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图论部分板书
第二部分图论方法
第四章图
图论是一门很有实用价值的科学，他被广泛应用在物理学，化学，物理化学，工程学，逻辑学等方面。
随着计算机科学的发展，图论在形式语言，数据结构，分布式系统，操作系统的研究中，越来越具有不可替代的作用。
第一节图的基本概念
4-1-1无向图与有向图
定义无向图G是一个二元组，即G=〈V，E〉，V为顶点集，记为V（G），其元素为顶点或叫结点，即V={v1,v2,…,vn}。
E为边集，其元素为无向边，记为E（G）。
这些无向边以无序的顶点对表示，即：
边ei=（vi,vj），这里vi,vj只是表示边ei的两个端点，并没有次序概念。
通常，用圆括号表示无序对。
从而E={e1，e2，…，en}。
如上所述，顶点标定次序的图被称为标定图；否则为非标定图。
定义有向图是一个二元组，即D=〈V，E〉，V为顶点集，与无向图相似，记为V（D）；E为边集，其元素为有向边，例如：
E={，，…}。
显然，这些有向边是用由有序的顶点构成的有序对表示的。
有向边集合记为E（D）。
画无向图与有向图的概念的区别就在于，无向图边的两端是对等的，没有始末之分；有向图则不然，他的边是具有方向性的线段，由有序对的第一元素及第二元素构成。
画有向边时，一般从始端顶点指向末端顶点。
无论是有向图还是无向图，边集都是顶点集的多重集合。
这一点与集合论中的集合不同。
例如，边集合E1={〈a，b〉,{c，d}}不同于E2={〈a，b〉,〈a，b〉,〈c，d〉}；同理，边集合E1={a，b}与E2={a，a，b}是不相同的集合。
这与集合论中的概念是不同的。
称有限图的顶点数目为图的阶，这样，几个重要概念如下：
I、阶：
一个图G的顶点集V有n个元素，称G为n阶图。
边集为空集的图叫零图。
顶点集V=n的零图，为n阶零图。
我们称1阶零图为平凡图。
无向图中，任意边ek=（vi，vj）的两端称为端点，我们称两端点vi，vj与边ek彼此关联，若边的两端点不重合，则称两顶点的任意一个顶点与该边的关联次数为1；若一条边所关联的两顶点重合，则称此边为环，则称该顶点与环绕他的环的关联次数为2。
若与边无关的顶点，称其与边关联次数为0，即无边关联的顶点，叫孤立点。
无向图中，称边的两顶点彼此相邻；称有一个共同顶点的两条边彼此相邻。
有向图中，有向边联接的两顶点，分称始点和终点。
这样的一对顶点的关系被称为邻接。
通常，称始点邻接到终点。
II、度：
G=〈V，E〉为无向图，任一顶点vi∈V，称顶点vi是边端点的次数之和，为该顶点vi的度数，简称度，记做dG（vi）或d（vi）。
很显然，被环所环绕的顶点与环关联两次，因此度数为2。
在无向图中，关联一对顶点的边如果多于一条，则称这些边为平行边。
平行边的条数为重数。
在有向图中，关联一对顶点的边如果多于一条，且他们的始点和终点相同（即这些边同方向），则称这些边为有向平行边，简称平行边。
不含平行边也不含环的图称为简单图；含平行边的图叫多重图。
对于有向图D=〈V，E〉中，某顶点vi属于V是某些边的始点次数之和，为该顶点的出度，记做
dD+（vi），简记做d+（vi）。
某顶点vj属于V是某些边的终点次数之和，为该顶点的入度，记做
dD—（vj），简记做d—（vj）。
与无向图相仿，也可以定义有向图的度为某顶点vi作为有向边端点次数之和为vi的度数或度。
显然，dD（vi）=d+（vi）+d—（vi）。
在图中，称度数为1的顶点为悬挂顶点；与其关联的边为悬挂边。
称图G中度数最多的顶点，为G的最大度，即
△（G）=max{d（vi）│vi∈V（G）}；
度数最少的顶点，为G的最小度，即
δ（G）=min{d（vi）│vi∈V（G）}。
对于有向图D，顶点vi作为有向边的始点次数最多，为D的最大出度；
作为有向边终点的次数最少，为D的最小出度，分别简记为△+（D）及δ+（D）；
同样，有向图D中，度数最多的终点，为D的最大入度；度数最少的始点，为G的最小入度，分别简记为△—（D）和δ—（D）；
III、握手定理及其推论：
