第二章 三角形 练习题教师用卷.docx

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第二章三角形练习题教师用卷

第二章三角形练习题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（　　）

A.18cmB.21cmC.18cm或21cmD.无法确定

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键，题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】

解：

（1）当腰是5cm时，三角形的三边是：

5cm，5cm，8cm，能构成三角形，

则等腰三角形的周长=5+5+8=18cm；

（2）当腰是8cm时，三角形的三边是：

5cm，8cm，8cm，能构成三角形，

则等腰三角形的周长=5+8+8=21cm．

因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．

故选C．

2.若（a-2）2+|b-3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）

A.6B.7C.8D.7或8

【答案】D

【解析】解：

∵（a-2）2+|b-3|=0，

∴a-2=0，b-3=0，

解得a=2，b=3，

①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是2+2+3=7；

②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是3+3+2=8．

故选：

D．

先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：

①当腰是2，底边是3时，②当腰是3，底边是2时，求出即可．

本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．

3.设三角形三边之长分别为3，8，1-2a，则a的取值范围为（　　）

A.-6＜a＜-3B.-5＜a＜-2C.-2＜a＜5D.a＜-5或a＞2

【答案】B

【解析】解：

由题意，得

8-3＜1-2a＜8+3，

即5＜1-2a＜11，

解得：

-5＜a＜-2．

故选：

B．

根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即可．

本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运用，解答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键．

4.

如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（　　）

A.3

B.2.5

C.2

D.1.5

【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键．由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用AE=BE-AB，求得答案．

【解答】

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠E=∠ECD，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠ECD，

∴∠E=∠BCE，

∴BE=BC=5，

∴AE=BE-AB=5-3=2；

故选C．

5.

如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（　　）

A.6

B.8

C.10

D.无法确定

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点有关知识，垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解.

【解答】

解：

∵DE是AC的垂直平分线，

​∴AD=DC，

△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10.

故选C.

6.

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于（　　）

A.20°B.40°C.50°D.70°

【答案】C

【解析】解：

∵∠ABC=90°，∠C=20°，

∴∠BAC=70°，

∵DE是边AC的垂直平分线，

∴EC=EA，

∴∠EAC=∠C=20°，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=50°，

故选：

C．

根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，求出∠EAC，计算即可．

本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

7.如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（）

A.SSS

B.SAS

C.AAS

D.ASA

【答案】D

【解析】解：

小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，

他根据的定理是：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．

故选：

D．

根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．

本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

8.在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD=2，CE=4，则AB：

BC=（　　）

​

A.3：

4B.4：

3C.1：

2D.2：

1

【答案】C

【解析】解：

∵AD、CE分别是△ABC的高，

∴S△ABC=

AB•CE=

BC•AD，

∵AD=2，CE=4，

∴AB：

BC=AD：

CE=2：

4=

．

故选C．

利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．

本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．

9.

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF=AC，则∠ABC等于（　　）

A.45°

B.48°

C.50°

D.60°

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是全等三角形的判定和性质有关知识，根据垂直的定义得到∠ADB=∠BFC=90°，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可.

【解答】

解：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB=∠BEC=90°，

∴∠FBD=∠CAD，

在△FDB和△CAD中，

，

∴△FDB≌△CDA，

∴DA=DB，

∴∠ABC=∠BAD=45°，

故选A.

10.

如图，已知∠1=2，AC=AD，从下列条件：

①AB=AE②BC=ED③∠C=∠D④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有（　　）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】C

【解析】

解：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，

即∠CAB=∠DAE，

①加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；

②加上BC=ED不能证明△ABC≌△AED；

③加上∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；

④加上∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；

故选：

C．

由∠1=∠2结合等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．

此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

11.如图，△ABC≌△BDE，若AB=12，ED=5，则CD的长为（　　）

​

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边．先根据全等三角形的对应边相等得出AB=BD=12，BC=DE=5，再由CD=BD-BC，将数值代入计算即可求解．

【解答】

​解：

∵△ABC≌△BDE，AB=12，ED=5，

∴AB=BD=12，BC=DE=5，

∴CD=BD-BC=12-5=7．

故选C．

12.

