数学软件实验报告实验三.docx
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数学软件实验报告实验三
数学软件实验报告
学院名称：
理学院专业年级：
姓名：
学号：
课程：
数学软件实验报告日期：
2014年11月8日
实验三MATLAB的符号矩阵运算与符号微积分
一．实验目的
MATLAB不仅具有数值运算功能，还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包SymbolicMathToolbox。
本次实验的目的对所学的符号矩阵的创建与修改、各种符号运算进行巩固，学会使用数学软件来求极限、微分、积分，解方程和解微分方程等。
二．实验要求
理解符号变量、符号表达式、符号矩阵等概念，掌握符号矩阵和符号表达式的创建，了解符号运算与数值运算的不同点，会修改已有的符号矩阵，并会符号矩阵与数值矩阵的相互转换，掌握符号矩阵矩阵的运算。
熟练掌握符号求极限、符号求微分（导数）、符号求积分（不定积分和定积分），掌握符号代数方程（组）求解、符号微分方程（组）求解，了解符号积分变换。
三．实验内容
实验四
第三节矩阵特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量
>>A=[142;0-34;043];
>>[v,d]=eig（A）
v=
1.00000.4082-0.6667
0-0.8165-0.3333
00.4082-0.6667
d=
100
0-50
005
>>B=[-9-3-16;13716;3310];
>>c=eig（B）
c=
-6.0000
10.0000
4.0000
>>[v1,d1]=eig（A,B）
v1=
0.84690.8279+0.1721i0.8279-0.1721i
-1.00000.1751-0.0982i0.1751+0.0982i
-0.1798-0.2898+0.0785i-0.2898-0.0785i
d1=
2.011400
0-0.1724+0.1486i0
00-0.1724-0.1486i
矩阵的对角化
>>D=[122;212;221];
trigle（D）
ans=
1
>>[1,k]=eig（D）
?
?
?
Error:
AnarrayformultipleLHSassignmentcannotcontainnumericvalue.
>>inv
（1）*D*1
ans=
122
212
221
>>F=[011-1;10-11;1-101;-1110];
>>[Fd,Fv]=eig（F）
Fd=
-0.50000.28870.78870.2113
0.5000-0.28870.21130.7887
0.5000-0.28870.5774-0.5774
-0.5000-0.866000
Fv=
-3.0000000
01.000000
001.00000
0001.0000
>>Fd'*Fd
ans=
1.00000.000000
0.00001.0000-0.00000.0000
0-0.00001.00000
00.000001.0000
>>Fd'*F*Fd
ans=
-3.0000000
-0.00001.000000
0-0.00001.00000.0000
00.00000.00001.0000
矩阵相似与Jordan标准形
第3章符合运算功能
1、符号表达式的生产
（1）创建符号函数
>>f='lpg（x）'
f=
lpg（x）
（2）创建符号方程
>>eqation='a*x^2+b*x+c=0'
eqation=
a*x^2+b*x+c=0
（3）创建符号微分方程
>>diffeq='Dy-y=x'
diffeq=
Dy-y=x
>>f=sym（'sin（x）'）
f=
sin（x）
>>f=sym（'sin（x）^2=0'）
f=
2
sin（x）=0
>>symsx
>>f=sin（x）+cos（x）
f=
sin（x）+cos（x）
2、符号和数值之间的转换
（1）.digits函数、vpa函数、subs函数的常用调用格式
>>s=solve（'3*x^2-exp（x）=0'）
s=
[1/2]
[-2lambertw（-1/63）]
[]
[1/2]
[-2lambertw（-1,-1/63）]
[]
[1/2]
[-2lambertw（1/63）]
>>vpa（s）
ans=
[0.9100075730]
[]
[3.733079028]
[]
[-0.4589622676]
>>vpa（s,6）
ans=
[0.910012]
[]
[3.73306]
[]
[-0.458964]
>>x=sym（'x'）
x=
x
>>f=x-cos（x）
f=
x-cos（x）
>>f1=subs（f,'pi',x）
f1=
x-cos（x）>>digits（25）
>>vpa（f1）
ans=
x-1.cos（x）
3、符号函数的运算
（1）.复合函数运算：
功能函数compose
>>symsxyztu
>>f=1/（1+x^2）
f=
1
------
2
x+1
>>g=sin（y）
g=
sin（y）
>>h=x^t
h=
t
x
>>p=exp（-y/u）
p=
exp（-y/u）
>>compose（f,g）
ans=
1
-----------
2
sin（y）+1
>>compose（f,g,t）
ans=
1
-----------
2
sin（t）+1
>>compose（h,g,x,z）
ans=
t
sin（z）
>>compose（h,g,t,z）
ans=
sin（z）
x
>>compose（h,p,x,y,z）
ans=
t
exp（-z/u）
>>compose（h,p,t,u,z）
ans=
exp（-y/z）
x
（2）.反函数运算：
由函数finverse实现
>>symssy
>>symsxy
>>f=x^2+y
f=
2
x+y
>>finverse（f,y）
ans=
2
-x+y
>>finverse（f）
Warning,finverse（x^2+y）isnotunique
ans=
1/2
（-y+x）
4、符号矩阵的创立
（1）.使用sym函数直接创建符号函数
>>a=sym（'[1/s+x,sin（x）cos（x）^2/（b+x）;9,exp（x^2+y^2）,log（tanh（y））]'）
Evaluating:
Matrix（[,<9|map[evalhf]（exp,（（x^2）+~（y^2）））|map[evalhf]（ln,map[evalhf]（tanh,y））>],scan=columns）;
