湖北省江陵县五三中学七年级数学下学期三角形全单元教案及单元试题附答案人教版教案.docx

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湖北省江陵县五三中学七年级数学下学期三角形全单元教案及单元试题附答案人教版教案

三角形单元教案及单元试题（附答案）

1、三角形有关概念

教学目标

1．理解三角形及其有关概念，会按边与边之间的关系对三角形进行分类；

2．理解并会阐述三角形三边关系定理及其推论，并会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；

3．通过探索三角形的三边关系，培养学生观察、分析、概括的能力．

教学重点难点

1．三角形三边的关系定理及其推论；

2．三角形按边分类．

教学过程

一、新课引入．

以实际生活中的例子引入三角形：

如少先队员戴的红领巾、空调外壳的支架、屋架、自行车的三角支架等．

（可让学生补充举例．）

二、讲解新课．

（一）三角形的定义．

通过师生互动，“一笔画出一个三角形”，引导学生用语言叙述画这个三角形的过程，经过讨论（为何要有“不在同一直线上”），得出三角形的定义：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形（如图7—1—1）．

（二）三角形的顶点、边、角．

（引导学生用数学语言叙述．）

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．

（三）三角形元素的符号表示．

“三角形”可用符号“△”表示，如上图所示，顶点是A、B、C的三角形，记做“△ABC”．∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．△ABC的三边分别是AB、BC、CA，有时也可用小写字母来表示．顶点A、B、C所对的边分别可用a、b、c来表示，即AB可用c表示，BC可用a表示，CA可用b表示．

（四）三角形三边的关系．

问题情境1：

如图7—1—2，在△ABC中，假设有一只小虫要从点B出发沿三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？