如图，△ACB≌△DCE，∠BCE=25°，则∠ACD的度数为（　　）

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

【答案】B

【解析】解：

∵△ACB≌△DCE，∠BCE=25°，

∴∠DCE=∠ACB，

∵∠DCE=∠DCA+∠ACE，∠ACB=∠BCE+∠ECA，

∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ECA，

∴∠DCA=∠BCE=25°，

故选：

B．

根据△ACB≌△DCE可得出∠DCE=∠ACB，然后得到∠DCA=∠BCE，即可求得答案．

本题考查了全等三角形的性质的应用，能求出∠ACD=∠BCE是解此题的关键，注意：

全等三角形的对应角相等．

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

13.

在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2=______度．

【答案】90

【解析】解：

在△ACM和△BAN中，

，

∴△ACM≌△BAN，

∴∠2=∠CAM，即可得∠1+∠2=90°．

故答案为：

90．

根据图形可判断出△ACM≌△BAN，从而可得出∠1和∠2互余，继而可得出答案．

此题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是判断出△ACM≌△BAN，可得出∠1和∠2互余，难度一般．

14.

已知：

在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是______．

【答案】32

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：

①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=

▱ABCD的面积，进而可得问题答案．

【解答】

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠BCA，∠AFE=∠CEF，

又∵AO=CO，

在△AOE与△COF中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴△COE的面积为3，

∵S△BOF=5，

∴△BOC的面积为8，

∵△BOC的面积=

▱ABCD的面积，

∴▱ABCD的面积=4×8=32，

故答案为32．

15.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．

【答案】17

【解析】解：

（1）若3为腰长，7为底边长，

由于3+3＜7，则三角形不存在；

（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为7+7+3=17．

故答案为：

17．

求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是______cm2．

【答案】24

【解析】解：

∵DE是BC边上的垂直平分线，

∴BD=DC，

∵△ABD的周长为14cm，

∴BD+AD+AB=14cm，

∴AB+AD+CD=14cm，

∴AB+AC=14cm，

∵AC=8cm，

∴AB=6cm，

∴△ABC的面积是

AB×AC=

×6×8=24（cm2），

故答案为：

24．

根据线段垂直平分线性质得出BD=DC，求出AB+AC=14cm，求出AB，代入

×AB×AC求出即可．

本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线性质，注意：

线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

17.已知

，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______．

【答案】直角三角形

【解析】解：

由题意得：

a-6=0，2b-16=0，10-c=0，

解得：

a=6，b=8，c=10，

∵62+82=102，

∴三角形为直角三角形，

故答案为：

直角三角形．

根据非负数的性质可得a-6=0，2b-16=0，10-c=0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状．

此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

18.

如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，MN与AC交于点O，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为______°．

【答案】62

【解析】【分析】

本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．

【解答】

解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

在△AMO和△CNO中，

∵

，

∴△AMO≌△CNO（ASA），

∴AO=CO，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∵∠DAC=28°，

∴∠BCA=∠DAC=28°，

∴∠OBC=90°-28°=62°．

故答案为62．

19.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，则DE=______cm．

【答案】2

【解析】解：

∵AB=3cm，AC=8cm，

∴BC=8-3=5cm，

∵△ABD≌△EBC，

∴BE=AB=3cm，BD=BC=5cm，

∴DE=BD-BE=5-3=2cm．

故答案为：

2．

先求出BC，再根据全等三角形对应边相等可得BE=AB，BD=BC，然后根据DE=BD-BE计算即可得解．

本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，熟记性质是解题的关键．

20.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：

______．

【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等

【解析】解：

题设为：

对顶角，结论为：

相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：

如果两个角是对顶角，那么它们相等，

故答案为：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．

命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．

本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．

21.

