一次函数与四边形综合题轻舟数学.docx
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一次函数与四边形综合题轻舟数学
一次函数与四边形综合题——轻舟数学
一.选择题(共1小题)
1.(2011•杭州自主招生)如图,直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象,直线PB是一次函数y=﹣2x+m(m>n)的图象.若PA与y轴交于点Q,且S四边形PQOB=
,AB=2,则m,n的值分别是( )
A.
3,2
B.
2,1
C.
D.
1,
二.解答题(共16小题)
2.(2009春•静安区期末)如图,一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B,四边形ABCD是正方形.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求直线BD的表达式.
3.(2010秋•常州期末)如图,已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,﹣1),并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D.
(1)若点D的横坐标为1,求四边形AOCD的面积(即图中阴影部分的面积);
(2)在第
(1)小题的条件下,在y轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形.如果存在,求出点P坐标;如果不存在,说明理由.
(3)若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限,则系数k的取值范围是 .
4.(2012•绥化)如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点坐标是(0,0),B点坐标是(3,4),矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上,且F点的坐标是(2,4).
(1)求G点坐标;
(2)求直线EF解析式;
(3)点N在x轴上,直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2014•温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;
(2)当点C在线段OB上时,求证:
四边形ADEC为平行四边形;
(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中,设▱PCOD的面积为S.
①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;
②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.
6.(2012•鞍山)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:
△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
7.(2011•牡丹江)如图,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,点D在边0C上,点E在边OA上,把矩形沿直线DE翻折,使点O落在边AB上的点F处,且tan∠BFD=
.若线段OA的长是一元二次方程x2﹣7x﹣8=0的一个根,又2AB=30A.请解答下列问题:
(1)求点B、F的坐标;
(2)求直线ED的解析式:
(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图1,在正方形ABOC中,BD平分∠OBC,交OA于点D.
(1)若正方形ABOC的边长为2,对角线BC与OA相交于点E.则:
①BC的长为 ;②DE的长为 ;③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长,请找出它们的数量关系?
(2)如图2,当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时,角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1,连接B1C1交OA于P.B1D平分∠OB1C1,交OA于点D,过点D作DE⊥B1C1,垂足为E,请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在
(2)的条件下,当B1E=6,C1E=4时,求直线B1D的解析式.
9.(2013•会泽县校级模拟)如图所示,矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,使CE=AC,连接AE,点F是AE的中点,连接BF、DF,求证:
BF⊥DF.
10.(2013•大连二模)如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°.
(1)请直接写出线段PG与PC的位置关系及
的值.
(2)若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变,如图2.那么你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
若没变化,直接写出结论,若有变化,写出变化的结果.
(3)在图1中,若∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请直接写出
的值(用含α的式子表示).
11.(2013•重庆模拟)如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=4厘米,OC=3厘米,线段OA上一动点D,以1厘米/s的速度从O点出发向终点A运动,线段AB上一动点E也以1厘米/s的速度从A点出发向终点B运动.当E点到达终点B后,D点继续运动直至到达终点A.
(1)试写出多边形ODEBC的面积S(平方厘米)与运动时间t(s)之间的函数关系式.
(2)在
(1)的条件下,当多边形ODEBC的面积最小时,在坐标轴上是否存在点P,使△PDE为等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在某一时刻将△BED沿着BD翻折,使点E恰好落在BC边的点F上.求出此时时间t的值.若此时在x轴上存在一点M,在y轴上存在一点N,使四边形MNFE的周长最小,试求出此时点M、N的坐标.
12.(2012•青海)如图(*),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:
小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:
如图1,取AB的中点M,连接EM.
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC(ASA)
∴AE=EF
(2)探究2:
小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:
小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?
若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.
13.(2012•葫芦岛一模)在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
(1)如图1,证明平行四边形ECFG为菱形;
(2)如图2,若∠ABC=90°,M是EF的中点,求∠BDM的度数;
(3)如图3,若∠ABC=120°,请直接写出∠BDG的度数.
14.(2010•乐山)在△ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线,垂足分别是G、E、F,设AG=h1,BE=h2,CF=h3.
(1)如图1所示,当直线l⊥AD时(此时点G与点O重合).求证:
h2+h3=2h1;
(2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直.
①如图2所示,当点B、C在直线l的同侧时,猜想
(1)中的结论是否成立,请说明你的理由;
②如图3所示,当点B、C在直线l的异侧时,猜想h1、h2、h3满足什么关系.(只需写出关系,不要求说明理由)
15.(2009•哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(﹣3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
16.(2014春•武汉月考)在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,点A(0,m),点C(n,0),且m、n满足
+(n﹣2)2=0.
(1)求点A、C的坐标;
(2)如图1,点D为第一象限内一动点,连CD、BD、OD,∠ODB=90°,试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图2,点F在线段OA上,连BF,作OM⊥BF于M,AN⊥BF于N,当F在线段OA上运动时(不与O、A重合),
的值是否变化?
若变化,求出变化的范围;若不变,求出其值.
17.(2014春•青山区期末)如图
(1),直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点,以OA、OC为边作正方形OABC,E是边OC上一点,将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D.
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若直线AD的解析式为y=﹣
x+3,求直线DE的解析式;
(3)如图
(2),若∠OAE=30°,过点E作EF⊥AC于点H,交AD于点F,求
的值.