哪条最短？

生：

有两条路线，B—A—C和B—C，但沿BC边爬最短．

问题情境2：

（火柴棍儿拼接游戏．）请同学们用9根火柴棍拼成一个三角形，看有几种拼法？

是否“首尾顺次相接”的三条线段都能组成三角形？

（学生展示：

1，4，4；2，3，4；3，3，3共3种，如图7—1—3．）

通过以上两个问题，你能得到什么结论？

引导学生思考、讨论、归纳，并用几何语言叙述．

三角形三边关系定理：

三角形两边的和大于第三边．

推论：

三角形两边的差小于第三边．

综合结论：

三角形第三边大于另外两边的差且小于另外两边的和．

（五）三角形按边之间的关系分类．

质疑：

等边三角形是等腰三角形吗？

为什么？

三、巩固练习．

1．图7—1—4中有几个三角形？

用符号表示这些三角形．

2．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是___________cm．

3．在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）．

A．3，3，6B．3，5，9C．3，4，5D．2，3，5

四、课堂小结．

学生自己谈体会，既是对本节知识的复习，又对学生的归纳、表达能力进行了训练．

五、作业练习．

p751，2，6．

2、三角形的高、中线和角平分线

教学目标

1．理解三角形的高、角平分线、中线的概念；

2．能正确地画出一个三角形的高、角平分线和中线，并会用符号语言表述三角形的高、角平分线和中线的有关数量关系；

3．逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力．

教学重点难点

1．三角形的高、角平分线和中线的理解和应用；

2．三角形高的画法及三角形中三条重要线段的符号语言表述方法．

教学过程

一、三角形的角平分线．

活动一．

1．任意画一个三角形，设法画出它的一条角平分线，你能通过折纸的方法得到它吗？

2．请你画出△ABC（锐角三角形）的所有角平分线，并且观察这些角平分线有什么规律？

对于钝角三角形呢？

直角三角形呢？

它们的角平分线也有这样的规律吗？

学生可以使用量角器，也可以用折纸的方法得到角平分线，在小组讨论的基础上得出下列结论：

（1）三角形的角平分线．

三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线，简称三角形的角平分线．

（注意强调三角形的角平分线为线段．）

三角形的角平分线的符号语言表述形式：

如图7—2—1，

因为AD是三角形ABC的角平分线．

所以∠1＝∠2＝

∠BAC或∠BAC＝2∠1＝2∠2．

（2）一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点．

二、三角形的中线．

活动二：

1．任意画一个三角形，设法画出它的一条中线，你能通过折纸的方法得到吗？

2．请你画出△ABC（锐角三角形）的所有中线，并且观察这些中线有什么规律？

对于钝角三角形呢？

直角三角形呢？

它们的中线也有这样的规律吗？

学生通过自己的动手操作，观察，应该比较快地得到下面的结论：

点评：

实际上，用折纸的方法一次难以完成，需要先对折出某边中点，再对折出中线，这对初学几何的同学来说，是很好的训练素材．

（1）三角形的中线．

连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线，简称三角形的中线．

符号语言：

如图7—2—2，

因为AD是三角形ABC的中线，

所以BD＝DC＝

BC或BC＝2BD＝2DC．

（2）一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，而且相交于一点．

三、三角形的高．

师：

过三角形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗？

试试看，你准行!

1．三角形的高．

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

如图7—2—3，

因为AM是BC边上的高，

所以∠AMB＝∠AMC＝90°．

2．做一做：

每人准备一个锐角三角形纸片：

（1）你能画出这个三角形的高吗？

你能用折纸的方法得到它吗？

（2）这三条高之间有怎样的位置关系呢？

（小组讨论交流．）

结论：

锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点．

3．议一议：

每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形．

（1）画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系？

（2）你能折出钝角三角形的三条高吗？

你能画出它们吗？

（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？

它们所在的直线交于一点吗？

［（如图7—2—4

（1）

（2）（3）．］

小组讨论交流．

结论：

（1）直角三角形的三条高交于直角顶点处．

（2）钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部．

四、例题与练习．

1．△ABC中，∠B＝80°∠C＝40°，BO、CO平分∠B、∠C，则∠BOC＝___________．

2．如图7—2—5，已知，AD是BC边上的中线，AB＝5cm，AD＝4cm，△ABD的周长是12cm，求BC的长．

3．如图7—2—6，AD是△ABC的角平分线（D在BC所在直线上），那么∠BAD＝___________＝

____________．

AE是△ABC的中线（E在BC所在直线上），那么BE＝_________＝_________BC．

五、师生共同小结．

1．三角形的重要线段有三角形的角平分线、中线、高，它们都是线段，这些线段一端是顶点，另一端在对边上；

2．要会画出三角形的这三种重要线段，并会用符号语言表述有关的数量关系；

3．三角形的角平分线、中线都在三角形内，而高线的情况有所不同，锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形的高有两边恰好是直角边，钝角三角形的高有两条在三角形外部．

3、三角形的三边关系

【教学目标】

1、通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力；

2、通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素；毛

3、学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系；

4、掌握三角形三条边之间关系．

【重点难点】

重点：

了解三角形定义、三边关系。

难点：

理解“首尾相连”等关键语句。

【教学准备】

教师：

课件、三角尺、屋顶架结构图等。

学生：

三角尺、铅垂纸、小刀。

【教学过程】

一、提出问题

展示实物，播放课件，特别突出屋顶结构图，问题：

1、请仔细观察实物与课件，找出不同的三角形。

2、与同伴交流各自找到的三角形。

3、这些三角形有什么特点？

设计意图：

通过观察课件，尤其是屋顶的框架结构图实例，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形要素。

二、探究质疑

1、三角形的概念：

（1）通过学生间交流，师生共同得出，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

（2）三角形有哪些基本要素，师生共同得出：

边、角、顶点．

2、三角形表示：

（1）教师强调，为了简单起见：

三角形用符号“△”表示，如图2的三角形ABC就表示成△ABC,三个顶点为：

A,B、C，三边分别为:

