的速度上山，然后又沿原路以每小时b千米的速度下山，如果上山的路程s千米，那么此人上山、下山的平均速度是多少？
解析 首先将行程问题的基本数量路程、速度、时间三者之间的关系列述出来，然后再回到题目中来：
上下山的平均速度＝（上山路程＋下山路程）÷（上山时间＋下山时间），最后用代数式将上山时间、下山时间表述出来，
3 代数式的求值
Ⅰ 学法导引
代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序，计算出结果，有些代数式的求值，在未明确给定或不能求出单个字母的取值时，要用整体代入法．（如例5）
Ⅱ 思维整合
解析重点 求代数式的值的方法是先代入，后按代数式指明的运算顺序进行计算．
剖析难点 利用代数式求值推断代数式所反映的规律．
【例2】 当a＝4，b＝2，c＝－1时，求a－bc的值
错解1 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×（－1）＝2×（－1）＝－2．
错解2 当a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×－1＝－2．
错解分析 错解1的原因是计算时弄错了运算顺序；
错解2的原因是没有把“－1”用括号括上．
正解 a＝4，b＝2，c＝－1时，a－bc＝4－2×（－1）＝4＋2＝6．
解析 把n＝40代入，看所求的数是质数吗？
如果是，再验证；如果不是，则得出结论．
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 互为倒数的定义与整体代入法综合去求较为复杂的代数式值．
应用能力升级 用代数式求值解决实际问题，求立方体的体积等．
【例4】 挖一条长为l的水渠，渠道的横断面是等腰梯形（如图3－3－1），梯形的底分别为a、b，水渠深为h，若l＝200米，a＝6米，b＝4米，h＝1.5米，求挖这条小渠的土方量．
解析 求水渠的土方量，即求棱柱的体积，棱柱的体积＝底面积×高，这里即等腰梯形的面积×水渠的长度．为了方便，设水渠的土方量为V．
_4 合并同类项
Ⅰ 学法导引
弄清几个基本概念，特别是同类项的概念，另外代数式中的项由系数（包括前面的符号）和字母（π除外）两部分组成，分清哪些项是同类项，是合并同类项的关键，合并同类项的根据是乘法分配律，根据法则进行合并，对于求代数式的值这类题要会书写格式．
Ⅱ 思维整合
解析重点 同类项的概念，合并同类项．
同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．
判断时，同时具备2个条件：
一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，缺一不可，引申为同类项与系数无关、与字母排列顺序无关；概念具有双重性．
合并同类项法则：
在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即“一变二不变”．
【例2】 说出下列各题的两个项是不是同类项？
为什么？
解析 观察所含字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
解
（2）、（4）不是同类项，因为
（2）中相同字母的指数不同，（4）所含字母不同，
（1）、（3）、（5）是同类项，因为
（1）、（5）中都是常数，（3）中所含字母相同，相同字母的指数也相同．
点击易错点 本节的易错点：
①判定同类项容易出错，
②合并同类项时容易出错，
③确定代数式项的系数有误．
【例3】 下列各题合并同类项的结果对不对？
不对的，指出错在哪里．
错解 认为都对．
错解分析
（1）3a与2b不是同类项，不能合并；
（2）合并同类项只是系数的运算，字母不变，字母不参与运算；
（3）（4）都不是同类项，不能合并；
（5）保留了字母和字母的指数不变，又忘记了互为相反数的两个系数的和为0．结果应为0．
正解
（1）不对，因为3a与2b不是同类项，不能合并；
（2）不对，丢掉了字母及字母指数；
（3）（4）不对，分别不是同类项，所以不能合并；
（5）不对，因为－3＋3＝0，0与xy相乘为0，而不是xy．
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 合并同类项与数字问题、数的整除性的综合．
【例4】 随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字（不为0）对调后，得到一个新的两位数，并把两个两位数相加，所得的和一定能被11整除吗？
为什么？
解析 一个数能否被11整除也就是看这个数能否写成11的倍数形式．用代数式把原、新两个十位数表示出来，并求和．
解 设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得
（10x＋y）＋（10y＋x）
＝10x＋y＋10y＋x
＝（10x＋x）＋（y＋10y）
＝11x＋11y
＝11（x＋y）．
因此，所得的和一定能被11整除．
应用能力升级 用合并同类项知识解决日常生活中的问题，如用字母表示付费、图形周长等．
【例5】 以物易物在农村是普遍存在的一种现象．一天，王大妈用玉米换苹果，交易条件是1公斤玉米换0.8公斤苹果，当称完带口袋的玉米后，小贩要称皮（口袋）时，王大妈说话了：
“不用称皮了！
称玉米带皮，称苹果时也带皮，这样既省事又互不吃亏．”想一想：
王大妈讲的有道理吗？
用学过的有关代数式的知识解答．
解析 本题的关键是列代数式求值比较吃亏还是不吃亏的过程．
解 王大妈讲的没有道理，王大妈自己吃亏．
设玉米重x公斤，口袋重y公斤，则应换苹果（0.8x）公斤，若不称皮，则实换苹果为0.8（x＋y）－y＝0.8x＋0.8y－y＝0.8x－0.2y，也就是说，这样王大妈要少得苹果0.2y公斤，口袋越重吃亏越大．
___5 去括号
Ⅰ 学法导引