G=为任意图，其中V={v1，v2…，vn}，边数为m，则有
Σid（vi）=2m。
IV、推论任意图中，度数为奇数的顶点数一定是偶数。
对于有向图D=〈V，E〉，V={v1，v2，……，vn}，且有
d（vi）=d+（vi）+d-（vi）=2m。
所以，握手定理的形式应是：
出度总和=入度总和=边数m。
在握手定理中将诸顶点的度数d（vi）按顶点的次序排成一个序列，即d（v1），d（v2），……，d（vn），称为图G的度数列。
对于有向图，应分出度列和入度列。
例4-1握手定理的应用
（1）以下两组数是否能构成无向图的度数列，为什麽？
（a）3，2，5，4，7，6；（b）1，2，2，3，4。
（2）无向图G中，一个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点的度数均为2，若图中有10条边，试求图中顶点数。
解：
（1）（a）度数和等于27，是奇数。
令其等于边数m的2倍，则不可能有整数边数，即不可能构成一个图。
说明该数序列与图的握手定理矛盾，不能构成无向图的度数列。
（b）中有两个奇数，可以组成有两个顶点具有奇数度数。
（2）根据握手定理，知道边数m=10，若假设所求2度的顶点数为x，则有
1x4+4x3+2x=2m=20，所以有x=2。
所以图G的顶点总数为8。
V、完全图：
无向n阶简单图，每个顶点都与其余n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，记做Kn；且有边数m=n（n-1）/2。
有向n阶简单图D，若两不同顶点v、u∈V，有向边〈v，u〉，〈u，v〉∈边集E，则称D为n阶有向完全图，边数m=nx（n-1）。
VI、n阶无向简单图各顶点的度都=k，称其为k-正则图。
并有边数m=kxn/2。
VII、补图：
无向简单图G=〈V，E〉的顶点集V，以能使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G相对于Kn的补图，简称为G的补图。
VIII、生成子图：
G包含G’且G不等于G’，称G’为图G的真子图。
从G中割去某些边而成的G’（V’=V）称为G的生成子图。
IX、导出子图：
分为顶点导出子图及边导出子图。
他们都以导出者为标记。
V包含非空集合V1，以V1为顶点集，以两个端点都在V1中的全体边为边集的G的子图，称为V1导出的导出子图，记做G[V1]。
该种图以顶点为标记，边是随从品，原与V1中顶点关联的边都带来。
但边集可为空集，例如，孤立点的导出子图。
（?
）
E包含非空集合E1，以E1为边集，以E1中的边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，称为E1导出的导出子图，记做G[E1].
该图以边为标记，任何一条边都可以导出子图。
可以有1度顶点，即可以缺少边，但每条边的两个端点必须具备。
4-1-2通路、回路、图及其连通性
在有向图D=中，若有向边序列Γ满足如下条件：
两顶点vi-1，vi分别为边ei的始点和终点，i=1，2，…k，则称由顶点和与其关联的边组成的序列Γ为vo到vk的通路；若vo=vk，则通路为回路。
很显然，去掉有向图中有向边的方向后的Γ序列，完全适合无向图中通路和回路的定义。
通路长度被定义为通路所含边的数目k。
所有边e1，e2，……，ek都不相同的通路（回路），称为简单通路（回路）。
有边重复出现的通路（回路）被称为复杂通路（回路）。
所有顶点互不相同（从而所有边也互不相同）的通路叫初级通路或路径；除去始点与终点相合（vo=vk）外，所有顶点都不相同，进而所有边也互不相同的回路，称初级回路，或称为圈。
由环或无向图的平行边也可构成初级回路，长度分别为1和2，是特殊情况。
图的连通性
无向图G中，若两顶点vi、vj间存在通路，则称vi、vj他们是连通的；
当vi与vj相合，vi与vj间的连通性是不言而喻的，即任何顶点与自身是连通的。
设G=〈V，E〉是无向图，或者G是平凡图，或者G的任意两顶点都是连通的，称G为连通图；否则为非连通图。
（?
