数学复习动点问题.docx

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数学复习动点问题

第一部分（人教）

一，知识梳理：

1、 有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算法则、混合运算  2、 运算律：

交换律、结合律、分配律，去括号法则  

（1）有理数的加法法则：

1. 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；  

2. 绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；  

3. 一个数与零相加仍得这个数；  

4. 两个互为相反数相加和为零。

  ⑵有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

  补充：

去括号与添括号：

去括号法则：

括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。

添括号法则：

在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。

⑶有理数的乘法法则：

① 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；  

② 任何数与零相乘都得零；  

③ 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；  

④ 几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。

⑷有理数的除法法则：

法则一：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；  法则二：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

⑸有理数的乘方：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。

  正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

⑹有理数的运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，则先算括号内，再算括号外。

⑺运算律：

①加法的交换律；  

②加法的结合律；  

③乘法的交换律；  

④乘法的结合律；  

⑤乘法对加法的分配律；  

注：

除法没有分配律。

3、 科学记数法:

把一个数表示成a（1≤a<10）与10的幂相乘的形式。

如：

304000=3.045  

4、准确数与近似数：

与实际完全符合的数叫准确数，与实际接近的数叫近似数。

取近似数有两种方法

（1）精确到哪位，如：

把84960精确到万位得

（2）有效数字：

从左边第一个不是零的数字起到到末位数字为止的所有数字都叫做这个数的有效数字。

如：

把84960保留两个有效数字得：

5、计算器的使用  

1、平移变换  

①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 

③连接各组对应点的线段平行且相等

2、平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

知识点整理：

1、相交线  

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

  图形 顶点 边的关系 大小关系  

对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等即∠1=∠2  邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

 ∠3+∠4=180°  

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；  

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角  

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2、垂线  

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

  符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O  

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （与平行公理相比较记）  

⑶垂线性质

2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离  

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离  记得时候应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念  分析它们的联系与区别  

⑴垂线与垂线段 区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

 联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

（垂直的性质）  

⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

 联系：

都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

2平行线  

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 与直线 互相平行，记作 ‖ 。

2、两条直线的位置关系  

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）  

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；  

②无公共点，则两直线平行；  

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）  

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性  

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行  

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1．数的分类及概念  数系表：

  实数  

无理数（无限不循环小数）  有理数  正分数  负分数  正整数  0  

负整数  

（有限或无限循环性数）  整数  分数  

正无理数  负无理数  

说明：

“分类”的原则：

  1）相称（不重、不漏）  2）有标准  

2．非负数：

正实数与零的统称。

（表为：

x≥0）  │a│  （a≥0）  

（a为一切实数）  

常见的非负数有：

性质：

若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：

①定义及表示法  

②性质：

A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数：

①定义及表示法  

②性质：

A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：

①定义（“三要素”）  

②作用：

A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

  6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）  定义及表示：

  奇数：

2n-1  

偶数：

2n（n为自然数）  a（a≥0）  -a（a<0）  │a│=  

7．绝对值：

①定义（两种）：

  代数定义：

几何定义：

数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;

③数a的绝对值只有一个;

④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算  

1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）  

2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]  分配律）  

3． 运算顺序：

A.高级运算到低级运算;

B.（同级运算）从“左”  到“右”（如5÷ ×5）;

C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）  

附：

典型例题  

2.已知：

a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章 代数式   

一、 单项式  多项式  整式  分式样  有理式  无理式  

代数式  重要概念  分类：

1.代数式与有理式  

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独  的一个数或字母也是代数式。

  整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式  

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

  有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式  

没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）  几个单项式的和，叫做多项式。

说明：

①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，  =x, =│x│等。

4.系数与指数  

区别与联系：

①从位置上看;②从表示的意义上看  

5.同类项及其合并  

条件：

①字母相同;②相同字母的指数相同  合并依据：

乘法分配律  6.根式  

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：

①从外形上判断;②区别：

 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。

  7.算术平方根  

⑴正数a的正的平方根（ [a≥0—与“平方根”的区别]）;  

⑵算术平方根与绝对值  

① 联系：

都是非负数， =│a│  

②区别：

│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

  8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化  

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：

①被开方数的因数是整数，因式是整式;

