六年级奥数讲义列方程解应用题.docx
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六年级奥数讲义列方程解应用题
第十讲列方程解应用题
小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。
他就问管理员叔叔共有多少只猩猩,管理员叔叔开心的答道:
“头数加只数,只数减头数,头数乘只数,只数除头数,把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗?
呵呵!
认真学习今天的好方法,你就可以准确、快速的解答出上面的问题了!
内容概述
在小学数学中,列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。
它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础,通过分析题里的数量关系,根据四则运算的意义列式解答的。
但是,两种解答方法的解题思路却不同。
由于数量关系的多样性和叙述方式的不同,用算术方法解答应用题,时常要用逆向思考,列式比较困难,解法的变化也比较多。
用列方程的方法解答应用题,由于引进了字母表示未知数,可以使未知数直接参与运算,使题目中的数量关系更加清楚,把未知数当成已知数来用,使我们很容易理清数量关系,正确解决问题。
特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时,用方程往往比较容易。
列方程解应用题的一般步骤是:
①审清题意,弄清楚题目意思以及数量之间的关系,;
②合理设未知数x,设未知数的方法有两种:
问什么设什么(直接设未知数),间接设未知数;
③依题意确定等量关系,根据等量关系列出方程;
④解方程;
⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是:
“审、设、列、解、验”.
列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。
寻找等量关系的常用方法是:
根据题中“不
变量”找等量关系。
一些基本概念:
(1)像4x+2=9这样的的等式,只含有一个未知数x,而且未知数x的指数为1的方程叫做一元
一次方程;
(2)像2x+y=8这样的的等式,含有两个未知数x、y,而且未知数的指数都为1的方程叫做二元
一次方程;把两个二元一次方程用“﹛”写在一起,就组成了一个二元一次方程组;
(3)如果有两个未知数,一般需要两个方程才能求出唯一解,如果有三个未知数,一般需要三个
方程才能求出唯一解.
如果有更多的未知数,可借助今天学习的解题思路来类推出解法.
类型Ⅰ:
列简易方程解应用题
【例1】(清华附中培训试题)(难度系数:
★★)解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
分析:
(1)
以下各题不再写检验步骤,请教师强调学生答案要检验.
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
请教师强调学生在解答时要注意:
移项变号、同类放在等式一边、(4)中去括号时每一项都要发生相应变化、(6)中每一项都同时扩大6倍、(5)中可以先简化运算的一定要先化简。
(7)法1:
加减消元法(8)
法2:
代入法.
建议教师将(7)、(8)贯穿起来,让学生深刻体会:
(1)代入法,以及代入法在什么情况下好用;
(2)加减消元法,其本质是找(制造)到一个未知数的系数相等,再利用等式加减得到结果.
【例2】(清华附中培训试题)(难度系数:
★★)汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员按一声喇叭,4秒后听到回音,听到回音时汽车离山谷多远?
(声音的速度以340米/秒计算)
分析:
72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒,设听到回音时汽车离山谷x米,根据题意可得:
340×4=2x+2×4,解得x=676(米).
【例3】(小数报数学竞赛初赛)(难度系数:
★★★)用绳子测井深,绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米,求绳长和井深?
分析:
法1:
设井深是x厘米,则有:
2x+60×2=3x-40×3,井深x=240(厘米),绳长600厘米;
法2:
设绳长是y厘米,则有:
【例4】(奥数网习题库)(难度系数:
★★)箱子里面有红、白两种玻璃球,红球数比白球数的3倍多两个,每次从箱子里取出7个白球,15个红球.如果经过若干次以后,箱子里只剩下3个白球,53个红球,那么,箱子里原有红球比白球多多少个?
分析:
设取球的次数为x次.那么原有的白球数为(3+7x),红球数为(53+15x).再根据题中的第一个条件:
53+15x=3×(3+7x)+2,解得x=7,所以原有红球158个,原有白球52个,红球比白球多106个.此题用逆向思维较难求解,但是用方程则思路非常清晰简单.
【例5】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★)小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。
他就问管理员叔叔共有多少只猩猩,管理员叔叔开心的答道:
“头数加只数,只数减头数,头数乘只数,只数除头数,把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗?