）
有了顶点间的连通概念，我们可以利用他建立可达概念，再利用可达概念建立强连通概念。
（自学）
设G=为无向图，若有R={│x，y∈V且x与y连通}，则R是自反的、对称的、传递的，因而R是V上的等价关系，且他的不同等价类V1、V2、…、Vk的导出子图G（V1）、G（V2）…、G（Vk）为G的连通分支。
连通分支的个数记为p（G）。
显然，若G是连通的，则p（G）=1；若p（G）≥2，则G一定是非连通的。
图的分割
定义无向图G=〈V，E〉，V’为顶点集V的真子集，使得
1、p（G-V’）>p（G），
2、且对于任意的V'’为V’的真子集，均有p（G-V''）=p（G）成立，则称V’是G的点割集。
式中，（G-V’）意义为将子集V’连同与这些顶点相关联的边从图G中都割去。
则称
V’为G的一个点割集。
若G的某个点割集只有一个顶点，称该顶点为割点。
应该提起注意的是，在点割集的定义中，关于集合中前后两个真子集引起图G的连通分支数的变化，是判别点割集的完备条件，必须同时具备。
割点的点割集中不能再有任何其他顶点，否则，与割点为伍的顶点的集合，就不成为点割集了。
与点割集相似，若有边割集E’是E的子集，E''是E’的真子集，使得从边集E中删除E’中所有边后子图的连通分支数满足关系:
1.p（G-E’）〉p（G）;
2.删除E’的任何一个真子集E''后的子图的连通分支数p（G-E''）等于p（G），则称E’是G的边割集，简称割集；
3.只有一条边的割集，则称该边为割边或称桥。
特殊边割桥的性质与割点相似，割点的特殊性，桥也具备，这里不再叙述。
第二节欧拉图
4-2-1欧拉图的基本概念（欧拉回路的研究着眼于图中的边）
定义:
连通图G中，经过每条边一次且仅一次的通路，叫欧拉通路；若G中欧拉通路又是回路，则称其为欧拉回路。
具有欧拉回路的图为欧拉图。
定理:
无向图G具有欧拉通路，当且仅当G是连通图且没有或有两个奇度顶点。
若无奇度顶点，则欧拉通路为欧拉回路；
若有两个奇度顶点，则他们是每条欧拉通路的端点。
推论:
无向图G为欧拉图，当且仅当G是连通的，且G中无奇度顶点。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
（1）
（2）（3）（4）
图4-8欧拉图的判别
图4-8
（1）不是欧拉图，因为没有欧拉回路，也没有欧拉通路，因为他有4个奇度顶点；
（2）只有欧拉通路，没有欧拉回路，因此也不是欧拉图；（3）中只有欧拉通路，没有欧拉回路，所以不是欧拉图；（4）是欧拉图，因为他们都有欧拉回路。
4-2-2有向欧拉图的研究
定理一个有向图有欧拉通路，当且仅当D是连通的，且除了两个例外顶点外，其余顶点的出度等于入度；该两个例外顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
推论一个有向图是欧拉图的充要条件—当且仅当D是连通的，且所有顶点的出度等于入度。
（判断完全图?
）
第三节哈密尔图
4-3-1基本概念（只着眼于顶点）----图中是否存在经过所有顶点一次且仅一次的回路，称这样的初级回路为哈密回路。
定义图G中，经过每个顶点一次且仅一次的通路，称为哈密尔通路。
图G中，经过每个顶点一次且仅一次的回路，称为哈密尔回路。
存在哈密回路的图称为哈密图。
。
。
。
。
。
。
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。
。
。
。
。
。
。
（1）
（2）（3）
图4-9哈密尔顿图的定义判别
图4-9的三个图中，都存在包含所有顶点，且只经过一次的回路，所以都是哈密尔顿图。
此时，必有m≥n（顶点从而边不重复?
）。
定理:
无向图G=〈V，E〉是哈蜜尔顿图，Vl是V的真子集，p（G-V1）为从G中删除V1的各顶点及关联的边后图的连通分支数，则p（G-Vl）≤│Vl│。
例4-5用必要条件判断哈图
1。
1。
。
42。
5。
。
8
2．。
。
。
45。
61。
。
6
3。
2。
。
33。
4。
。
7
（1）
（2）（3）
图4-10哈密尔顿图的必要定理判别
解：
（1）有割点的图一定不是哈密尔顿图。
图
（1）中，v4即为割点，割除v4后，图
（1）的分支点数为2，所以图
（1）不满足必要性定理；
（2）割集V1={v2，v4}或（3）V2={v5，v7}都只有两个顶点，而分别割除V1，V2后，都可以得到多于三个连通分支，因而不满足必要性定理，所以
（2）和（3）都不是哈密尔顿图。
此外，还有一些必要条件：
（1）因为哈密尔顿回路中，边数=顶点数。
所以，哈图中的边数不能小于顶点数。
（2）若G中有d（v）=2的顶点，则与v关联的两条边ei、ej必须在哈回路上。
（3）G中的初级哈密尔顿回路的边数不能小于n。
（4）有割点的图不是哈密尔顿图。
4-3-2特殊条件下的哈图判断（可以认为是充分条件）
定理:
G是n阶无向简单图，若n≥3，且对于任意两个不相邻的顶点v，u，都有
d（u）+d（v）≥n-1，则G中有哈通路。
推论:
G是n阶无向简单图，若n≥3，且对于任意两个不相邻的顶点v，u，都有
d（u）+d（v）>=n，则G中有哈回路，即G是哈密尔顿图。
很显然，若δ（G）=n/2，则G中任何两个不相邻的顶点度数之和一定大于等于n，所以G是哈密尔顿图。
可见，当n≥3时，Kn是哈密尔顿图；当r=s≥2时，Kr,s是哈密尔顿图。
正六边形图，6个顶点，任两个不相邻顶点度数之和为4，自然4小于6，不满足充分性条件定理。
但他是哈密尔顿图。
（提问?
