届高三数学二模试题.docx

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届高三数学二模试题

2019届高三数学二模试题

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习

（二）

2019.5

数学（理科）

本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则

（A）（B）（）（D）

（2）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为

（A），（B），

（），（D），

（3）已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为

（A）（B）

（）（D）

（4）鲁班锁起于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春

秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁

及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：

），

则此构件的体积为

（A）（B）（）（D）

（5）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为

（A）84（B）42（）（D）

（7）已知正方体的棱长为，是底面上的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于

（A）（B）（）（D）

（8）在交通工程学中，常作如下定义：

交通流量（辆/小时）：

单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；

车流速度（千米/小时）：

单位时间内车流平均行驶的距离；

车流密度（辆/千米）：

单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.

一般的，和满足一个线性关系：

（其中是正数），则以下说法正确的是

（A）随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大

（B）随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大

（）随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大

（D）随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知复数在复平面内对应的点为，则关于虚轴对称的点位于第象限.

（10）已知，，若，，则满足条件的可以为_____.

（11）椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_______,的离心率为__．

（12）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=.

（13）设关于的不等式组表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则的取值范围是.

（14）已知函数，，对于任意实数，当时，记的最大值为.

①若，则；

②若则的取值范围是.

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

如图，在四边形中，

（Ⅰ）求的正弦值；

（Ⅱ）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.

（16）（本小题13分）

某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：

30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

元件A个数91512181218992412

日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日

元件A个数12241515151215151524

从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.

（Ⅰ）求的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若，且，求最大值；

（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？

（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若，求二面角余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点使得？

若存在，求的长；

若不存在，说明理由．

（18）（本小题13分）

已知点到抛物线准线的距离为2.

（Ⅰ）求的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值.

（19）（本小题14分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

（20）（本小题13分）

若行列的数表满足：

，，，记这样的一个数表为.对于记集合表示集合中元素的个数.

（Ⅰ）已知写出的值；

（Ⅱ）是否存在数表满足若存在，求出，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对于数表，求证：

.[]

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习

（二）

2019.5

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A

（2）D（3）（4）

（5）（6）B（7）A（8）D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）四（10）（答案不唯一）

（11）（12）

（13）（14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）在△中，设，

由余弦定理得，

整理得，解得.

所以

由正弦定理得，解得............................6分[]

（Ⅱ）由已知得，

所以，

化简得

所以

于是

因为，且为锐角，

所以.

因此...............13分

（16）（共13分）

解：

（Ⅰ）由题意可知，X的所有可能取值为，

且；；；

；.

所以的分布列为：

X912151824

P

故的数学期望.............................5分

（Ⅱ）当取到最大值时，

的只可能为：

或或

经计算，，，

所以的最大值为.............................10分

（Ⅲ）至少增加2人............................13分

（17）（共14分）

解：

（Ⅰ）在四边形中，∥．

因为平面，平面，

所以∥平面．

因为平面，且平面平面，

所以∥．............................4分

（Ⅱ）如图，取的中点，连接，.在等腰△中，

因为平面平面，交线为，

又，所以平面.

所以

由题意易得

如图建立空间直角坐标系，

则，，，

，．[

因为，所以.

设平面的法向量为

则即

令，则．

于是．

又平面的法向量为，

所以．

由题知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.............................9分

（Ⅲ）不存在满足条件的点，使，理由如下：

若，则．

因为点为线段上的动点，设，．

则，

解得．

所以，．[]

所以．

整理得，此方程无实根．

所以线段上不存在点，使.............................14分

（18）（共13分）

解：

（Ⅰ）由已知得，所以

所以抛物线的方程为，焦点的坐标为............................4分

（II）设点,，由已知得，

由题意直线斜率存在且不为0.

设直线的方程为.

由得，

则.

因为点在抛物线上，所以，，

，

因为轴，

所以[

.

所以的值为2.............................13分

（19）（共14分）

解：

（Ⅰ）因为，

所以，，，

所以曲线在点处的切线方程为............................5分

（Ⅱ）因为，所以，，

当时，恒成立，恒成立，

所以不等式在区间上恒成立.

当时，设，

，

若，，，

所以在区间上恒成立；

若，，，，

所以在区间上恒成立；

所以在区间上单调递增，

所以当时，不等式在区间上恒成立；

当时，令，

，在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增，，，

所以存在，使得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，取得极小值；

而，所以，所以不等式在区间上不能恒成立，

所以不等式在区间上恒成立时实数的取值范围是..............14分

（20）（共13分）

解：

（Ⅰ）.............................3分

（Ⅱ）不存在数表，使得.理由如下：

假设存在，使得.不妨设，

的可能值为.

当时，经验证这样的不存在.

当时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，

不妨设，所以有，

这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，

这样的只能为或，

这两种情况都与矛盾...............8分

（Ⅲ）在数表中，将换成，这将形成，

由于，可得

从而.

当时，由于，

所以任两行相同位置的1的个数.

又由于，而从1到的整数个数，从而

..............13分