分析:
设动物园有x只猩猩,依题意有:
(x+x)+(x-x)+x×x+x÷x=100,即2x+0+x×x+1=100,亦即
x(x+2)=99,又x整数,只有唯一解x=9.
【例6】(华杯赛复赛)(难度系数:
★★★)从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙地需9小时,从乙地到甲地需7.5小时,问:
甲乙两地公路有多少千米?
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
分析:
从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得
解得x=140,y=70,所以甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.
【例7】(华杯赛决赛)(难度系数:
★★★★)幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣,结果甲班比乙班总共多分了3个枣,乙班比丙班总共多分了5个枣,三个班总共分了多少个枣?
分析:
法1:
设甲班有x人,则乙班有(x-4)人,丙班有(x-8)人;甲班每人分得y个枣,则乙班每人分得(y+3)个,丁班每人分得(y+8)个.那么有甲班共分得xy个枣,乙班共分得(x-4)(y+3)枣,丙班共分得(x-8)(y+8)个枣.
,整理有
,解得
.
因此,甲班小孩19人,每个小孩分枣12个;乙班小孩15人,每个小孩分枣15个;丙班小孩11人,每个小孩分枣20个.19×12+15×15+11×20=673(个),所以,三班共分673个枣.
法2:
先看甲、丙两班,有甲班x人比丙班x人少分8x颗枣,而甲班共分得枣比丙班多8个,所以甲班多出的8人共分得8x+8颗枣,即每人分得x+1颗枣.那有
再看乙、丙班,乙班x人比丙班x人少分5x颗枣,而乙班共分得的枣比丙班多5个枣,所以乙班多出的4人共分得5x+x颗枣,即每人分得(5x+5)÷4颗枣.有(5x+5)÷4=x+4,解得x=11.因此,甲班小孩19人,每个小孩分枣12个;乙班小孩15人,每个小孩分枣15个;丙班小孩11人,每个小孩分枣20个.19×12+15×15+11×20=673(个),所以三班共分673个枣.
类型Ⅲ:
引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
【例8】(101中学分班考试试题)(难度系数:
★★)五年级二班数学考试的平均分数是85分,其中
的人得80分以上(含80分),他们的平均分数是90分。
求低于80分的人的平均分。
分析:
设该班级有
名同学,低于80分的人的平均分为
,则得方程:
解得x=75.
【例9】(华杯赛决赛)(难度系数:
★★★★)有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送,甲班的学生坐车从学校出发的同时,乙班的学生开始步行,车到中途某处,让甲班的学生下车步行,车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫,两班学生正好同时到达。
已知学生步行速度为每小时4千米,载学生时车速为每小时40千米,空车时速度为每小时50千米。
求甲班学生应步行全程的几分之几?
(学生上下车时间不计)
分析:
因为每班步行和坐车的行程总和一样长,又同时出发,同时到达,所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。
也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离a千米相等。
而根据题意我们又可以找到下列等量关系:
乙班步行b千米(也就是a千米)所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。
然后根据等量关系列方程解答即可。
设全程为x千米,甲、乙两班分别步行a、b千米,根据题意得:
所以甲班步行了全程的
.
由上例可以看出,列方程解应用题并不一定只设一个未知数,根据解题的需要,我们有时可以多设几个字母来代替数,帮助我们理清题目中复杂的数量关系,以便我们能够很快的找到解决问题的途径。
【例10】(小学奥林匹克决赛)(难度系数:
★★★)如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12,已知梯形的上底是下底长的
。
那么余下的阴影部分的面积是多少?
分析:
设上底为
,那么下底为
,则上下两个三角形的高分别为
,
,梯形的高是
,其面积为
,阴影部分面积为
。
类型Ⅱ:
列不定方程解应用题
有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的,对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。
但注意到题目对解的要求,有时只需要其中一些或个别解。
【例11】(奥数网习题库)(难度系数:
★)有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶。
问:
大、小油桶各几个?
分析:
设有大油桶x个,小油桶y个。
由题意8x+5y=44,知8x≤44,所以x=0、1、2、3、4、5。
相应的将x的所有可能值代入方程,可得x=3时,y=4.此题在解答时,也可联系数论的知识,注意到能被5整除的数的特点,便可轻松求解.
