高中数学极坐标与参数方程大题详解.docx
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高中数学极坐标与参数方程大题详解
参数方程极坐标系
解答题
1．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
考点：
参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
解答：
解：
（Ⅰ）对于曲线C：
+
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为
，（θ为参数）．
对于直线l：
，
由①得：
t=x﹣2，代入②并整理得：
2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为
．
则
，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为
．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为
．
点评：
本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：
，曲线C的参数方程为：
（α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
考点：
参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；
（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．
解答：
解：
（1）∵直线l的极坐标方程为：
，
∴ρ（
sinθ﹣
cosθ）=
，
∴
，
∴x﹣
y+1=0．
（2）根据曲线C的参数方程为：
（α为参数）．
得
（x﹣2）2+y2=4，
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：
d=
，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值
=
．
点评：
本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．
3．已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的最小值．
考点：
圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；转化思想．
分析：
（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
解答：
解：
（1）把曲线C1：
（t为参数）化为普通方程得：
（x+4）2+（y﹣3）2=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；
把C2：
（θ为参数）化为普通方程得：
+
=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=
代入到曲线C1的参数方程得：
P（﹣4，4），
把直线C3：
（t为参数）化为普通方程得：
x﹣2y﹣7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+
sinθ）
所以M到直线的距离d=
=
，（其中sinα=
，cosα=
）
从而当cosθ=
，sinθ=﹣
时，d取得最小值
．
点评：
此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．
考点：
参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为
，化为ρ2=
，把
代入即可得出．
（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2
，利用三角形的面积计算公式即可得出．
解答：
解：
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为
，化为ρ2=
，
把
代入可得：
圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．
∴圆心坐标为（1，﹣1），
∴圆心极坐标为
；
（Ⅱ）由直线l的参数方程
（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2
t可得直线l的普通方程：
，
∴圆心到直线l的距离
，
∴|AB|=2
=
=
，
点P直线AB距离的最大值为
，
．
点评：
本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为
为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
考点：
椭圆的参数方程；椭圆的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意椭圆的参数方程为
为参数），直线的极坐标方程为
．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
解答：
解：
将
化为普通方程为
（4分）
点
到直线的距离
（6分）
所以椭圆上点到直线距离的最大值为
，最小值为
．（10分）
点评：
此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为
（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=
cos（θ+
）．
（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；
（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．
考点：
参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
分析：
（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．
（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．
解答：
解：
（1）直线I的参数方程为
（t为参数），消去t，
可得，3x+4y+1=0；
由于ρ=
cos（θ+
）=
（
），
即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（
，﹣
），半径为r=
，
圆心到直线的距离d=
=
，
故弦长为2
=2
=
；
（2）可设圆的参数方程为：
（θ为参数），
则设M（
，
），
则x+y=
=sin（
），
由于θ∈R，则x+y的最大值为1．
点评：
本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
7．选修4﹣4：
参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为
，曲线C的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：
（t为参数）距离的最小值．
考点：
参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，
解答：
解
（1）∵P点的极坐标为
，
∴
=3，
=
．
∴点P的直角坐标
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入
可得
，即
∴曲线C的直角坐标方程为
．
（2）曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0
设
，则线段PQ的中点
．
那么点M到直线l的距离
.
，
∴点M到直线l的最小距离为
．
点评：
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．
8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程
（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+
）=3
，射线OM：
θ=
与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
考点：
简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
（I）圆C的参数方程
（φ为参数）．消去参数可得：
（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．
（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+
）=3
，射线OM：
θ=
．可得普通方程：
直线l
，射线OM
．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．
解答：
解：
（I）圆C的参数方程
（φ为参数）．消去参数可得：
（x﹣1）2+y2=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：
ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+
）=3
，射线OM：
θ=
．
可得普通方程：
直线l
，射线OM
．
联立
，解得
，即Q
．
联立
，解得
或
．
∴P
．
∴|PQ|=
=2．
点评：
本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．
9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
）=4
．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
考点：
简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求得椭圆上的点
到直线x+y﹣8=0的距离为
，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．
解答：
解：
（1）由曲线C1：
，可得
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