高中数学必修三知识点大全.docx
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高中数学必修三知识点大全
知识点串讲
必修三
第一章：
算法
1.1.1算法的概念
1、算法（algorithm）一词源于算术（algorism），即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
2、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
解析：
根据质数的定义判断
解：
算法如下：
第一步：
判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：
依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
3、一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
解：
算法或步骤如下：
S1人带两只狼过河；
S2人自己返回；
S3人带一只羚羊过河；
S4人带两只狼返回；
S5人带两只羚羊过河；
S6人自己返回；
S7人带两只狼过河；
S8人自己返回；
S9人带一只狼过河．
1．1．2程序框图
1、基本概念：
（1）起止框图：
起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框：
表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。
（3）处理框：
它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。
（4）判断框：
判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”及“否”（也可用“Y”及“N”）两个分支。
2、顺序结构：
顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句及语句之间，框及框之间是按从上到下的顺序进行的。
3、已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：
这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
解：
程序框图：
2
4、条件结构：
根据条件选择执行不同指令的控制结构。
5、求x的绝对值，画出程序框图。
开始
输入x
是x≥0？
否
输出x输出-x
结束
6、循环结构：
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图
（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如图（2所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
AA
P1？
成立P2？
不成立
不成立成立
当型循环结构直到型循环结构
（1）
（2）
7、输入3个实数按从大到小的次序排序。
解：
程序框图：
8、给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：
第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推.要求计算这50个数的和.将下面给出的程序框图补充完整.
（1）________i<=50_________________
（2）_____p=p+i____________________
（8题图）
1.2.1输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
在程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。
这个语句的一般格式是：
INPUT“提示内容”；变量
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT“提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT“数学，语文，英语”；a，b，c
注：
①“提示内容”及变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。
但最后的变量的后面不需要。
2、输出语句
在程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。
它的一般格式是：
PRINT“提示内容”；表达式
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。
（2）输出数值计算的结果。
3、赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。
它的一般格式是：
变量=表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变
量，使该变量的值等于表达式的值。
注：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。
如：
2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。
（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”及数学中的等号意义不同。
4、编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：
先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法：
程序：
5、交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：
引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，
从而达到交换A，B的值。
（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
程序：
1.2.2条件语句
1、条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的一般格式是：
（IF-THEN-ELSE-ENDIF格式）
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN
后的语句1，否则执行ELSE后的语句2.其对应的程序框图为：
（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：
（即IF-THEN-ENDIF格式）
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，
就执行THEN后的语句体，否则执行ENDIF之后的语句.其对应的程序框图为：
（如上右图）
2、编写一个程序，求实数
的绝对值.
程序：
3、下面程序运行后实现的功能为_______________
1.2．3循环语句
1、WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是
2、当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE及WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。
这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
3、UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是
4、直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
5、编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：
这是一个累加问题。
我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。
程序（WHILE语句）：
i=1
sum=0
WHILEi<=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINTsum
END
程序（UNTIL语句）：
i=1
sum=0
DO
sum=sum+i
i=i+1
LOOPUNTILi>100
PRINTsum
END
6、设计一个算法：
求满足1＋2＋3＋…＋n＞10000的最小正整数n，并写出相应的程序。
解：
i=0
sum=0
DO
i=i+1
sum=sum+i
LOOPUNTILsum>10000
PRINTi
END
1.3算法案例
1、辗转相除法:
例1求两个正数8251和6105的最大公约数。
解：
8251＝6105×1＋2146
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251及6105的最大公约数。
2、更相减损术:
用更相减损术求98及63的最大公约数.
解：
98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98及63的最大公约数是7。
3、
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数及差相等而得到
4、秦九韶算法
秦九韶计算多项式的方法
令
，则有
，
其中
.这样，我们便可由
依次求出
；
显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算
5、k进制转换为十进制的方法：
，
6、十进制转化为k进制数b的步骤为：
第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；
第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；
第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.
7、已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。
解：
将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：
，
，
，
，
所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2
8、将二进制数110011
（2）化成十进制数
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011
（2）=51。
第二章：
统计
2.1.1简单随机抽样
1、简单随机抽样的概念：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
思考：
简单随机抽样的每个个体入样的可能性为多少？
（n/N）
2、抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号;
（2）连续抽签获取样本号码.
