初中数学竞赛辅导讲座19讲全套.docx

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初中数学竞赛辅导讲座19讲全套

第一讲有理数

一、有理数的概念及分类。

二、有理数的计算：

1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。

三、例题示范

1、数轴与大小

例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？

满足条件的点B有多少个？

例2、将

这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。

提示1：

四个数都加上1不改变大小顺序；

提示2：

先考虑其相反数的大小顺序；

提示3：

考虑其倒数的大小顺序。

例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。

试确定三个数

的大小关系。

分析：

由点B在A右边，知b-a>0，而A、B都在原点左边，故ab>0,又c>1>0,故要比较

的大小关系，只要比较分母的大小关系。

例4、在有理数a与b（b>a）之间找出无数个有理数。

提示：

P=

（n为大于是的自然数）

注：

P的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号

在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。

例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

提示：

造零：

n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0

注：

造零的基本技巧：

两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧

例6、计算-1-2-3-…-2000-2001-2002

提示：

1、逆序相加法。

2、求和公式：

S=（首项+末项）⨯项数÷2。

例7、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002

提示：

仿例5，造零。

结论：

2003。

例8、计算

提示1：

凑整法，并运用技巧：

199…9=10n+99…9，99…9=10n-1。

例9、计算

提示：

字母代数，整体化：

令

，则

例10、计算

（1）

；

（2）

提示：

裂项相消。

常用裂项关系式：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

。

例11计算

（n为自然数）

例12、计算1+2+22+23+…+22000

提示：

1、裂项相消：

2n=2n+1-2n；2、错项相减：

令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S-S=22001-1。

例13、比较

与2的大小。

提示：

错项相减：

计算

。

第二讲绝对值

一、知识要点

1、绝对值的代数意义；

2、绝对值的几何意义：

（1）|a|、

（2）|a-b|；

3、绝对值的性质：

（1）|-a|=|a|,|a|≥0,|a|≥a；

（2）|a|2=|a2|=a2；

（3）|ab|=|a||b|；（4）

（b≠0）；

4、绝对值方程：

（1）最简单的绝对值方程|x|=a的解：

（2）解题方法：

换元法，分类讨论法。

二、绝对值问题解题关键：

（1）去掉绝对值符号；

（2）运用性质；（3）分类讨论。

三、例题示范

例1已知a<0，化简|2a-|a||。

提示：

多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。

例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？

例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：

|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。

例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc>0，求

的值。

注：

对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。

例5已知：

例6已知

，化简：

m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。

例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。

提示：

1、根轴法；2、几何法。

例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|>7。

提示：

1、根轴法；2、几何法。

例9m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。

提示：

结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。

结论：

最小值为8。

例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，

且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.

例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？

解由已知条件可得：

T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.

∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.

例12  若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.

证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.

∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.

∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=

＞0，∴|b|＞1.

同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.

例13某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：

一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。

若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？

例14解方程

（1）|3x-1|=8

（2）||x-2|-1|=

（3）|3x-2|=x+4（4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.

例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.

分析  解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：

x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.

第三讲一次方程（组）

一、基础知识

1、方程的定义：

含有未知数的等式。

2、一元一次方程：

含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。

3、方程的解（根）：

使方程左右两边的值相等的未知数的值。

4、字母系数的一元一次方程：

ax=b。

其解的情况：

5、一次方程组：

由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。

常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。

6、方程式组的解：

适合方程组中每一个方程的未知数的值。

7、解方程组的基本思想：

消元（加减消元法、代入消元法）。

二、例题示范

例1、解方程

例2、关于x的方程

中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是1，求a、b的值。

提示：

用赋值法，对k赋以某一值后求之。

例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。

例4解关于x的方程

.

提示：

整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论

例5k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？

并求出正整数解。

提示：

整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。

例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？

分析  依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，

本例的另一典型解法

例7（1989年上海初一试题），方程

并且abc≠0，那么x____

提示：

1、去分母求解；2、将3改写为

。

例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：

确定3x4+2x5的值.

说明：

整体代换方法是一种重要的解题策略.

例9解方程组

提示：

仿例8，注意就m讨论。

例10如果方程组

（1）的解是方程2x-y=4

（2）的解，求m的值。

提示：

1、从

（1）中解出x,y用m表示，再代入

（2）求m；

2、在

（1）中用消元法消去m再与

（2）联立求出x,y，再代入

（1）求m。

例11如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。

提示：

赋值法。

例12解方程组

。

提示：

引进新未知数

第四讲列方程（组）解应用题

一、知识要点

1、列方程解应用题的一般步骤：

审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.

2、列方程解应用题要领：

（1）善于将生活语言代数化；

（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；

（3）善于寻找数量间的等量关系。

二、例题示范

1、合理设立未知元

例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:

1，在此之后，男生又走了45人，于是男女生的比例为1:

5,求原来男生有多少人？

提示：

（1）直接设元

（2）列方程组：

例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？

例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？

提示：

（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；

（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：

例4（1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？

提示：

用列表法分析数量关系。

例5如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？

提示：

间接设元.设第一个星期五的日期为x，

例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？

提示：

直接设元。

例7某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。

提示：

商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：

商品利润率=[（商品售价—商品进价）÷商品进价]⨯100%。

例8 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用

小时，求A、B两地相距多少千米？

提示：

1 （选间接元）设坡路长x千米

2选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米

3（选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，

2、设立辅助未知数

例9（1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于多