届高三数学二模试题.docx

1、届高三数学二模试题 2019届高三数学二模试题 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二） 2019.5 数学（理科） 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，则 (A)(B)()(D) （2）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为 （A），（B）， （），（D）， （3）已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为 (A)(B) ()(D

2、) （4）鲁班锁起于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁 及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：）， 则此构件的体积为 （A）（B）（）（D） （5）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 ()充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 （6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为 (A)84(B)42()(D) （7）已知正方体的棱长为，是底面上的动点，则满足条件的点构成的图形的面积等于 (

3、A)(B)()(D) （8）在交通工程学中，常作如下定义： 交通流量（辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离； 车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，和满足一个线性关系：（其中是正数），则以下说法正确的是 (A)随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B)随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大 ()随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D)随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知复数在复平面内对应的

4、点为，则关于虚轴对称的点位于第象限. （10）已知，若，则满足条件的可以为_. （11）椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_,的离心率为_ （12）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=. （13）设关于的不等式组表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则的取值范围是. （14）已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为. 若，则； 若则的取值范围是. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 如图，在四边形中， （）求的正弦值； （）若，且的面积是面积的4倍，求的长. （1

5、6）（本小题13分） 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表： 日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日 元件A个数91512181218992412 日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日 元件A个数12241515151215151524 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数

6、. （）求的分布列与数学期望； （）若，且，求最大值； （）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） （17）（本小题14分） 如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，平面与平面交于 （）求证：； （）若，求二面角余弦值； （）在线段上是否存在点使得？若存在，求的长； 若不存在，说明理由 （18）（本小题13分） 已知点到抛物线准线的距离为2. （）求的方程及焦点F的坐标； （）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值. （19）（本小题14分） 已知函数 （

7、）求曲线在点处的切线方程； （）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围 （20）（本小题13分） 若行列的数表满足：，记这样的一个数表为.对于记集合表示集合中元素的个数. （）已知写出的值； （）是否存在数表满足若存在，求出，若不存在，说明理由； （）对于数表，求证：. 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二） 2019.5 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）A（2）D（3）（4） （5）（6）B（7）A（8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）四（10）（答案不唯一） （11）（12） （13）（1

8、4） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）在中，设， 由余弦定理得， 整理得，解得. 所以 由正弦定理得，解得.6分 （）由已知得， 所以， 化简得 所以 于是 因为，且为锐角， 所以. 因此.13分 （16）（共13分） 解：（）由题意可知，X的所有可能取值为， 且； ；. 所以的分布列为： X912151824 P 故的数学期望.5分 （）当取到最大值时， 的只可能为：或或 经计算， 所以的最大值为.10分 （）至少增加2人.13分 （17）（共14分） 解：（）在四边形中， 因为平面，平面， 所以平面 因为平面，且平面平面， 所以.4分 （）如图，取的中点，连

9、接，.在等腰中， 因为平面平面，交线为， 又，所以平面. 所以 由题意易得 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以. 设平面的法向量为 则即 令，则 于是 又平面的法向量为， 所以 由题知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为.9分 （）不存在满足条件的点，使，理由如下： 若，则 因为点为线段上的动点，设， 则， 解得 所以， 所以 整理得，此方程无实根 所以线段上不存在点，使.14分 （18）（共13分） 解：（）由已知得，所以 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为.4分 （II）设点,，由已知得， 由题意直线斜率存在且不为0. 设直线的方程为. 由得， 则. 因为点在抛物线上，所以， ，

10、 因为轴， 所以 . 所以的值为2.13分 （19）（共14分） 解：（）因为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为.5分 （）因为，所以， 当时，恒成立，恒成立， 所以不等式在区间上恒成立. 当时，设， ， 若， 所以在区间上恒成立； 若， 所以在区间上恒成立； 所以在区间上单调递增， 所以当时，不等式在区间上恒成立； 当时，令， ，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以存在，使得. 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，取得极小值； 而，所以，所以不等式在区间上不能恒成立， 所以不等式在区间上恒成立时实数的取值范围是.14分 （20）（共13分） 解：（）.3分 （）不存在数表，使得.理由如下： 假设存在，使得.不妨设， 的可能值为. 当时，经验证这样的不存在. 当时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同， 不妨设，所以有， 这也说明此方程组至少有两个方程的解相同， 这样的只能为或， 这两种情况都与矛盾.8分 （）在数表中，将换成，这将形成， 由于，可得 从而. 当时，由于， 所以任两行相同位置的1的个数. 又由于，而从1到的整数个数，从而 .13分