如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=______．

【答案】15°

【解析】【分析】

此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：

三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．

【解答】

解：

∵AD是等边△ABC的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=

∠BAC=

×60°=30°，

∴∠ADC=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=

=75°，

∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．

故答案为15°．

22.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD，若CD=DE=1，则AB的长为______．

【答案】2

【解析】解：

∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE=1，

∴∠CAD=∠BAD=

∠BAC=30°，

∵在△ADE中，∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴AD=2DE=2，

∵在△ADC中，∠C=90°，

∴AC=

=

，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=90°-∠BAC=30°，

∴AB=2AC=2

．

故答案为2

．

首先根据线段垂直平分线的判定得出AD平分∠BAC，在△ADE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，在△ADC中利用勾股定理求出AC，然后在△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC=2

．

本题考查了含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了勾股定理，根据线段垂直平分线的判定得出∠CAD=∠BAD=

∠BAC=30°是解题的关键．

三、解答题（本大题共15小题，共120.0分）

23.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．

（1）求证：

△ABE≌△CBD；

（2）证明：

∠1=∠3．

【答案】证明：

（1）∵∠1=∠2，

∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（2）∵△ABE≌△CBD，

∴∠A=∠C，

∵∠AFB=∠CFE，

∴∠1=∠3．

【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；

（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．

24.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．

（1）试说明DG∥BC的理由；

（2）如果∠B=54°，且∠ACD=35°，求的∠3度数．

【答案】

（1）证明：

∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴CD∥EF，

∴∠2=∠BCD．

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠BCD，

∴DG∥BC．

（2）解：

在Rt△BEF中，∠B=54°，

∴∠2=180°-90°-54°=36°，

∴∠BCD=∠2=36°．

又∵BC∥DE，

∴∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+36°=71°．

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：

（1）找出∠1=∠BCD；

（2）找出∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．

（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2=∠BCD，再根据∠1=∠2即可得出∠1=∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；

（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DE即可得出∠3=∠ACB，通过角的计算即可得出结论．

25.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：

BF=AC；

（2）若CD=3，求AF的长．

【答案】

解：

（1）∵∠ABC=45°，AD⊥BD，

∴∠BAD=45°，

∴AD=BD，

∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠BFD=∠ACD，

在△BDF和△ACD中，

，

∴△BDF≌△ADC（AAS），

∴BF=AC；

（2）连接CF，

​

∵△BDF≌△ADC，

∴DF=DC，

∴△DFC是等腰直角三角形．

∵CD=3，CF=

CD=3

，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线．

∴AF=CF，

∴AF=3

．

【解析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．

（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD=BD，即可求证△BDF≌△ADC，即可解题；

（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF=DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE=EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论.

26.

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1=∠2，CD=BE．CD与BE相交于点O．求证：

（1）AB=AC．

（2）OB=OC．

【答案】证明：

（1）在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AB=AC；

（2）由

（1）可知AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠1=∠2，

∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC．

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，利用条件证明△ABE≌△ACD是解题的关键.

（1）由条件可证明△ABE≌△ACD，可证得结论；

（2）由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，则可求得∠OBC=∠OCB，可证得OB=OC．

27.已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE

（1）求证：

△ABE≌△BCD；

（2）求出∠AFB的度数．

【答案】解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC（等边三角形三边都相等），

∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（SAS）．

（2）∵△ABE≌△BCD（已证），

∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），

∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）

∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，

∴∠AFB=180°-60°=120°．

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△BCD，注意：

全等三角形的对应角相等．

（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD；

（2）根据△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根据三角形的外角性质求出∠AFB即可．

28.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：

∠AEB=∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

【答案】解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC．

∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，

∴∠DAE=60°，AE=AD．

∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．

∴∠EAB=∠DAC．

在△EAB和△DAC中，

∵

，

∴△E