思考：
你认为抽签法有什么优点和缺点；当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
解析：
操作简便易行，当总体个数较多时工作量大，也很难做到“搅拌均匀”
3、随机数法
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法.
怎样利用随机数表产生样本呢？
下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
162277943949544354821737932378
844217533157245506887704744767
630163785916955567199810507175
332112342978645607825242074438
576086324409472796544917460962
87352096438426349164
21763350258392120676
12867358074439523879
15510013429966027954
90528477270802734328
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
4、随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号;
（2）在随机数表中选择开始数字;
（3）读数获取样本号码.
思考：
结合自己的体会说说随机数法有什么优缺点？
解析：
相对于抽签法有效地避免了搅拌不均匀的弊端，但读数和计数时容易出错.
精讲精练:
5、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?
说明理由.
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
（2）盒子中共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在进行操作时,从中任意抽出一个零件进行质量检验后把它放回盒子里;
（3）某班45名同学,指定个子最高的5人参加某活动；
（4）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检测.
[解析]根据简单随机抽样的特点进行判断，考查学生对简单随机抽样的理解；
[解]
（1）不是简单随机抽样，由于被抽取的样本的总体个数是无限的；
（2）不是简单随机抽样，由于它是放回抽样；
（3）不是简单随机抽样，因为不是等可能性抽样；
（4）不是简单随机抽样，因为不是逐个抽样.
[点评]判断所给抽样是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点.
6、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体a被抽到的可能性是，a在第10次被抽到的可能性是
2.1.2系统抽样
1、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干
部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样
的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[
].
（3）预先制定的规则指的是：
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，此编号
基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.
2、下列抽样中不是系统抽样的是（）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，
随机确定起点i,以后为i+5,i+10（超过15则从1再数起）号入样
B、工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分
钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的
调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下
来座谈
解析：
（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
3、系统抽样的一般步骤：
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k，k＝[
].
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体
编号L+k，再加上k得到第3个个体编号L+2k，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】
（1）从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分
块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
（2）如果遇到
不是整数的情况，可以先从总体中随机的剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除。
2.1.3分层抽样教案
1、分层抽样的定义.
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样｡
【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求:
（1）分层:
将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复､不遗漏的原则｡
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量及每层个体数量的比及这层个体数量及总体容量的比相等,即保持样本结构及总体结构一致性｡
2、分层抽样的步骤:
（1）分层:
按某种特征将总体分成若干部分｡
（2）按比例确定每层抽取个体的个数｡
（3）各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取｡（4）综合每层抽样,组成样本｡
【说明】
（1）分层需遵循不重复､不遗漏的原则｡
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定｡
（3）各层抽样按简单随机抽样或系统抽样的方法进行｡
3、如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本,那么每个个体被抽到的可能性为（）A.
B.
C.
D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样､系统抽样､分层抽样共同的特征,为了保证这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故此选C｡
（2）根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量及总体容量比,故此题选C｡
4、简单随机抽样､系统抽样､分层抽样的比较
类别
共同点
各自特点
联系
适用范围
简单随机抽样
（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
（2）每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分,按预先制定的规则在各部分抽取
在起始部分样时采用简随机抽样
总体个数较多
分层抽样
将总体分成几层,分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
5、某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D15,10,20
[分析]因为300：
200：
400=3：
2：
4，于是将45分成3：
2：
4的三部分。
设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
1、频率分布直方图
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。
一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。
其一般步骤为：
（1）计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差
（2）决定组距及组数，
（3）将数据分组
（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图
2、频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
3、频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
4、总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，随着样本容量的增加，所分组数的增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。
它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。
5、思考探究：
（1）对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？
为什么？
（2）对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？
为什么？
答：
实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确。
6、茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。
7、茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据的优点：
一是既可以看出样本的分布情况又能看到原始数据；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
8、下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位ｃｍ）
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）画出频率分布折线图；（4）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
解：
（１）样本频率分布表如下：
（2、3）其频率分布直方图如下：
（4）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
9、从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
甲班：
76，74，82，96，66，76，78，72，52，68
乙班：
86，84，62，76，78，92，82，74，88，85
画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况。
解析：
由茎叶图可知，乙班的成绩较好，而且较稳定。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、众数、中位数、平均数
众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
2、标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
3、思考探究：
1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
2、标准差的取值范围是什么？
标准差为０的样本数据有什么特点？
答：
（1）显然，标准差较大
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