公务员考试数学运算经典例题详解.docx

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公务员考试数学运算经典例题详解

一、数字特性

掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。

（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

【基础】奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。

【推论】1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2．能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3．能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

如果x＝mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

二、乘法与因式分解公式

正向乘法分配律：

（a+b）c=ac+bc；逆向乘法分配律：

ac+bc=（a+b）c；（又叫“提取公因式法”）平方差：

a^2-b^2=（a-b）（a+b）；完全平方和/差：

（a±b）^2=a^2±2ab+b^2；立方和：

a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）；立方差：

a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）；完全立方和/差：

（a±b）^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3；等比数列求和公式：

S=a1（1-q^n）/（1-q）（q≠1）；等差数列求和公式：

Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨；丨a丨≤b-b≤a≤b。

四、某些数列的前n项和

1+2+3+…+n=n（n+1）/2；1+3+5+…+（2n-1）=n^2；2+4+6+…+（2n）=n（n+1）；

1^2+3^2+5^2+…+（2n-1）^2=n（4n^2-1）/3；1^3+2^3+3^3+…+n^3==（n+1）^2*n^2/4；

1^3+3^3+5^3+…+（2n-1）^3=n^2（2n^2-1）；1×2+2×3+…+n（n+1）=n*（n+1）*（n+2）/3

五、裂项求和法

　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

通项分解（裂项）如：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12［1n（n+1）-1（n+1）（n+2）］

　　（4）1a+b＝1a-b（a-b）（a＞0，b＞0且a≠b）

　　（5）kn×（n-k）＝1n-k-1n

　　小结：

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

六、小数基本常识

（一）需要熟记的一些有限小数

　　1/2＝0．5，1/4＝0．25，3/4＝0．75；

　　1/8＝0．125，3/8＝0．375，5/8＝0．625，7/8＝0．875；

　　1/5＝0．2，2/5＝0．4，3/5＝0．6，4/5＝0．8。

（二）需要熟记的一些无限循环小数

　　1/3＝0．3·≈0．333，2/3＝0．6·≈0．667，1/6＝0．16·≈0．167，

　　5/6＝0．83·≈0．833，1/9＝0．1·≈0．111，1/11＝0．0·9·≈0．0909；

　　1/7＝0．1·42857·，2/7＝0．2·85714·，3/7＝0．4·28571·；

　　4/7＝0．5·71428·，5/7＝0．7·14285·，6/7＝0．8·57142·。

　　（三）需要熟记的一些无限不循环小数

　　π＝3．14151926…，因此在一些情况下π^2≈10。

七、余数相关问题

　　余数基本关系式：

被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）

　　除数：

在除法算式中，除号后面的数叫做除数。

如：

8÷2=4，则2为除数，8为被除数

　　被除数：

除法运算中被另一个数所除的数,如24÷8=3,其中24是被除数

　　余数基本恒等式：

被除数=除数×商＋余数

　　推论：

被除数＞余数×商（利用上面两个式子联合便可得到）

　　常见题型

　　余数问题：

利用余数基本恒等式解题

　　同余问题：

给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题

　　常用解题方法：

代入法、试值法

　　注意：

对于非特殊形式的同余问题，如果运用代入法和简单的试值法无法得到答案，那么这样的题目基本是不会涉及的，考生无需再做特别准备。

八、日历问题

　　平年与闰年

　　判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天28天闰年年份可以被4整除366天29天

　　大月与小月

　　包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31天小月二、四、六、十一月30天（2月除外）

九、平均数问题

　　平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

它是反映数据集中趋势的一项指标。

公式为：

总数量和÷总份数=平均数；平均数×总份数=总数量和；总数量和÷平均数=总份数。

解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

十、工程问题

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系：

工作量=工作效率×时间；所需时间=工作量÷工作效率

十一、数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。

　　数字特性法在公务员录用考试《行政职业能力测验》考试数量关系题的解答中非常简便有效，因而掌握数字特性法是提高考生《行政职业能力测验》考试解题速度有效方法之一。

　　国家公务员网专家在解读奇偶运算基本法则、整除判定基本法则、倍数关系核心判定特征等数字特性法的三大基本内容基础上，以国家公务员录用考试、浙江、江苏、北京、上海等省市公务员录用考试历年真题为例，阐述数字特性法在公务员录用考试《行政职业能力测验》考试数量关系解题中的运用。

掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。

（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

　　【基础】

　　奇数±奇数=偶数；

　　偶数±偶数=偶数；

　　偶数±奇数=奇数；

　　奇数±偶数=奇数。

　　【推论】

　　1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

　　2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

　　1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

　　能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

　　能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

　　能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

　　一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

　　一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；

　　一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

　　2．能被3、9整除的数的数字特性

　　能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

　　一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

　　3．能被11整除的数的数字特性

　　能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

　　（三）倍数关系核心判定特征

　　如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

　　如果x＝y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

　　如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

十二、基数法

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

　　解：

仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

　　23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=123

　　6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：

102+100+99+101+98

　　解：

方法1：

仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.

　　102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500

　　方法2：

仔细观察，可将5个数重新排列如下：

（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

　　102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500

　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.