Warning:
deprecatedsyntaxusedinsymconstructor
>Insym.symat163
a=
[2]
[cos（x）]
[1/s+xsin（x）-------]
[b+x]
[]
[2]
[22y-1]
[9exp（x）+exp（y）------]
[2]
[y+1]
（2）.用创建子阵的方法创建符号矩阵
>>'exp（-i）,3,x^3+y^9'
ans=
exp（-i）,3,x^3+y^9
>>b=[a;'[exp（-i）,3,x^3+y^9]']
b=
[2]
[cos（x）]
[1/s+x,sin（x）,-------]
[b+x]
[2]
[22y-1]
[9,exp（x）+exp（y）,------]
[2]
[y+1]
[9393
[[exp（-i）,3,y+x],[exp（-i）,3,y+x],
93]
[exp（-i）,3,y+x]]
（3）.将数值矩阵转化为符号矩阵
>>a=[2/3,sqrt
（2）,0.222;1/4,1/0.23,log（3）]
a=
0.66671.41420.2220
0.25004.34781.0986
>>b=sym（a）
b=
[0.666666666666666630,1.41421356237309515,0.222000000000000003]
[0.250000000000000000,4.34782608695652151,1.09861228866810956]
（4）.符号矩阵的索引和修改
>>b（2,3）
ans=
1.09861228866810956
>>b（2,3）='99'
b=
[0.666666666666666630,1.41421356237309515,0.222000000000000003]
[0.250000000000000000,4.34782608695652151,99.]
5、符号矩阵的运算
（1）基本运算
a、符号矩阵的四则运算
加减法
>>a=sym（'[1/x,1/（x+1）;1/（x+2）,1/（x+3）]'）
a=
[1]
[1/x-----]
[x+1]
[]
[11]
[----------]
[x+2x+3]
>>b=sym（'[x,1;x+2,0]'）
b=
[x1]
[]
[x+20]
>>b-a
ans=
[1]
[x-1/x1------]
[x+1]
[]
[11]
[x+2------------]
[x+2x+3]
乘除法
>>b\a
ans=
[11]
[-----------------------]
[2（x+2）（x+3）]
[（x+2）]
[]
[x+12x+3]
[4----------2-----------------------]
[2（x+3）（x+1）（x+2）]
[（x+2）x]
>>a\b
ans=
[22]
[-（2x+7x+6）x1/2（x+3x+2）x]
[]
[2]
[2（x+1）（x+3）-1/2（x+3）x（x+1）]
矩阵的转置
>>a'
ans=
[11]
[------------------]
[conj（x）2+conj（x）]
[]
[11]
[----------------------]
[1+conj（x）3+conj（x）]
符号矩阵行列式的运算
>>det（a）
ans=
2
-------------------------
（x+3）（x+1）（x+2）x
矩阵的逆
>>inv（b）
ans=
[1]
[0-----]
[x+2]
[]
[x]
[1------]
[x+2]
符号矩阵的秩
>>rank（a）
ans=
2
符号矩阵的幂运算
>>a^2
ans=
[1111]
[----+------------------------+---------------]
[2（x+1）（x+2）x（x+1）（x+1）（x+3）]
[x]
[]
[1111]
[---------+------------------------------+--------]
[（x+2）x（x+2）（x+3）（x+1）（x+2）2]
[（x+3）]
符号矩阵的指数运算
>>exp（b）
ans=
[exp（x）exp
（1）]
[]
[exp（x+2）1]
（2）矩阵分解
>>[x,y]=eig（b）
x=
[11]
[-------------------------------,-------------------------------]
[21/221/2]
[-1/2x+1/2（x+4x+8）-1/2x-1/2（x+4x+8）]
[1,1]
y=
[21/2]
[1/2x+1/2（x+4x+8）0]
[]
[21/2]
[01/2x-1/2（x+4x+8）]
>>symstreal
>>A=[01;-10]
A=
01
-10
>>E=expm（t*A）
E=
[cos（t）sin（t）]
[]
[-sin（t）cos（t）]
>>sigma=svd（E）
sigma=
[221/2]
[（cos（t）+sin（t））]
[]
[221/2]
[（cos（t）+sin（t））]
>>simplify（sigma）
ans=
[221/2]
[（cos（t）+sin（t））]
[]
[221/2]
[（cos（t）+sin（t））]
>>a=sym（'[112;013;002]'）
a=
[112]
[]
[013]
[]
[002]
>>[x,y]=jordan（a）
x=
[5-5-5]
[]
[30-5]
[]
[100]
y=
[200]
[]
[011]
[]
[001]
>>z=sym（'[x*yx^asin（y）;t^alog（y）b;yexp（t）x]'）
Evaluating:
Matrix（[,,],scan=columns）;
Warning:
deprecatedsyntaxusedinsymconstructor
>Insym.symat163
z=
[a]
[x.yxsin（y）]
[]
[a]
[tlog（y）b]
[]
[yexp（t）x]
>>triu（z）
ans=
[a]
[x.yxsin（y）]
[]
[0log（y）b]
[]
[00x]
>>diag（z）
ans=
[x.y]
[]
[log（y）]
[]
[x]
>>tril（t,-1）
ans=
0
>>colspace（a）
ans=
[100]
[]
[010]
[]
[001]
>>a[123
?