②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

  把分母中的根号划去叫做分母有理化。

  a·a…a=  n个  

9.指数  

⑴ （ —幂，乘方运算）  

① a＞0时， ＞0;

②a＜0时， ＞0（n是偶数）， ＜0（n是奇数）  

⑵零指数：

 =1（a≠0）  

负整指数：

 =1/ （a≠0,p是正整数）  

二、运算定律、性质、法则  

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则  

2．分式的性质  

⑴基本性质：

 = （m≠0）  

⑵符号法则：

⑶繁分式：

①定义;②化简方法（两种）  

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）  

4．幂的运算性质：

① · = ② ÷ = ③ = ④ = ⑤  技巧：

5．乘法法则：

⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：

（正、逆用）  （a+b）（a-b）=  （a±b） =  

7．除法法则：

⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：

⑴定义;

⑵方法：

A.提公因式法;

B.公式法;

C.十字相乘法;

D.分组分解法;

E.求根公式法。

9．算术根的性质：

 ＝ ;  （a≥0,b≥0）; （a≥0,b＞0）（正用、逆用）  

10．根式运算法则：

⑴加法法则（合并同类二次根式）;

⑵乘、除法法则;  

11．科学记数法：

 （1≤a＜10,n是整数）

第二部分（北大）

一章   整式的运算 

一、整式 

1、单项式：

表示数与字母的积的代数式。

另外规定单独的一个数或字母也是单项式。

 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略，是系数， 

单项式的次数是指所有字母的指数的和。

2、多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式） 每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。

多项式的次数：

多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。

3、整式；单项式与多项式统称为整式。

（最明显的特征：

分母中不含字母） 

二、整式的加减：

①先去括号；    （注意括号前有数字因数） 

②再合并同类项。

   （系数相加，字母与字母指数不变） 

三、幂的运算性质 

1、同底数幂相乘：

底数不变，指数相加。

2、幂的乘方：

底数不变，指数相乘。

3、积的乘方：

把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

4、零指数幂：

任何一个不等于0的数的0次幂等于1。

5、负整数指数幂：

a-p =

6、同底数幂相除：

底数不变，指数相减。

注意：

以上公式的正反两方面的应用。

常见的错误：

四、单项式乘以单项式：

系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。

五、单项式乘以多项式：

运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。

六、多项式乘以多项式：

连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。

七、平方差公式 

两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。

即：

一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。

 八、完全平方公式 

两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。

九、单项除以单项式：

把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。

十、多项式除以单项式：

连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。

  第二章   平行线与相交线 

一、互余、互补、对顶角 

1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。

    性质：

同角（或等角）的余角相等。

2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。

   性质：

同角（或等角）的补角相等。

3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。

           对顶角的性质：

对顶角相等。

4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。

   （相邻且互补） 

二、三线八角：

      两直线被第三条直线所截 

①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同位角。

 3 

②在两直线之间（内部），在第三条直线的两侧（旁）的两个角叫做内错角。

③在两直线之间（内部），在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同旁内角。

三、平行线的判定 

①同位角相等 

②内错角相等        两直线平行                                                    

③同旁内角互补 

四、平行线的性质 

①两直线平行，同位角相等。

 ②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

五、尺规作图（用圆规和直尺作图） 

①作一条线段等于已知线段。

②作一个角等于已知角。

第三章 

生活中的数据 

一、百万分之一有多小、近似数与精确数 

近似数：

通过测量、估算、统计得到的数；    精确数：

真实的数值 

二、科学记数法：

1、绝对值大于10的数：

a×10n      （1≤a〈10 ，n是原数的整数位数减1〉  

2、绝对值小于1的数：

a×10-n      （1≤a〈10，n是有效数字前0的个数） 

三、有效数字：

从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

注意：

①用科学记数法表示的数有效数字看a的有效数字。

如41035.2的有效数字是2、3、5 

②几万或几亿的有效数字看万或亿前面的数。

如2.56万的有效数字是2、5、6 

四、精确度的两种表示方法：

①保留几个有效数字：

   ②精确到哪一位：

注意：

怎样确定一个近似数的精确度？

看这个近似数的最右边的数字在数位表中的位置，如果是用科学记数法表示或是几万几亿的数先求出原数 

五、用四舍五入法取近似数时，如果去掉了原数的整数位数则要转化成科学记数法表示。

六、象形统计图：

直观、形象

第四章 概 率 

一、概率：

反映事件发生可能性大小的数。

  事件P的概率=所有出现的结果的总数

事件P出现的结果数 

二、事件的分类  

三、游戏是否公平：

双方事件发生的概率是否相等。

第五章 

三角形 

一、认识三角形 

1、三角形:

