任意角与弧度制知识点汇总.docx
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任意角与弧度制知识点汇总
1.1任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：
一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：
角或可以简记成。
2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：
按照逆时针方向转定的角。
零角：
没有发生任何旋转的角。
负角：
按照顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、
（1）A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（填序号）.
①｛小于90°的角｝②｛0°～90°的角｝
③｛第一象限的角｝④以上都不对
（2）已知A=｛第一象限角｝，B=｛锐角｝，C=｛小于90°的角｝，那么A、B、C关系是（）
A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k（kZ）个周角的和。
（2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合
k360,kZ
即：
任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1、kZ2、是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、
（1）若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为。
（2）若和是终边相同的角。
那么在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）210；
（2）148437．
例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260
2、终边在坐标轴上的点：
终边在x轴上的角的集合：
|k180,kZ
终边在y轴上的角的集合：
|k18090,kZ
终边在坐标轴上的角的集合：
|k90,kZ
3、终边共线且反向的角：
终边在y=x轴上的角的集合：
|k18045,kZ
终边在yx轴上的角的集合：
|k18045,kZ
4、终边互相对称的角：
若角
与角
的终边关于x轴对称，则角
与角的关系：
360k
若角
与角
的终边关于y轴对称，
则角
与角
的关系：
360k180
若角
与角
的终边在一条直线上，
则角
与角
的关系：
180k
角
与角
的终边互相垂直，则角
与角
的关系
：
360k
90
m360
系是（）
A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.有关于y轴对称二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角的弧度数的绝对值l（l为弧长，r为半径）
r
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算弧度定义：
对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：
∵360=rad180=rad
180
∴1=rad0.01745rad1rad57.305718'
180
注意：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零
例1、把6730'化成弧度例
例2、
3
把3rad化成度
5
例3、将下列各角从弧度化成角度
（1）rad
（2）2.1
rad
3
（3）rad
36
5
3、弧长公式和扇形面积公式
11
2
lr；S
lR
r
22
练习题
一、选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（）
A．30°B．-30°C．630°D．-630°
2、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α<360°,k∈Z）的形式是（）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：
（）
A．｛
α∣
90°<α<180°}
B．｛
α∣
90°＋k·180°<α
<180°＋k·
180°
，k∈Z}
C．｛
α∣
－270°＋k·180°
<α<－180°
＋k·
180°，
k∈Z}
D．｛
α∣
－270°＋k·360°
<α<－180°
＋k·
360°，
k∈Z}
）
4、下列命题是真命题的是（
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
A.X?
Y
B.XùY
C.Ｘ=Y
D.X≠Y
设α、β满足-
180°<α<β<
180°，则α
-β的范围是（）
A.-360°<α-
β<0°
B.-180°
<α-
β<180°
C.-180°<α-
β<0°
D.-360°
<α-
β<360°
下列命题中的真命题是
（）
A．三角
形的内角
是第一
象
限角或第二
象限角
12、
B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大
A．2
B．
sin1
C．2sin1
D．sin2
16、设角的终边上一点
P的坐标是（cos
sin），则
55
等于（）
A．
B．cot
5
5
3
C．2k
（kZ）
D．2k
9
（kZ）
10
5
17、若90°<－α<180
°，则180°－α
与α的终边
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．以上都不对
k
18、设集合M={α|α=
，k∈Z｝，
N={α|－π<α
<π｝，则M∩N等于
3
7
4
A．{－,}
B．｛－
}
3,7,4
C．
{
－
15、已知弧度数为
2的圆心角所对的弦长也是
则这个圆心角所对的弧长是
2，
3,7
0,0
21、设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+（－1）k，k∈Z}那么下列结论中正确的是（）A．M=NB．MNC．NMD．MN且NM
二、填空题
22、若角α是第三象限角，则角的终边在.
2
23、与－1050°终边相同的最小正角是.
24、已知是第二象限角，且|2|4,则的范围是.
任意角的三角函数练习题
一、选择题
1.设角属于第二象限，且
cos
2
cos2，则2角属于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
二、填空题
2
1cos
cos
其中正确的是
3．若角α的终边在直线y＝－x上，则sin2
1sin2
4．使tanx－1有意义的x的集合为sinx
象限的角.
α4α
5．已知α是第二象限的角，且cos2＝－5，则2是第
三、解答题
1.
已知tan
1
，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，且3
7
tan
2
求
cossin
的值.
2.设cosθ＝mm＋nn（m>n>0），求θ的其他三角函数值
1＋2sinθcosθ1＋tanθ
3．证明
（1）22＝
cos2θ－sin2θ1－tanθ
（2）tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
4.已知sinxcosxm,（m2,且m1），
求
（1）sin3xcos3x；
（2）sin4xcos4x的值.
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