）
第四节图的矩阵表示
4-4-1无向图的关联矩阵（顶点对边的关联）
定义无向图G=〈V，E〉的顶点集V={v1，v2，…vn}；边集E={e1，e2，…em}；
令矩阵元素mij为顶点vi与边ej的关联次数，则
（mij）nxm为G的关联矩阵，记做M（G）。
其中，
0当vi与ej不关联时；
mij=1当vi与ej关联次数为1时；
2当ej是依vi为端点的环时。
例:
无向图G的关联矩阵M（G）如右11010度
11100度
M（G）=00102度
00010度
2每边都提供2度
关联矩阵的性质及元素的意义
（1）矩阵元素mij有三种情况：
0—说明vi与ej不关联；1—说明vi与ej关联1次；2—说明ej是以vi为端点的环；
（2）每边关联两个顶点，即Σi（mij）=2，j=1，2，…m，即各列元素之和为2；
（3）每个顶点关联的边数为Σj（mij）=d（vi），i=1，2，…n，即第i行各元素之和（将j相加）为vi的度数；
（4）握手定理：
顶点度数之和=边数的两倍，即Σd（vi）=ΣΣmij=Σj
（2）=2m；
（5）平行边情况：
矩阵的j列与k列结构完全相同，说明ej与ek是平行边；
（6）孤立点情况：
Σmij=d（vi）=0，说明顶点vi是孤立点。
4--4--3有向图的邻接矩阵
定义设有向图D=〈V，E〉，V={v1，v2，…，vn}有n个顶点，m条边。
若令a（l）ij为顶点vi邻接到vj长度为l的边的条数形成的矩阵，记为Al（D）。
1。
。
41110
1010
A（D）=0001
2。
。
30011
图4-13
邻接矩阵的性质以及矩阵元素的意义
（1）某行i元素之和=该顶点vi的出度数，即Σaij（l）=d+（vi），
i=1，2，…n；进而有
ΣΣaij（l）=Σd+（vi）=m，说明各顶点的出度之和等于D中边数。
（2）某列j元素之和=该顶点vj的入度，即Σaij（l）=d-（vj），
j=1，2，…n；进而有
ΣΣaij（l）=Σd-（vj）=m，说明各顶点的入度之和等于D中边数。
（3）所有元素之和=边数m：
也可以说是D中长度为l的通路总数。
Σaii（l）=长度为l的回路数，也即环的总数。
（4）长度为2以上的通路、回路计算方法
（I）符号规定：
有向图D=〈V，E〉，D的邻接矩阵记做A（D）；
要计算他的l次幂，把[A（D）]l记做Al（D），简记做Al；
设Al=（aij（l））nxm（l≥2）。
（II）计算定理：
（a）这里，aij（l）=Σ（alk（l-1）xakj（l））为两矩阵元素相乘，成为矩阵A的元素，等于顶点vi到vj长度等于l的通路总数；
（b）而ΣiΣjaij（l）为D中长度为l的通路总数（内含i=j时的回路数）；
（c）A2=AxA；Am=A（m-1）xA为矩阵的幂。
这里，1+1=2，勿求逻辑和。
（d）推论：
Bl=A+A2+…Al=B（l-1）+Al；Bl中，元素bij（l）为D中vi到vj长度小于等于l的通路总数；
（e）ΣΣbij（l）为D中长度小于等于l的通路总数；当i=j，为回路总数。
第五节二部图（也称偶图）
4--5-1二部图的基本概念
定义若能将无向图G=〈V，E〉的顶点集V分成两个子集V1，V2，他们满足
V1∩V2=Ø，V1∪V2=V，使得G的边集E={e=（v1，v2）∈E且v1∈V1且v2∈V2，而同一个顶点集中的任何两顶点间都不邻接}，则称G为二部图。
这时，也可将G记为G=〈V1，V2，E〉。
二部图G的子集V1中的顶点有且仅有一条边与V2中的顶点相关联，则称二部图G为完全二部图。
完全二部图Kr，s中，顶点数n=r+s；边数m=rxs。
（小题?
