（“说明企业】的支忖函数雄$
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C/*i•Pi）—■*?
j—100一K一pi*JO*px>p2
（0forhrrwi^e
（2）假定30i£flJlit个博弈不存在纯战略纳什均衡。
（这令问题可能比较困难•请参阅弗得伯格和泰勒尔（19S1〉，第38-39页，或Tirr>lc（1988）t第215-216页J
张2.3
3.下面的两人陣娈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈•其中P是企业左的价格，4是企业2的价格。
企业1的利润函数是：
m=—（"—口q+c）24-q
企业2的利润函数是：
n2=—（gl+P
求解：
（]）阿个企•业同时决策时的（纯战略）纳什均衡・
（2>企业1先决策时的子博弈梢炼纳什均衡；
（3）企业2先决策时的子博弈梢炼纳什均衡。
是否存在臬些参数價使得毎一个企业都希坐自己先决策？
（2｝企业1先决策。
根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数：
=-•2（q—6）=0
=>（/=6
代入企业1的利润函数■得到：
□=—（卩一如+C+q
■（p—妙+C*十b
齐二=一2（p_ah+C=Q
亠p—ah—c
因此金业】先决策时的子博穽完美纳什均衡仍然焰：
企业】定价P=企业2定价＜/=6.与两个企业同吋定价肘相同。
利润当然也与同时定价时相同。
这实际上足因为本傅穽巾后行为的企业2的选择与先行为的企业】的选择无关。
（3）企业2先决策"根培逆推归纳法，先求企业1的反应丞数：
•3
^77=・2（p—购十c）=0
"P
QP=UQ—c
代入企业2的利润函数得：
二—w—by十p
工一—b），+阿一q
求企业2的反应喙数得：
=—2（9—ft）=05=廿
再把该价格代入企业丨的反应函数•得：
p=ag—I=宁+同一c
■
因此企业2宪决策时子博奔完美纳什均衡是：
企业1定价为P一
壬+劝-（；企业2定价为q=号+久此时两个企业的利润为：
7T1=—（卩_対+"+Q
=—令+岛—c—a—（仍+c+号+5
=号+&
ki=一（＜?
by+p
=—（号+b—町+令+弘—'
（4）因为只旨先决策的利泪大于后决策附利屈肘企业才希卑先抉策，因此当,
务+血一cabc
命业1希里自已先抉策.这个不等式在Q丰0的悄说下总能満足「当
企业2希璽白已宪选择存这个不窃式娄求&因此根据上述
购个不等式•只契mVO*曲个企业都会希望自己先决笫°如果进一歩考虑利润必预非鼠那么几个卷数还必颌膺足右A叭号+血>0、a-f>0和y>0。
共中第四个不等式在。
工。
并
4
」1第三个不等式成宣时必餓成立•前三个不等式蛉令上述a<0,得到两个企业都希里先決漠的叢件是^<0.6>-4和fVM*
张2.4
4•考虑如下的双寡头市场的战略性投资棋空，企业1和企<2||前悄况下的单位生产成本&c=2.企业1可以引进一项新技术使单位生产成本降低到c=l,该项技术需婪的投资为人企业2可以观察到企业］的投资决策。
在企业1作出是否投资的决策之肓，两个企业同时选择产虽（库诺持博弈儿因比•这是个网阶段博弈。
假定需求函数为°S）=14—g,其中P是市场价洛旳是两个企业的总产绘。
问題：
当/取什么值时，企业1将投拆引进新技术？
*f
分企业］第一阶段未引进和引进投贵两种惜况，毎种骨况都月逆推归纳法进行分析。
假设企业1第一阶段未投资引进新技木.，此时两个企业的讷賦成本都是2,利屈函数为：
劝=（14_g-qt）.91_2°帀=（14_0—g?