AB,BC,AC。

通常顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用。

（2）请同学们找出图3中的三角形，并用符号表示出来，同时说出各个三角形要素，并指出AD是哪些三角形的边。

3、动手操作：

请小组同学们画一个△ABC，分别图3量出AB,BC,AC的长，并比较下列各式大小：

AB＋BC＿AC；AB+AC＿BC；

AC+BCAB，

从中你有何启发？

小组合作后，对你们的结论加以解释。

师生共同得出结论：

三角形任意两边之和大于第三边。

设计意图：

在识别中加深认识，巩固对三角形概念及三角形要素的理

解，更加深刻理解三角形表示的必要性．

三、巩固新知

1、指出图4中有几个三角形并用符号来表示

2、有两根长度分别为5cm,8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？

为什么？

长度为13cm的木棒呢？

设计意图：

（1）是巩固三角形的表示方法；

（2）渗透反证法思想，借助小组操作讨论，得出组成三角形的条件。

四、解决问题

如图5，为解决A,B,C,D四村用电问题，政府投资在已建电厂与四个村庄间架设输电线路．现已知四个村庄及电厂之间距离，则能把电力输送到四个村庄的输电线路最短长度是多少？

设计意图：

以三角形三边关系解决实际问题，体现数学价值。

五、归纳小结

1、请你谈谈本堂课的收获。

2、你有什么困惑？

3、你对老师有什么要求？

通过小组讨论，完善学生对知识的梳理。

六、布置作业

1、必做题：

教材第75页习题7.1和1、2题；

2、选做题：

如图6，在△ABC中，D,E是BC,AC上的两点，连结BE、AD交于F，问：

（1）图中有几个三角形？

并表示出来？

（2）△BDF的三个顶点是什么？

三条边是什么？

（3）AB边是哪些三角形的边？

（4）F点是哪些三角形的顶点？

【教学反思】

本课设计通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展学生的归纳、抽象及有条理的推理、表达能力，结合具体实例，引导学生探究新知，充分体现了合作学习、自主探究、动手实践的学习方式，为学生提供了探索与交流的时间与空间，同时注重数学的实际应用，在总结出任意三角形三边关系后，提供了架设电线的实际问题，使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性，更加激发了学生求知欲.毛

4、三角形的内角和

（1）

【教学目标】

1、了解三角形的内角；毛

2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度；

3、学会解决与求角有关的实际问题；

4、初步培养学生的说理能力。

【重点难点】

重点：

了解三角形的内角和性质，学会解决简单的实际问题。

难点：

说明三角形内角和等于180度。

【教学准备】

学生：

三角尺、铅画纸、小剪刀、量角器。

【教学过程】

一、动手操作，初步感知

问题：

1、三角形的内角和等于多少度？

2、在纸上画一个三角形将将它的内角剪下，试着拼拼看。

3、在同伴交流有哪些不同的拼合方法。

设计意图：

从丰富的拼图活动中发展学思维的灵活性，创造性，为下一环节“说理”做准备。

二、实践说理，深入新知

问题：

1、由刚才拼合而成的图形，你能想出说明“三角形内角和等于180度"这个结论的正确方法吗？

2、把你的想法与同伴交流．

3、各小组派代表展示说理方法．

4、请同学们归纳上述各种不同的方法。

设计意图：

在说理过程中，更加深刻地理解多种拼图方法，创设不同说理方法的表达情境。

三、应用新知

在△ABC中，

（1）已知∠A=

，能否知道∠B，∠C的度数？

（2）已知∠A=

，∠B=

，则∠C=

（3）已知∠A=

，∠B-∠C＝

，则∠C

（4）已知∠A+∠B=

∠C=2∠A，能否求∠A、∠B、∠C的度数？

（5）已知∠A:

∠B:

∠C=1:

3:

5，能否求∠A、∠B、∠C的度数？

2、出示教科书79页例。

设计3个问题：

（1）请你解释一下这些方位角。

（2）∠ACB是哪个三角形的内角？

（3）有不同解法请你的同伴交流。

设计意图：

向学生展示分析问题的基本方法，培养学生思维的广阔性。

四、练习

1.完成教科书80页练习1、2.

