八级数学上册学同步练习第十二章第二节作轴对称图形人教新课标版.docx

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八级数学上册学同步练习第十二章第二节作轴对称图形人教新课标版

2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十二章

第二节作轴对称图形

一、教案内容：

1.基本概念：

轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。

2.轴对称的性质。

3.线段的垂直平分线的性质及判定

4.尺规作图：

轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线

5.关于坐标轴对称的点的坐标特点。

二、知识要点：

1.基本概念

（1）轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：

区别：

①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。

②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：

①都沿某条直线对折，图形重合。

②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

（4）线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2.轴对称的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：

（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

）

3.线段的垂直平分线的性质及判定

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4.尺规作图

（1）如何作轴对称图形

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线

①分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，②作直线CD。

CD就是线段AB的垂直平分线。

5.关于坐标轴对称的点的坐标特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

三、重点难点：

1.重点：

①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标轴对称的点的坐标特点。

2.难点：

轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。

【考点分析】

中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。

试卷的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。

【典型例题】

例1. 如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？

如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？

（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？

分析：

每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。

要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。

解：

不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

评析：

看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。

例2.如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（  ）

      ①AD＝BD；       ②AC＝BC；       ③∠A＝∠B；            ④∠ACD＝∠BCD；  

⑤∠ADC＝∠BDC＝90°

      A. 2个            B. 3个                    C. 4个                   D.5个

分析：

由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：

D

评析：

掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。

例3.写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

分析：

求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。

解：

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。

评析：

点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成

形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）。

分析：

由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得0＜5x＜26，即得x的取值范围。

对于第二小题根据图形得AP＝BM＝26－5x，而AM＝AP＋PM，PM＝x。

评析：

图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°，由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。

例5.如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

分析：

如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。

解：

（1）画出点A关于直线l的对称点A'；

（2）画出点B关于直线l的对称点B'：

（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

评析：

画已知图形关于某直线的对称图形：

①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？

分析：

在河岸l上找一点C，使AC＋BC最短，利用轴对称把A点或B点变换到l的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。

解：

设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点

，

（2）连结

，交直线l于点C，

点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）

评析：

此类最小值问题解决的方法是：

作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。

依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。

【方法总结】

本节从生活中的图形入手，学习图形的对称及其基本性质，欣赏、体验对称在现实生活中的广泛应用。

在此基础上，利用对称探索几何图形的性质，培养空间理解能力。

在解决实际问题时，要看透其中所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题。

【模拟试卷】（答题时间：

40分钟）

一、选择题

1.下列说法错误的是                                                                                         （  ）

A.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合

B.全等的两个三角形一定关于某直线对称

C.轴对称图形的对称轴至少有一条

D.线段是轴对称图形

2.轴对称图形的对称轴是                                                                                  （  ）

A.直线        B.线段        C.射线        D.以上都有可能

3.下面各组点关于y轴对称的是                                                                        （  ）

A.（0，10）与（0，－10）    B.（－3，－2）与（3，－2）

C.（－3，－2）与（3，2）    D.（－3，－2）与（－3，2）

*4.下列图形中，不是轴对称图形的是（  ）

A.一条线段                                    B.两条相交直线

C.有公共端点的两条相等的线段     D.有公共端点的两条不相等的线段

5.（2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为    （  ）

A.30°                B.50°                C.90°                D.100°

6.（2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是 （  ）

*7.（2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是      （  ）

A.150°              B.300°              C.210°              D.330°

**8.（2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

小明用下面的方法作P的对称点：

先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，

。

若

与P重合，则n的最小值是  （  ）

A.5             B.6             C.7             D.8

二、填空题

9.（2006年宜昌）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是

，该车牌的后5位号码实际是__________。

10.如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出：

（1）两组对应点__________和__________；

（2）两组对应线段__________和__________；

（3）两组对应角__________和__________。

11. 点A（－5，－6）与点B（5，－6）关于__________对称。

*12.（2007年四川内江）已知点A（m－1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称，则m＝__________，n＝__________。

三、解答题

13.画出下列各图形的所有对称轴。

14.如图所示，作出△ABC关于直线l的对称三角形A'B'C'。

**15.

（1）回答问题：

①到线段两端点的距离相等的点在__________上；②到角的两边距离相等的点在__________上。

（2）根据

（1）中的结论作图。

如图所示，求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边的距离相等。

**16.如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△ACD的周长为17cm，求△ABC的周长。

四、应用与探究题

17.观察下图中的图形，虚线是不是它们的对称轴？

你是如何验证的？

**18.如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？

【试卷答案】

一、选择题

1. B  2. A  3. B  4。

D  5。

D  6。

D  7。

B  8。

B

二、填空题

9. BA629

10.答案不唯一，

（1）A与D，B与E

（2）AB与DE，AC与DF（3）∠A与∠D，∠B与∠E

11.y轴         12.3，－4

三、解答题

13.如图所示：

14.如图所示：

15.

（1）①这条线段的垂直平分线；②这个角的平分线。

（2）①连结CD，②作线段CD的垂直平分线a，③作∠AOB的平分线OM，OM交a于点P。

点P就是所求作的点。

16.解：

∵DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，AE＝BE。

∵AE＝5cm，∴BE＝5cm，∴AB＝AE＋BE＝10cm。

∵△ABC的周长＝CA＋CD＋DB＋AB，△ACD的周长＝CA＋CD＋AD＝CA＋CD＋DB＝17cm，∴△ABC的周长＝17＋10＝27cm。

四、应用与探究题

17.将这些图形分别沿图中的虚线对折，如果折叠后两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条虚线就是它的对称轴；如果折叠后两边不能够完全重合，那么这条虚线就不是它的对称轴（不一定不是轴对称图形，如图

（2）不是轴对称图形，图（3）是轴对称图形）。

用上述方法验证得：

图

（1）和（3）中的虚线是它们各自的对称轴，图

（2）和（4）中的虚线不是它们各自的对称轴。

18.如图所示，①作点B关于直线l的对称点

，②连结

，交直线l于点C. 点C就是所求的点。