　　求22+24+26+……+42的和

　　A348　　B350　　C352　　D354

题解析：

本题所用公式为（首项+末项）÷2×项数，项数=（末项-首项）÷公差+1，所以，本题的项数=（42-22）÷2+1=11，答案为（22+42）÷2×11=352。

故本题的正确答案为C

十三、核心提示：

所谓“整体消去法”，指在计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法。

【例1】191919÷373737×185＝（A） A．95   B．123   C．135   D．151

【解析】原式＝19×10101÷（37×10101）×185＝19×185÷37＝95，选A。

【例2】3434×350－35350×34的值是？

（D）A．35   B．34   C．1   D．0

【解析】原式＝34×101×35×10-35×1010×34=（34×1010×35）-（35×1010×34）=0

【例3】计算：

（0．34×2400×0．25＋3×

＋26．25÷

）÷

＋8的值为（）　　A．1768   B．812   C．1919   D．238

【解析】原式＝（

×2400×

＋3×

＋

×3）×

＋8=

（34×24+3×15+3×105）×

＋8=

×

（34×24+3×120）×13+8=147×13+8

由147×13的尾数为1，故147×13+8的尾数为9，因此本题的答案为C。

【例4】

十四、凑整法

凑整法是公务员录用考试、大学生村官考试、选调生考试等公职考试中的行政职业能力测验考试数量运算题常用解题技巧与方法。

在本文中国家公务员网概括了凑整法的常用三种方法，并通过江苏省、河南省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。

　　 数学运算中的凑整法一般包括以下三种：

　　 □加/减法凑整法：

通过交换运算次序，把可以通过加/减法得到较整的数先进行运算。

　　 □乘/除法凑整法：

通过交换运算次序，把可以通过乘/除法得到较整的数先进行运算。

　　 □参照凑整法：

将一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后进行修正的方法。

　　凑整法不仅仅是一种“运算方法”，更重要的是一种“运算思想”，需要考生灵活应用并学会拓展。

下文中国家公务员网将以江苏省、河南省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。

【例1】2035÷43×602÷37÷14的值等于（B）A．11B．55C．110D．220

【解析】2035÷37＝55，602＝43×14，所以答案是55，选B。

【例2】算式12

×800×0.5×0.125×90×0.01的值是（C）A．11   B．55   C．110   D．220

【例3】

×83÷

×83=（D）A．1　　B．83　　C．2209　　D．6889

【解析】

×83÷

×83=

÷

×83×83=83×83

凑整思想：

这里主要提一下凑“7”法、凑“3”法与凑“9”法。

【例4】今天是星期一，则“1＋3＋4＋5＋7＋8＋9＋10＋12”天后星期几？

（A）

A．星期四　　B．星期五　　C．星期六　　D．星期日

【解析】1＋3＋4＋5＋7＋8＋9＋10＋12=（1＋5＋8）＋（3＋4）＋7＋（9＋12）＋10，其中的（1＋5＋8）、（3＋4）、7、（12＋9）四项都可以被7整除，可以不看，只剩下的10这一项，10除以7余3，因此可知“1＋3＋4＋5＋7＋8＋9＋10＋12”天后为星期四。

十五、数学计算方法

凑政法：

就凑整法而言，在看到25和4时将这两者组合起来优先相乘，这是大家对凑整法的最初印象，也是凑整法最基本的应用。

但这种考查方式在国家公务员录用考试中很少出现了。

国家公务员录用考试中对凑整法的要求提高到考生能够自己想到凑出适当的数来满足凑整法的需求，例如看到25时，不能寄希望于考题中给出一个4，而要想到自己去搭配一个4。

凑整法的再一个更高层次的要求是：

明白凑整法更本质的是一种思想。

这种思想是要求考生能够在考题中凑出任何自己需要的数字，这个数字不一定是25或者125，而是自己需要的数字，例如在星期日期问题中，本质的凑整是凑出7这个常用数字。

　　尾数法：

尾数法是数量关系中特别常用的方法，其适用的范围并不局限于计算问题，而是可以广泛的应用到各种数量关系的问题中。

应用尾数法的要求就是：

选项中出现尾数不同。

在计算的时候，要时刻注意是不是可以应用尾数法。

　　分组或消去法：

在计算问题中，如果题目项数比较多时，常见的思路有两个，一是分组，二是消去。

所谓分组，就是对题目中给出的各个项，在适当的划分后可以保证每一组内都等于同一个数，则分组可以快速得到相应的答案。

所谓消去，其实是一种特殊的分组，其特殊在分组后每组内的值都为零，也即相应的项完成一个相消的关系。

　　公式法：

公务员考试行政职业能力测验中的数学运算部分常用公式并不多，诸如完全平方和差公式、立方和差公式、平方差公式等，在国家公务员录用考试中考查较少，记住公式即可。

　　估算法是常用方法之一，应用估算法的环境是选项差异较大，而所谓选项之间的差异一般是用除法衡量而不是用减法衡量，例如0.1与0.5属差异比较大的情形，因为后者是前者的5倍，在计算式中做适当的估算不会影响最终的结果，而801与790则属于差异较小的选项，因为两者之间的比例值十分接近于1。

