二次函数与面积线段问题.docx

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二次函数与面积线段问题

二次函数代几综合之线段、面积问题

（二中训练题3）如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB=

，反比例函数y=

的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D。

（1）求反比例函数解析式；

（2）设直线OA的解式为

=nx，请直接写出

＜

时，自变量x的取值范围；

（3）如图2，若函数y=3x与

=

的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值。

知识点一：

二次函数代几综合之面积问题

【知识梳理】

1、铅垂法求面积

图1：

S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝

×CD；图2：

S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝

×BD

2、平行线法求面积

S△ABC＝S△BDA（过C点作AB的平行线CD，则两三角形同底等高）

【例题精讲】

1、已知抛物线y＝

x2＋2mx－4m－2（m≥0）与x轴交于A、B两点，A点在B点的左边，与y轴交于点C．

⑴求点B的坐标；

⑵抛物线上有两点M（－1，0）、N（4，b），若△AMN的面积为17.5，求抛物线的解析式；

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。

（1）若A（－4,0），B（2，0），求抛物线的解析式;

（2）在

（1）的条件下，点P从点C出发，在线段CA上以每秒

个单位长度的速度向A运动，同时点Q从点B出发，在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒时使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

【试一试】

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3），B（－1，0），D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PEF的面积最大？

2、如图1，抛物线y＝ax2＋（2－a）x＋2－2a（a＞0）经过x轴负半轴上的定点A。

（1）如图1，求A点坐标

（2）如图2，抛物线恒过第一象限内的定点P，过P点的直线l与抛物线有且仅有一个公共点（l不平行于y轴），l交y轴于点M，连接MA、PA．若△APM的面积为

，求a的值

知识点二：

二次函数与线段问题

【知识梳理】

结合抛物线于直线方程联立，实现函数与方程的转化，结合韦达定理、相似三角形解决相关的线段问题

【例题精讲】

1、在平面直角坐标系中，抛物线顶点为P（2，0），且经过点A（0，m）（m>0）。

如图，当m=2时

①求抛物线的解析式；②若平行于AP的直线l与抛物线交于E、F两点（E在F左侧），且满足EF=

，求直线l的解析式；

2、抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3）。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是

，求点D的坐标。

3、已知抛物线C：

y＝ax2－2ax＋c经过点C（1，2），与x轴交于A（－1，0）、B两点。

（1）求抛物线C的解析式；

（2）如图1，直线

交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME＋MF的最大值。

4、抛物线y＝x2－2mx－3m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M

（1）当m＝1时，求点A、B、M坐标

（3）如图，若一次函数y＝kx＋b过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，MG∥x轴，FG⊥MG．若

，求

的值

5、已知抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

（1）如图1，当△ABD为等边三角形时，求k的值；

（2）点E为x轴下方抛物线

上一动点，如图2，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求

的值。

【试一试】

1、如图，已知二次函数y=x2－2mx+m2+

的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）当m=－2时，求四边形ADBC的面积S

（2）如图，将

（1）中抛物线沿直线

向斜上方向平移

个单位时，点E为线段OA上一动点，EF⊥x轴交新抛物线于点F，延长FE至G，且OE·AE=FE·GE，若△EAG的外角平分线交点Q在新抛物线上，求Q点坐标.

2、如图，直线AB：

y＝kx＋b交抛物线

于点A、B（A在B点左侧），过点B的直线BD与抛物线只有唯一公共点，且与y轴负半轴交于点D

（1）若k＝

，b＝2，求点A、B两点坐标

（2）AB交y轴于点C，若BC＝CD，OC＝CE，点E在y轴正半轴上，EF∥x轴，交抛物线于点F，求EF的长

（3）在

（1）的条件下，P为射线BD上一动点，PN∥y轴交抛物线于点N，交直线于点Q，PM∥AN交直线于点M，求MQ的长

3、抛物线

与x轴有两个不同的交点A、B，点A在B的左边，其中点B为定点，交y轴于点C，其顶点为D。

（1）直接写出点A、B的坐标A________，B________，顶点D的坐标为________________（用

表示），

的范围是_______________；

（2）若

，点P是y轴负半轴上的点，过P作平行于AC的直线交抛物线于点M、N，（点M在N的左边），求PM－PN的值；

（3）若直线DC交x轴于点E，OE=4OA，求

的值。

1、已知抛物线y＝x2的图象如图1，A（0，a）（a＞0），直线l：

，点B为抛物线上的任意一点且恒满足点B到点A的距离与点B到l的距离相等。

（1）求a的值；

（2）若直线l1：

y＝kx＋

交抛物线于C、D两点，过点C作CE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F，点G为EF的中点。

若点G到直线l1的距离为

，求k的值。

2、已知抛物线y=x2－2mx+m2+m－3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，其顶点为D.

（1）当抛物线与x轴有两个不同交点时，求m的取值范围；

（2）当m=2时，如图2，M、N为抛物线x轴上方两动点，满足AM⊥AN，连BM、BN，求△BMN面积的最小值.

1、已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0且a、b、c为常数）的对称轴为直线

，与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C（0，

），且过点（3，－5），D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如图，把

（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE＝PQ？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2、如图，已知抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OA＝2OC。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上一动点，PM⊥x轴于M点，求

的值。