【例12】(迎春杯预赛试题)(难度系数:
★★)小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔__支.
分析:
设买5分一支的铅笔m支,7分一支的铅笔n支。
则:
5×m+7×n=64,64—7×n是5的倍数.用n=0,1,2,3,4,5,6,7,8代入检验,只有n=2,7满足这一要求,得出相应的m=10,3.即小华买铅笔lO+2=12支,小强买铅笔7+3=10支,小华比小强多买2支.
【例13】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★)小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。
小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。
问:
小明至多套中小鸡几次?
分析:
设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。
根据得61分可列方程:
9x+5y+2(10-x-y)=61,化简后得7x=41-3y。
显然y越小,x越大。
将y=1代入得7x=38,无整数解;若y=2,7x=35,解得x=5,所以小明至多套中小鸡5次.
附加题目
【附1】(101测试题)(难度系数:
★★)甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。
如果甲多做10个,乙少做10个,丙的个数乘以2,丁做的个数除以2,那么四人做的零件数恰好相等,问丙实际做了多少个?
分析:
设四人做的零件数恰好都为x,根据题意可得:
(x-10)+(x+10)+(x÷2)+(x×2)=270,解得x=60,丙实际做了60÷2=30(个).
【附2】(迎春杯刊赛)(难度系数:
★★★)有甲乙丙三个人,当甲的年龄是乙的2倍时;丙是22岁,当乙的年龄是丙的2倍,甲是31岁;当甲60岁时,丙是多少岁?
分析:
设丙22岁时,乙的年龄是x岁,当时甲的年龄就是2x岁.那么甲是3l岁时,乙是(31-x)岁,丙是22+(31-2x)=53-2x岁,且有:
31-x=2×(53-2x),解得x=25,所以乙25岁时,甲50岁,丙22岁.那么甲60岁时,丙32岁.
利用方程解年龄问题.设定乙的年龄之后,我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x的式子表达出来,继而很方便地建立等量关系.
【附3】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★)有甲、乙、丙三堆石子,从甲堆中取出8个给乙堆后,甲、乙两堆的石子数就相等了;再从乙堆中取出6个给丙堆,乙、丙两堆石子个数就也相等了;此时又从丙堆中取2个给甲堆,使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍,问:
原来甲堆有多少个石子?
分析:
设甲堆原来有x个石子,那么甲堆取出8个给乙后,甲乙两堆都是(x-8)个石子;然后乙取6个给丙,乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14;再从丙堆取2个给甲堆,那么甲堆变为x-8+2=x-6,丙堆变为
x-14-2=x-16,此时有关系:
x-6=2(x-16),解得x=26.
题目中的变化过程比较多,在设立未知数后,一步步跟上分析,把每一步的变化结果都用x的式子表示出来,最后建立等量关系.
【附4】(人大附中分班考试试题)(难度系数:
★★★)如右图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。
当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?
分析:
这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。
设追上甲时乙走了x分。
依题意,甲在乙前方3×90=270(米),故有72x=65x+270.解得:
x=
,在这段时间内乙走了:
,由于正方形边长为90米,共四条边,故由
,可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上.
【附5】(第十一届迎春杯决赛)(难度系数:
★★★)小明从自己家到奶奶家时,前一半路程步行,后一半路程乘车;他从奶奶家回家时,前1/3时间乘车,后2/3时间步行.结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时.已知小明步行每小时行5千米,乘车每小时行15千米,那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?
分析:
设小明家到奶奶家的路程为x千米,而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时,那么根据题意有:
用方程解题关键在于未知数设定的合理性,解答中的一个路程未知数,一个时间未知数,恰好能够把题目中的所有关系都利用到.
【附6】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★★)有甲、乙、丙、丁4个人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17,这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?
分析:
设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为a、b、c、d,那么有:
【附7】(首师大附入学测试题)(难度系数:
★★★★)某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?
分析:
此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。
设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得:
【附8】(北大附中培训试题)(难度系数:
★★★)小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封2角,她共用了1元2角2分。
那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?