）•血一2q<求卿个企业利润对各自产杲的嗚导数并令为0,得：
=14—2。
__2N0
=14~2q】_的〜2=0
联立两个反应函数可斛得纳什均衝产良为0=4.衣=4.此时企业1的利润为e=16。
假设企业1第•阶段引逡新技术。
此时企业1的边际成本下琛到丨•阳个企业的利絢曲数为^
心=（14—6—皱）•5~5—/心=（14_①_qJ•幺一2g?
求两个企业利润对各自产吕的偏导数并令为0,得:
鬻M14—2缶一坐_I=0議=】4—2缶一5—2=0
跌立两个反应函数可斛得纳汁均衡产情为如壬号,幺=%企业1的利r可为打；=1器一
现在我们回到第一阶段•很日然只有引进軒技术厉導到总剤润大干未引进新技术的总利润，即討=罟_»口=16」卩当时，企业】才会投酱引迸斯枝术P
张2.9
去在伯川德价格博弈中*假定有武个生产企业■需求函数为P（Q）=a-Q^中P是市场价格、鱼是#个企也的总供给比假足博弈輩复无穷爭次，每次的价格披立即观察到•企业使用**触发战略^Ctriggcrstrategies）.求使垄前价格可以作为梢炼均衡貉果til现的杲低贴现囚子歡解释矗与冲的关系.如I杲观察滞后一个阶段（即t期的侨格在总+1期被观察到）•“作会变得更为困难吗？
断市场，则此时的最优产量是
」ta—c
iargmaxa-nq-cqj，可求得q,此时的利润
2n
为ac，此时若有企业
4n
a~'C二qj
i背叛，其产量就是qJJn1a-c，其收益
24n
为'吐1i（a-c）2。
下面我们来看重复博弈下的古诺博弈。
在这个博弈中，有两个博弈路
4n
径，我们分别进行讨论。
首先，在惩罚路径上，由于每个阶段参与企业选择的都是最优的产量，因此能够获得最
优的收益，因此是均衡的。
其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这要
求：
丄艺匸］爲7行丄雀4,解得6“+亠「
I4n丿1一6I4n丿1一帝1n+1丿i（n十1）
（2）伯川德博弈的阶段均衡是口=c，此时参与者的利润均为0。
若各企业合作，则
此时的最优价格是：
a_ca_c
Pi•argmaxp—ca-Pj，此时Pi，则qj，禾U润
22n
2
为—_C—。
而若有企业i背叛，则其选择价格pj二-一0，其产量为Q,利
4n2
在这个博弈中，也有两个博弈路径,
润为三兰。
下面我们来看重复博弈下的伯川德博弈,
4
我们分别讨论如下：
首先在惩罚路径上，由于每个阶段的企业选择都是眼前最优，因此，它能够实现均衡。
其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这就
要求:
2
a-c1
4n1一'
2
亘J0，求得一口
重的多，因此其对于耐心的要求也就要相对较小。
张3.4
几两个企业同时决定是否进入一个市场亠企业」的进入成本UEOm）足私人估息•来白独立的分布函数PW"密度函敢/»（-〉严格大尸冬人如果泉有一个企业逬入•逬入金业i的利润函数为ir—力如果靖亍企业都进入•企业：
的利润函数为『一0门如果没有企业进入，利河为遢。
假宦"和"是共同知识■且n->LIJ>0o问题：
（1）指出这个博奔与3.2节第二部分的相冋之处和不同之处¥
（2）计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的©
类似的题：
两个厂商同时决定退否进入某个市场。
两个厂商的进入成本为口6[0,+8]是各自的鄆人信息，另一个厂裔只知道©的分布西散为卩[心打只有一个厂裔i进入时收益为H—仿，两个L商祁进入时收盖各为L—s都不进入收益和为傀Zi>A>Oc求谟博弈的贝叶新朝什均衡。
J-—Cl.1—H—c’O
0.H-er
X0
厂商2
进人用进入
根据问匡的假设，该博弈的很益矩阵如下,
厂进入
1不进入
假设厂商1采£如下的濡齐侑渣略：
当“冬⑷时、采用3进入”第略；当G时，采用■*不进入"菟略U假设厂商2采用如下
的临界•賁第璃；当Cz『时，采用“不逍入"策略.因此厂商1采用道入策略隱槪率是"他人不进人的嘅率是1一Pg）汀裔2采用进入策略的橇率是巩不进入的概率是i-P（O.