我们第二章学过有理数减法，如7－（－5）＝7＋5＝12，这就是有理数减法中遇到的去括号，根据它来学习去括号法则的第二条，需要注意本节在去括号时，若括号内多于一项时，在去括号后，括号内各项要么全变号，要么全不变号，同时还应正确运用乘法分配律，这节内容今后经常用到，一定要打好基础．
思维整合 解析重点去括号法则，正确去括号．
【例1】 先去括号，再合并同类项：
（1）8a＋2b＋5（a－b）；
（2）6a－2（a－c）．
解析 这两个题都需要先利用分配律计算5与（a－b），2与（a－c）的积，再去括号，最后合并同类项．
解
（1）8a＋2b＋5（a－b）
＝8a＋2b＋（5a－5b）
＝8a＋2b＋5a－5b
＝（8a＋5a）＋（2b－5b）
＝13a－3b；
（2）6a－2（a－c）
＝6a－（2a－2c）
＝6a－2a＋2c
＝4a＋2c．
剖析难点 当括号前是“－”号时的去括号．
【例2】 先去括号，再合并同类项．
解析 按去括号法则先把括号去掉，然后再合并同类项，要注意括号前面是“－”号，去括号后，括号内各项的符号都改变．
点击易错点 尤其易犯的错误是：
（1）括号前是“－”号，去括号时，只改变括号里第一项的符号，而其余各项的符号均忘记改变．
（2）运用分配律时，容易出现漏乘项的错误．
错解分析 错解1是第二步去括号时，括号里各项都应变号，但上述解法中只改变了第一项的符号．
错解2是第一步应用分配律时，应用4去乘括号内的每一项，但上述解法中只与第一项相乘，造成漏乘的错误．
解析 去多重括号可以由内向外逐层进行，也可以由外向内进行，如果去括号法则掌握得比较熟练，也可以内外同时进行去括号．
解 解法之一（由内向外逐层去括号）
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 有理数的绝对值，有理数的乘方及去括号合并同类项的综合运用．
解析 由两个非负数的和为0，则每个非负数为0可求出a、b的值，代入式子A－B的化简结果中，就可求出A－B的值．
应用能力升级 应用去括号合并同类项解决几何图形的边长、周长及阴影部分的面积等问题．
【例5】 一个四边形的周长是38厘米，已知第一条边长是a厘米，第二条边长比第一条边长的2倍长3厘米，第三条边长等于第一、二两条边长的和，写出表示第四条边长的代数式．
解析 第一条边的边长为a厘米，第二条边的边长为（2a＋3）厘米，第三条边的边长为（a＋2a＋3）厘米，周长减去前三条边的边长就是第四条边的边长．
解 根据题意得
38－a－（2a＋3）－（a＋2a＋3）＝38－a－2a－3－a－2a－3＝32－6a．
点拨 列代数式时，第二条边的边长，第三条边的边长要用括号括上．
__6 探索规律
Ⅰ 学法导引
要善于从具体的、实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律，合理归纳，大胆猜想，从不同事物中发现它们的相似点或相同点，并运用符号（代数式）表示规律，另外还需要通过运算，验证你所找到的规律是否正确．
Ⅱ 思维整合
解析重点 探索规律的方法和步骤：
第一，观察、探索：
从实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律．
第二，归纳、猜想：
通过观察由此及彼，合理归纳、猜想，并用字母表示规律．
第三，验证：
观察、探索的结果，具有偶然性，可能是正确的，也可能是错误的，需要通过运算，验证规律．
【例1】 图3－6－1，图①是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图②；再分别连结图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形？
解析 先找出图①、图②、图③中分别有多少个三角形，我们发现图①有1个图②有5个，图③有9个，还发现，图②比图①多4个三角形，图③比图①多8个（2个4）三角形．
点击易错点 根据题目找不出规律，考虑不全面，思维不清楚是导致本节错误的主要原因．
【例2】 如图3－6－2用棋子摆出下列一组图形：
问：
摆第④个图形用____枚棋子；摆第n个图形用____枚棋子．
错解 15，3（n＋1）
错解分析 把每边棋子数×边数当成了发现的规律，而忽略了每个角处的一枚棋子都数了两遍．
正解 12，3n
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 探索一些算式中的规律、图形中的规律、周期问题的规律等．
【例3】 观察下列各式；你会发现什么规律？
解析
（1）左边是两个连续奇数的积，右边是两个连续奇数中间的偶数的平方减去1，
（2）找出算式中第1个数与算式序号之间的关系，3→1，5→2，7→3，9→4，…，2n＋1→n．
应用能力升级 用探索规律解决实际生活中遇到的问题，托运行车费用、过已知多个点作直线条数问题、好朋友见面握手次数问题等．
【例4】“⊙”表示一种新的运算符号，已知2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，…按此规律，计算5⊙8．
解析“⊙”只是一种符号而已，后面的几个等式，等式的左边是一种运算符号，等式的右边是几个连续自然数的和，关键是加数的个数和从哪个数开始加，条件：
2⊙3＝2＋3＋4，从“2”加起，有3个加数即“2＋3＋4”，7⊙2＝7＋8；从“7”加起有2个加数，即“7＋8”；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，从3加起，共有5个加数，即“3＋4＋5＋6＋7”．所以5⊙8＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12．
解 5⊙8＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12
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