分析:
平信每封8分,航空信分封1角=10分,挂号信每封2角=20分。
共用了1元2角2分=122分。
设小萌发了平信X封,航空信Y封,挂号信Z封。
得方程:
8X+10Y+20Z=122,要使这3种信的总和最少,则挂号信应最多;再则航空信也尽可能多。
因总钱数的个位是2,则平信最少是4封。
8×4=32分。
其余信的总钱数为122-32=90分。
90/20=4……10。
则挂号信4封,航空信10/10=1封。
4+4+1=9封。
【附9】(迎春杯决赛试题)(难度系数:
★★★)某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师,14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?
分析:
设每班有a(30<a≤45)名学生,每人平均捐款x元(x是整数),依题意有:
x(14a+35)=1995.于是14a+35|1995.又3l<a≤45,所以469<14a+35≤665,而1995=3×5×7×19,在469与665之间它的约数仅有665,故14a+35=665,x=3,平均每人捐款3元.
【附10】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★★)甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖。
问:
甲、乙二人谁搬的砖多?
多几块?
分析:
设甲搬的是18x块,乙搬的是23y块,那么18x+23y=300,观察发现18x和300都是6的倍数,所以y也是6的倍数,y=6时18x=162x=9,y=12时18x=24x=4/3矛盾,所以甲搬了162块,乙搬了138块,甲比乙多24块。
练习十请你用方程法解答下列问题!
1.一个数的4倍加上3乘以0.7的积,和是
,则这个数是多少?
分析:
方程法,设这个数为x,4x+3×0.7=
,x=1.1.
2.某校有学生465人,其中女生的
比男生的
少20人,那么男生比女生少多少人?
分析:
设女生为x人,那么男生为(465-x)人,根据题意有:
,解得x=240,所以女生有240人,男生有225人,男生比女生少15人.
3.某班原分成两个小组活动,第一组26人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,要将一组人数调整为二组人数的一半,应从一组调多少人到二组去?
分析:
设应从第一组调x人到第二组去,根据题意可得:
26-x=(26+22)÷3,解得x=10.
4.现有一笔钱,都是硬币。
其中2分硬币比5分硬币多24个。
按钱数算,5分的钱数比2分的钱数多3角,还有53个1分硬币,这笔钱一共有多少分?
分析:
设5分硬币有
个,则2分硬币有(24+
)个,依据5分的钱数=2分的钱数+3角,可得方程
,解得
,则2分英镑有24+26=50个,共有5×26+2×50+1×53=283(分)。
5.甲、乙、丙共有100本课外书.甲的本数除以乙的本数,丙的本数除以甲的本数,商都是5,而且余数也都是1.乙有书____本.
分析:
设乙有课外书X本,依题意甲有课外书(5X+1)本,丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6(本),于是有(5x+1)+X+(25x+6)=100,即3lx=93解得,X=3,于是乙有课外书3本.
6.如图,已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6.直线AB,将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65.那么三角形ADG面积是多少?
分析:
不妨设△ADE的面积=a,因为DE:
EG=7:
(15+6)=1:
3,
所以△AGE的面积=3a;不妨设△CEB的面积=4b,因为CE:
EF=(5+7):
15=4:
5,所以△BEF的面积=5b;根据题意可得:
a+4b=38,3a+5b=65,解得:
a=10,b=7;那么三角形ADG面积=△ADE+△AGE=4a=40。
7.设A和B都是自然数,并且满足:
+
=
,那么,A+B=。
分析:
把等式的左边通分,比较左右两边的分子,得3A+11B=17。
故B=1,A=2,A+B=3.
年薪40万的面试题
小明和小强都是张老师的学生,张老师的生日是M月N日,2人都不知道张老师的生日是下列10组中的哪一天,张老师把M值告诉了小明,把N值告诉了小强,张老师问他们知道他的生日是哪一天吗?
3月4日、3月5日、3月8日、6月4日、6月7日、9月1日、9月5日、12月1日、12月2日、12月8日;
小明说:
如果我不知道的话,小强肯定也不知道
小强说:
本来我也不知道,但是现在我知道了
小明说:
哦,那我也知道了
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?
答案:
9月1日