?
?
a[123
|
Error:
Unbalancedorunexpectedparenthesisorbracket.
>>a=[123
123
123]
a=
123
123
123
>>null（a）
ans=
0.96360
-0.1482-0.8321
-0.22240.5547
>>null（a,'r'）
ans=
-2-3
10
01
>>symx
ans=
x
>>symsx
>>factor（x^9-1）
ans=
263
（x-1）（x+x+1）（x+x+1）
>>factor（sym（'12345678901234567890'））
ans=
1,2,3,3,5,101,3803,3607,3541,27961
>>symsxy
>>expand（（x+1）^3）
ans=
32
x+3x+3x+1
>>expand（sin（x+y））
ans=
sin（x）cos（y）+cos（x）sin（y）
>>symsxy
>>collect（x^2*y+y*x-x^2-2+x）
ans=
2
-2+（y-1）x+（y+1）x
符号矩阵的简化
>>symsx
>>simplify（sin（x）^2+cos（x）^2）
ans=
22
sin（x）+cos（x）
>>symscalphabeta
>>simplify（exp（c*log（sqrt（alpha+beta））））
ans=
exp（1/2log（alpha+beta）c）
>>[n,d]=numden（x/y+y/x）
n=
22
x+y
d=
xy
>>horner（x^3-6*x^2+11*x-6）
ans=
-6+（11+（-6+x）x）x
>>symsxy
>>expand（（x+1）^3）
ans=
32
x+3x+3x+1
>>expand（sin（x+y））
ans=
sin（x）cos（y）+cos（x）sin（y）
6、符号微积分
符号极限
>>symsxath
>>limit（sin（x）/x）
ans=
1
>>limit（（1+2*t/x）^（3*x）,x,inf）
ans=
exp（6t）
>>limit（1/x,x,0,'right'）
ans=
infinity
符号积分
>>symsxx1alphaut;
>>A=[cos（x*t）,sin（x*t）;-sin（x*t）,cos（x*t）]
A=
[cos（tx）sin（tx）]
[]
[-sin（tx）cos（tx）]
>>int（A,t）
ans=
[sin（tx）cos（tx）]
[-----------------]
[xx]
[]
[cos（tx）sin（tx）]
[----------------]
[xx]
>>int（x1*log（1+x1）,0,1）
ans=
1/4
>>symska
>>simple（symsum（k））
ans=
2
1/2k-1/2k
>>simple（symsum（k^2,0,n））
ans=
642246422422
1/3x+xy+xy+1/3y+1/2x+xy+1/2y+1/6x+1/6y
>>symsum（k^2,0,10）
ans=
385
符号微分和差分
>>x=sym（'x'）
x=
x
>>t=sym（'t'）
t=
t
>>diff（sin（x^2））
ans=
2
2cos（x）x
>>diff（t^6,6）
ans=
720
>>x=sym（['x']）;
>>y=sym（['y']）;
>>z=sym（['z']）;
>>jacobian（[x^2+y^2;x^2-y^2],[xy]）
ans=
[2x2y]
[]
[2x-2y]
7、符号代数方程求解
线性方程组的符号解法
>>[x,y,z]=solve（'10*x-y=9','-x+10*y-2*z=7','-x+10*y-2*z=7','-2*y+10*z=6'）
Warning,solving4equationsfor3variables
x=
[473]
[---]
[475]
y=
[91]
[--]
[95]
z=
[376]
[---]
[475]
>>vpa（[x,y,z]）
ans=
[0.9957894737,0.9578947368,0.7915789474]
非线性方程组符号解法
>>x0=[0.50.5];
>>fsolve（'fc',x0）
ans=
0.52650.5079
8、符号微分方程求解
>>dsolve（'Dx=-a*x'）
ans=
_C1exp（-at）
>>y=dsolve（'Dy=1/sqrt（y）','y（0）=1'）
y=
2/3
1/4（12t+8）
四、实验总结
在这次试验中，我做了矩阵的特征值与特征向量的内容。
在做矩阵相似于Jordon标准形的时候，出现了一些错误，到最后还是没有把它做出来。
之后做了第3章,符合运算功
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