2.已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。

设计意图：

增加第2小题，一方面巩固了前面的已学知识（高），另一方面进一步提高学生的说理能力。

五、总结归纳

采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。

1、本节课我们学了什么知识？

2、你有什么收获？

设计意图：

发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。

六、布置作业

1、必做题：

教科书82页第1、3、4题。

2、选做题：

a）在∠C中，CD⊥AB，垂足是D，∠A=

，∠BCD=

，求∠B，∠ACB的度数。

b）在△ABC中，∠A+∠B=

，∠C=2∠B，∠C=50度，分别求∠A、∠B的度数。

c）在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，垂足为D，∠BCD=27度，求∠ACD的度数，且探索∠BCD与∠A，∠B与∠ACD的关系。

d）将一个三角形纸片一刀分成两个三角形，能否这两个三角形：

i.都是直角三角形；

ii.都是钝角三角形；

iii.都是锐角三角形；

请简要说明理由。

作业分层，供不同层次的学生使用，开放题有利于激发学生的思维。

【教学反思】

1、符合学生的认知规律．本设计先让学生动手操作以便使学生对三角形内角和有感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅人深，循序渐进，学生易接受．

2、体现自主学习、合作交流的新课程理念．无论是例题还是习题的教学均采用“尝试—交流—讨论”的方式，充分发挥学生的主体性，教师起引导、点拨的作用．

3、结合评价表，对学生的课堂表现进行激励性的评价，一方面有利于调动学生的积极性，另一方面有利于学生进行自我反思．毛

5、三角形的内角和 

（2）

教学目标

1．使学生知道三角形的内角和是180°，并能运用它进行一些简单的计算；

2．掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证明，同时培养学生观察、猜想和论证能力．

教学重点难点

1．三角形内角和定理的证明思路及应用；

2．三角形内角和定理的证明方法．

教学过程

一、创设问题情境．

师：

我们曾经把一个三角形的三个内角撕下来拼在一起得到一个平角，由此得到三角形的内角和是180°．

师：

这只是实验得出的命题，不能当作定理，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理．今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识．

那么，如何证明此命题是真命题呢？

能否用学过的旧知识来证明？

点评：

从学过的知识引入符合学生的认知规律．

二、学生自主探究．

学生回忆证明一个命题的步骤：

①画图；

②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言；

③分析、探究证明方法．

点评：

有本章前面几节作为基础，学生有能力画图、写已知、求证．

三、创设问题情境．

师：

要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能像前面那样，把这三个角拼在一起呢？

拼成什么样的角呢？

生：

（学生思考与180°有关的角后回答）可拼成：

①平角，②两平行线间的同旁内角．

师：

要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线．在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法．如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？

下面请同学们利用准备好的三角形纸片拼一拼、画一画．

四、学生自主探究．

学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的做法：

①如图7—3—1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1＝∠A；延长BC，过C作CE∥AB；

②如图7—3—2，过A4作DE∥AB；

③如图7—3—3，过C作CD∥AB．

学生可能还有其他画法（如图7—3—4）．

点评：

通过观察、分析、归纳，使思维达到高潮，由感性认识上升到理性认识．请不同画法的学生到黑板前演算，并口述画图方法，叙述不恰当时，其他同学可改正，部分学生可能想到画法4．

五、辨析与研讨．

通过以上分析、研究，让不同做法的学生讲解依据．

1．根据平行线的判定及性质，利用同位角把三角形三个内角转化为一个平角；

2．根据平行线的性质，利用内错角和同位角，把三角形三个内角转化为一个平角；

3．根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三个内角转化为一个平角；

4．根据平行线的性质，利用内错角把三角形三个内角转化为两平行线间的同旁内角．

根据以上几种辅助线的做法，选择一种，师生合作，写出示范性证明过程，其他由学生自主完成证明过程．

点评：

进一步搞清添加辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要．当所述依据不充分时，其他学生可补充或提出质疑．

证明过程的规范书写，需要严格训练，万万不可马虎!