从厂两1的角贋来看.选择进入和不迸入的北望得益分别为:
P（0X（L-C）+[1-P（r）lX（H-q）-P（“（L-H）+H-g
PCOX04-[1-P（/）JX0二0
当进入的期盟得益大于不进人的期望得益时厂商1会采用进入q
所以厂商1的进入条件是：
Pit}（LH）+H—cjAO
这样就得到了厂商I进入的临界值卩（门口.一月〉+
从厂苞2的角度来看•选搔进入和不进入的期望得益分別为:
P（w）X（L—r：
）+[1—P（w）]X（H—P（w）XO-H[l-P（w）lXD=0
当迸入的期望得益火于不送入的期望得益时厂商I才会采用进入。
所以厂前2的进入条件是：
尸（呦（1—H）+H—巾
或
q这样就得型了厂鹿2进入的临界值f=P（吃）（丄一H）+H
亭已知分布頃数为FW）的情况下，可从联立方稈绢
jw=P（r）（L—H}+HI?
—尸d（L—H】+H
解得『和池5以这两入临界價均造的临界倩策略，就是该博弈能氐叶斯刎什均働*就时厂询1选援讲入的楼率为尸（址）・厂商？
选择进入的槪率为欽门“
张3.8
&一牛垄断企业生产--种产品供应两类消费A「金业的单位咸本为"消费者的效用函数为-T（q；,其中用代表消费者的需求强度呵代左消费駐・fg＞代表支付的费用（坠#的函数儿假定卩（小足严恪递期的pq函数，第-樂消费者的尙求强度为0=g第：
类消费者的需求强庚为0=仏須＞5假定需求强度"足消费岩的私人信息。
企业酋问题是决定伽“1}和TS}•即間毎类消费者的供应馳。
和收取的费用7'3人凶为企.业不知進谄费X的类型■当它这样做的时候*企业面临网种约束，第-种约束足每类谄费柠都购买•即ovsrs第「二类约束是每一类消费若都会选择设计给自己的合同•即OVa“w0V5八一T事心八暇定总人口中岔类率消费者的比例为儿沃类型消费者的比例为1―丄。
证明=企业的利海就大化行为倉味看•在禺衡吋，
娠释这两个条件。
张4.2
2.图1绘-个信号传递博允：
自然首先选择参与人1的类型，参与人1知道白然的选抒，参与人2不知道，只知道参与人I屈于类塑“和类型如的可能件相等'参与人1然后选样仁号工或尺；参与人ZEkffi选择行动U或厂•博弈结束.支付向母如终点鉛所示。
给出这个溥苏的所有纯战略分离均衔和混同均衡e
表示方法
第一个括号.逗号左边为tvpe1发送者倍号・逗号右边为type1发送者信号：
第二个括号.逗号左边为坯收到L信号的反应・逗号右边为接收到R信号的反应;
P为信号接收者对type1发送L的推断・q为信号接收者对type1发送R的推断
（a）
l（R.R）.（"•"）•p>1/2]
[（«•尺）•（〃•"）•/?