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、三角形三边的关系：

两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

     （已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围） 

3、三角形的内角和是180°；直角三角形的两锐角互余。

锐角三角形  （三个角都是锐角） 

4、三角形按角分类直角三角形  （有一个角是直角） 

  钝角三角形  （有一个角是钝角）      

5、三角形的特殊线段：

a） 三角形的中线：

连结顶点与对边中点的线段。

   （分成的两个三角形面积相等） b） 三角形的角平分线：

内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。

 c） 三角形的高：

顶点到对边的垂线段。

      （每一种三角形的作图） 二、全等三角形：

1、全等三角形：

能够重合的两个三角形。

2、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边、对应角相等。

判定方法

内    容

简称

边边边

三边对应相等的两个三角形全等

SSS

边角边

两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等 

SAS

角边角

两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等 

ASA

角角边

两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

AAS

斜边直角边

斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 

HL

注意：

三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等；AAA 

    两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。

SSA

4、全等三角形的证明思路：

条  件

下一步的思路

运用的判定方法

已经两边对应相等

找它们的夹角

SAS

找第三边 

SSS

已经两角对应相等

找它们的夹边

ASA

找其中一个角的对边

AAS

已经一角一边

找另一个角

ASAAAS

找另一边

SAS

5、三角形具有稳定性， 

三、作三角形 

1、已经三边作三角形 

2、已经两边与它们的夹角作三角形 

3、已经两角与它们的夹边作三角形（已经两角与其中一角的对边转化成这种情况） 

4、已经斜边与一条直角边作直角三角形 

第六章 

生活中的变量 

一、变量、自变量与因变量 

①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量（先变的量），y是因变量（后变的量）。

二、变量之间的表示方法：

①列表法 

②关系式法：

能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。

③图象法：

用水平方向的数轴（横轴）上的点表示自变量，用坚直方向的数轴（纵轴）表示因变量。

第七章 

生活中的轴对称 

一、轴对称图形与轴对称 

①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴。

③常见的轴对称图形：

线段（两条对称轴），角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形 

二、角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

∵ ∠1=∠2    PB⊥OB    PA⊥OA ∴ PB=PA 

三、线段垂直平分线：

①概念：

垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

 ②性质：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

 ∵ OA=OB    CD⊥AB ∴ PA=PB 

四、等腰三角形性质：

    （有两条边相等的三角形叫做等腰三角形） 

①等腰三角形是轴对称图形；  （一条对称轴） 

②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合；  （三线合一） ③等腰三角形的两个底角相等。

  （简称：

等边对等角） 

五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。

（简称：

等角对等边） 六、等边三角形的性质：

等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60；    

②等边三角形有三条对称轴。

七、轴对称的性质：

① 关于某条直线对称的两个图形是全等形；        

②对应线段、对应角相等； 

② 对应点的连线被对称轴垂直且平分；    

④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。

 八、镜子改变了什么：

1、物与像关于镜面成轴对称；（分清左右对称与上下对称） 

2、常见的问题：

①物体成像问题；

②数字与字母成像问题；

③时钟成像问题 

七年级下册动点问题

1.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象， 

（1）参照图②，求a、b及图②中的c值； 

（2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒后，△APD的面积是矩形ABCD面积的

．DC

APB

1.答案：

解：

（1）由图得知：

S△APD=AD·AP=×8×1×a=24 

∴a=6 

b=

=

=2 

c=8+

=17

（2）y=6+2（x-6）=2x-6（6≦x≦17）

 P到达DC中点时， 

y=10+8+10×

=23

 即23=2x-6 

x= 

（3）当P在AB中点和CD中点时，S△APD=

S矩形ABCD 

当P在AB中点时，P出发5秒； 

当P在CD中点时，

代入

（2）中y=2x-6 即23=2x-6 

X=

∴P出发5秒和

秒时，S△