）
定理无向图G=〈V，E〉是二部图的充分必要条件G中无奇数长度的回路。
例4-7判别二部图
。
。
。
。
。
。
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。
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。
。
。
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。
。
。
。
。
。
。
（1）
（2）（3）（4）
图4--14二部图的判别
解：
图4-14中，
（1）是K2，3，
（2）是K3，3，他们都是重要的完全二部图。
（3）和（4）也是二部图，图中均无奇数长度的回路。
他们分别是
（1）和
（2）所示图的同构。
第六节平面图
4-6-1平面图的基本概念
定义图G，若能以这种方式画在平面上：
除顶点处外，没有边交叉出现，则称G为平面图。
例如：
K4是；K5，K3,3都不是。
画出的没有边交叉出现的图，称为平面图G的一个平面嵌入。
4-6-2平面图的判断问题（平面图的充要条件定理）
（1）一个图是平面图的充分必要条件是，他既不含与K5同坯的子图，也不含与K3,3同坯的子图。
（2）一个图是平面图当且仅当他没有可以收缩到K5的子图，也没有可以收缩到K3,3的子图。
（3）任何一个平面图，无论怎样做初等收缩都不能变成K5或K3，3。
着色论定理设G为连通简单平面图，则G中至少存在一个顶点v有d（v）≦5。
着色论定理把平面图的着色转化为对偶图顶点的着色，使问题变得容易解决。
特殊图之间的关系（练习题）
（1）彼得森图至少增加一条边就可成为哈密图，至少增加五条边才能成为欧拉图。
因为彼得森图10个顶点都是奇数度3，要想使彼得森图的10个顶点都变成偶数度，则至少增加5条边；又因为彼得森图中存在哈密顿通路，只要将该通路的两端连成回路，则成为哈密图。
（2）一个平面图G的对偶图G*是欧拉图，当且仅当G的每个面的次数都是偶数。
例4-8判断图是否欧拉图，哈密尔顿图。
。
a。
h。
。
g。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
b。
i。
。
f。
。
。
。
。
。
。
。
c。
d。
。
e。
。
。
。
。
。
。
（1）
（2）（3）。
（4）
图4-17图的类型的综合判断
解：
按定义，没有奇度顶点为欧拉图。
除图（3）,（4）外，都有奇度顶点，所以只有（3）,（4）为欧拉图。
由定理论证哈密尔顿图：
图
（1）中，删除{b，d，f，h}后得五个连通分支，不满足必要条件定理，一定不是哈密尔顿图；
（2），（3），（4）都满足定义所要求的哈密尔回路要求，故都是哈密尔顿图。
必须注意到，哈密尔顿图的充分性定理有时不是必要的，即不满足该定理，也有可能是哈密尔顿图。
所以，判断哪个图是哈密尔顿图时，最好采用定义所规定的哈密尔回路的存在最为可靠的判据。
此外，
（2）又是一个完全二部图。
当完全二部图的两顶点集合的基数相同时，必存在哈密尔顿回路。
例4-9特殊图之间的关系图例
。
。
。
。
。
。
。
。
图4-18。
。
图4-19
。
。
。
。
。
。
。
。
解：
图4-18为彼得森图，他不是欧拉图；虽然满足哈密尔顿图的必要条件，但不是哈密尔顿图；也不是二部图。
至少加几条边才成欧拉图？
至少加几条边才能成为哈密尔顿图？
使每个顶点的度数均为偶数即可成欧拉图，所以至少加5条边才能使彼德森图成为欧拉图；彼德森图与哈密尔顿图只差一条边，因为彼德森图具有哈密尔顿通路，因此，只要加一条边就能成为具有哈密回路的图，即哈密尔顿图。
图4-19是一个完全二部图，即K4，4；也是欧拉图是哈密尔顿图，因为不存在奇数度顶点；又是哈密尔顿图，因为存在哈密尔顿回路；但不是平面图。
例4-10判断以下图是否平面图？
是否是哈密尔顿图？
。
。
。
。
图4-20联结平面图
。
。
。
。
解：
画出三个平面图n=8，m=12；画三个连在一起的平面图，合图自然还是平面图，由于三个子图间没有回路，所以不能收缩成K5或K3，3。
所以图4-20是哈密尔顿图。
4--19判断下列各题的对错（复习时用）
（1）连通图的补图也必是连通的。
[]
（2）非连通图的补图也必是非连通的。
[]
（3）非连通图的补图必是连通的。
[]
（4）图G的最大度数必小于G的顶点数
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