v1/2]
[（ER）.（ad+（1-a）u.u）.p=1/2]
[（L.R）,（u.d\p=Lg=0]
（b）
[（£,L\（w,m）,p=1/2,gv2/3]
[（Z,©,（d,M）,p=l,q=0]
=O.q=1]
中文版习题4.5答案
（a）
[（R.R\（tl^Yp>1/3.（/=1/2]
（b）
[（厶L・L）g』）、Pi=p2=1/3.0+q2<1/2]
[（L.L.R）.（ii,d）.p1=p2=1/2.0+q2=0]
张4.5
氐参与人1有两个變型皿一遏（槪率为0,2）和仇=弱（概率为0.IX参与人2有一种类型'恃强欺弱◎参与人L知谢门己的类型，参与人2只先I逍参与人1类吃的分布慚数#参与人1的行动足选择早餐时是苦吃辣椒*参与人2观家到参与人1的卑竇内容•然后判断参与人1的特征，选择是否袭击他。
如果菴耳人1是蟲若•对应不同行动组合的支付矩阵如表卄如参与人1是弱抒•对应不同行动纟II合的支付距阵如麦4A.3（b）u注意，这氏个表中参与人2选择的是行动•从表屮吋戊春出-如果信息是完全的■当参与人1是强者时，椿炼纳什均衡结果是（吃辣椒，不袭击）；当参与人1是前希时”梢炼纳什均衡结果是（不吃辣椒，袭击儿牙外畀破类参与人I都不嫌意遭受参与人2的裝缶。
给山这孑博背的扩展贰表述（博弈树一找出所有的分离均衡和混同均衡'特别地戶证明〔不吃殊椒.不袭击"=61…jkl/2）是一个混同楕炼博那树均
衡■这个混同均衡满足楙副除片战略标用儿但不満足“启观标准咒这里…是給足参与人I不吃萍擁的情况下「参与人2认为参与人1展于弱右的槪率"是给建参与人1吃辣椒的情况卜•参与人2认为參与人］属I弱者的槪率儿
表4A舉与人1是强者时
类似的题:
•-童豔博畀（Cho&Kre|»（1987））oCho&Kreps以4酒一蛊糕博弈
的例子.来解邸直观标准。
左这个博弈里，参与人1基-个善于打架的强肯的悵率为09是~个不普于打架的弱者的慨率为0.1。
但畀.即使层与人I认为自己能够打・・他也不組和别人打架。
如果參与人I是弱者.余与人2戏惣和他打架。
療与人2不知ifi券与人i的类型,但是他超够观曲与人I的早餐吃什么。
参与人2知道场者喜欢以董離作为早■・而张君则以麟落作为甲餐。
参与人的支付^ffi6.4所示。
圏6.4画出了这个博畀的扩展式。
在■奔材的中央.自然首先选择参耳人I昱强希还处斓肯。
然话參与人T选林足以啤迥还劇蛍帙件为早ill*場与人2的决第节在一个宿息舉，我们就用虐线将这基节点联系起来。
接洁，掛与人2选择打架还足不打架，两个隽与人碍捌支付。
瓯..4■需一■•博捽
这个傅郵有购个完黄贝叶斯均街，且两个均侯都是混同均衡・在第一个均街區，无絵步匀人〔是什么类型.他祁选择4酒作为卑餐.參与人2选择不打架。
球个均倉可以由下面的非均循路轻上的信念支捋，如杲參与人1早餐吃量糕，那么他屋弱靑的恆率大于0.3。
这财，如果秦与人2现乗细無与人1早・吃債糕，那么他就会选择打架。
在第二个均衡里，无论倉与人I杀什么类型・他祁迭择聂枉作为早餐，鑫与人2逢择不扌J架，这个均窗町以由下面的非均箕路艮上的倍念支特.如果参与人I早餐电碎稱，那么他是珂者的帳班大子0.5。
这时.如果参与人2与人I早養喝啤漕，那么他
就会选择仃架V
泊极椎测和R观标准娜拝除了第二个均術.・根粧直观标畔怕逻询・参与人1可以倔期均张筮略而无须担心辛与人会和他打架=&与人】的理*toT：
仙果我以筑酒作为早■、那么诂应该:
吿诉你我是-个强者。
只有当我昆一个孫考时.早・曜•啤酒才会给我帯来好处。
如杲我星个弱胃的话，我就决不突以慈洒作为早餐。
但是，如果我星強盲、且这个倍息是可置侶的，那么我均从早•遍腫洎中得卷。
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