六、反思与评价．

1．弄清证明命题的必要性及步骤；

2．如何将文字语言转化为几何语言；

3．三角形内角和定理的证明是借助于什么获得（实验、观察、添加辅助平行线），平行线是以后几何中常用的辅助线．

添辅助线的技巧：

通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把新知识转化为旧知识去解决．

点评：

引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳、概括能力．

七、例题讲解．

如图7—3—5，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

学生自主探索，教师巡视、诊断，有不同解法的学生到黑板前演示，学生辨析．

点评：

使学生灵活应用三角形内角和定理．用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法．

八、思维拓展练习．

1．如图7—3—6，已知在△ABC中，DE∥BC，∠A＝60°，∠C＝70°，求证：

∠ADE＝50°．

2．如图7—3—7，在∠ABC中，∠A＝n°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，求证：

∠BOC＝90°＋（

）°．

点评：

进一步使学生灵活应用三角形内角和定理．

评析：

本教案的设计采取了“开放性的探究式”教学模式，整个过程是由问题展示到问题解决．教案在中间环节围绕“猜想——论证——应用”组织教学，注重培养学生的观察、猜想、归纳、论证能力和探究能力，做到广泛地让学生动手实验，大胆猜想，探究结论，使学生亲历知识发生、形成和发展过程．这样把教师的知识传授过程转化成学生认知的探索实验活动，把“教师为主导，学生为主体”的教学原则真正贯穿到教学的始终，将有力地促进学生勇于实践、大胆探索的优良品质的形成．

6、三角形的内角和（3） 

教学目标

1．理解三角形外角的概念，初步掌握它的性质及应用；

2．培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力．

教学重点难点

1．三角形外角的性质及应用；

2．三角形外角的性质的灵活运用．

教学过程

一、三角形外角的定义．

1．画图复习邻补角，引出三角形的外角．

给出一个△ABC，让学生画出每一个内角的邻补角．

教师指出这些角就是三角形的外角．

2．学生观察并归纳三角形外角的特征及定义（个数与大小）．

（1）三角形外角的特征．

①外角顶点在三角形的一个顶点上；

②外角的一条边是三角形的一边；

③外角的另一边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形外角的定义．

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．

3．总结三角形外角的画法、个数及大小关系．

（1）画法：

根据定义，画出每一个角的邻补角；

（2）个数：

每个三角形共有六个外角；

（3）大小关系：

每个顶点处的两外角相等．

练习1如图7—4—1中，∠1、∠2、∠3是不是△ABC的外角？

为什么？

练习2如图7—4—2，∠AED是哪些三角形的内角？

是哪些三角形的外角？

练习3如图7—4—3，∠1、∠2、∠3分别是哪些三角形的外角？

二、证明外角的性质．

师：

如图7—4—4，请认真观察，你能发现三角形的外角∠ACD和三角形的内角之间有什么关系吗？

如何证明？

生甲：

因为∠ACD是∠ACB的邻补角，

所以∠ACD＝180°－∠ACB．

生乙：

由于180°－∠ACB＝∠BAC＋∠ABC，

所以∠ACD＝∠BAC＋∠ABC．

教师引导学生归纳总结：

同一三角形的外角与内角的大小有以下几种关系：

1．互补关系：

三角形的一个外角与和它相邻的内角互补（推论1）．

2．相等关系：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（推论2）．

教师启发学生思考：

那么三角形的外角与和它不相邻的一个内角的大小关系如何？

3．不等关系：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角（推论3）．

三、应用举例，变式练习．

1．外角性质的基本应用．

例1已知：

如图7—4—5，D和E分别是AB、AC上一点，BE和CD交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．

（1）求∠BDC的度数；

（2）求∠BFC的度数．

在计算过程中要注意让学生归纳：

∠BDC＝∠_________＋∠_________；

∠BFC＝∠________＋∠_________＋∠____________．

问1：

如图7—4—6中，∠A＝31°，∠B＝60°，∠BFD＝52°，求∠C．

问2：

如图7—4—7中，F为△ABC内部一点，求证：

∠BFC＝∠A＋∠1＋∠2．

问3：

如图7—4—8，∠B＝60°，∠C＝20°，∠BFC＝3∠A，求∠A．

问4：

如图7—4—9中，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于F，猜想∠BFC与∠A的大小有何关系，并进行证明．

问5：

如图7—4—10，BF平分∠ABC，CF平分△ABC的外角∠ACM，则∠BFC与∠A有何关系？

请证明你的结论？

例2如图7—4—11，已知五角星ABCDE，

求证：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．

变式练习

求证：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．

如图7—4—12，

四、课堂小结．

三角形的外角与内角之间有确定的相等关系，也有确定的大小关系．从