十六、多位数

【阅读提示】多位数的基本概念是公务员录用考试、大学生村官考试、选调生考试等公职考试中的行政职业能力测验考试数量运算题常用解题技巧与方法。

在本文中国家公务员网阐述了如何运用多位数的基本概念通过直接代入法速解数量运算中数字相关问题，并通过江苏省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。

　　多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字”的问题。

掌握多位数问题首先要掌握多位数的基本概念：

　　1位数从1到9共9个数9个数字；2位数从10到99共90个数180个数字

　　3位数从100到999共900个数2700个数字；4位数从1000到9999共9000个数36000个数字

　　……另外一定要学会“直接代入法”法，这个方法在解决多位数问题时显得非常重要。

　　【例1】在999张牌上分别写上数001，002，003……998，999。

甲、乙两人分这些纸牌，分配方法是：

凡纸牌上写的三位数字的三个数码都不大于5的纸牌属于甲，凡牌上有一个或一个以上的数码大于5的纸牌属于乙。

例如，324，501等属于甲，而007，387，923等属于乙，则甲分得牌的张数为（A）？

【2008年江苏省公务员录用考试行政职业能力测验A类卷－15题】

　　A．215　　B．216　　C．214　　D．217

　　【解析】当牌上的数字为00X（X为1、2、3、4、5中任一个）时，共有5张属于甲的；

　　当牌上的数字为0XY（X为1、2、3、4、5中任一个，Y为0、1、2、3、4、5中任一个）时，共有5×6=30张属于甲的；

　　当牌上的数字为XYZ（X为1、2、3、4、5中任一个，Y为0、1、2、3、4、5中任一个，Z为0、1、2、3、4、5中任一个）时，共有5×6×6=180张属于甲的；

　　因此属于甲的牌一共有5+30+180=215张。

　　【例2】编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？

（B）【2008公务员录用考试行政职业能力测验－51题】

　　A．117　　B．126　　C．127　　D．189

　　【解析】当书页上的数字为00X（X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个）时，共有9个数，9个数字；

　　当书页上的数字为0XX（X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个）时，共有90个数，180个数字；

　　由此可知，当书页上的数字为XYZ（X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个，Y为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个，Z为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个）时，只有（270-180-9）=81个数字27个数

故这本书一共有9+90+27=126页

十七、余数问题

【阅读提示】公务员录用考试行政职业能力测验考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。

在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。

在下文中国家公务员网专家以2009年国家公务员录用考试行政职业能力测验考试真题等两道题为例，说明余数问题的解题思路。

【例1】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。

问被除数，除数，商，余数之和是多少（）A．98　　B．107　　C．114　　D．125

【解答】余数是8，而除数应该大于余数，结合除数是一位数，知除数为9，商是两位数，结合被除数也是两位数，则可知商只能是10（否则若商不小于11，则被除数大于9*11+8=107）由此出发知被除数为9*10+8=98，于是四个数的和为98+9+10+8=125

【点评】公务员录用考试行政职业能力测验考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。

在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。

这是一种比较高的能力要求，是公务员录用考试中能力考查的要求之一，例如在2009年国家公务员录用考试行政职业能力测验考试真题中就对这种分析能力有所考查，见下例。

【例1】用六位数字表示日期，如980716表示1998年7月16日，如用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少个？

A．12　　B．29　　C．0　　D．1

【解答】假设2009年AB月CD日，满足要求，它可以简写成“09ABCD”，由于月份当中不能有0，所以不能是01-10月，而11月有两个1，也应该排除，于是：

AB＝12，此时：

原时刻可以简写成“0912CD”，由于已经出现了0、1、2，所以肯定不是01-30号，而31号里又有1了，排除。

综上：

无解。

故满足题目要求的日期为0个。

十八、平均数

甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？

把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好。

篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？

把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.

要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们

例1一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，87，94，100，98.那么他的平均成绩是多少？

解：

方法1把所有分数加起来，除以次数，即（95＋87＋94＋100＋98）÷5＝94.8.

　　方法2先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即

[（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）]÷5+87=（8+0+7+13+11）÷5+87=7.8+87=94.8.

对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.

　　方法1：

各个数的总和÷数的个数

　　方法2：

基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.

这两种方法将形成两种解题思路.

　　方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.

　　一、一些简单的问题

求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.

例2小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？

按照例1中的两种思路，有两种计算方法：

先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有

（89×4+97）÷5=90.6（分）.

从算每一次“差”的平均入手，就有89+（97-89）÷5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.

例3小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？

解：

两种思路，两种计算方法：

从总分数（总成绩）来考虑.

　　第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩=88.4×5-87×4=94（分）.

从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高88.4-87.

因此，第5次得分应是87+（88.4-87）×5=94（分）.

例4小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？

解：

平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？

（100-84）÷（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第8次.

例5寒假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？

解：

前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64）÷4=73（页）.

很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：

图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是3.5÷4=0.8.由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77（页）.

例6甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与