全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案.docx

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全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案 

　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

　　1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（）

　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.

　　2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）

　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.[-3，3]

　　3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）

　　A.　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.

　　4.设函数f（x）=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于（）

　　A.　　　　　B.　　　　　　C.-1　　　　　　D.1

　　5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）

　　6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：

A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）

　　A.62　　　　　　B.66　　　　　　C.68　　　　　　D.74

　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

　　7.在平面直角坐标系内，有四个定点A（-3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________.

　　8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________.

　　9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________.

　　10.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________.

　　11.已知函数，则f（x）的最小值为________.

　　12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）.

　　三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

　　13.设，求证：

当正整数n≥2时，an+1＜an.

　　14.已知过点（0，1）的直线l与曲线C：

交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.

　　15.设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：

存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：

（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）=fi（x）；

（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x.

2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案

　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

　　1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（B）

　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.

　　解：

如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角A-PB-C的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，

由此得.在△AMC中，由余弦定理得.

　　2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（A）

　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.[-3，3]

　　解：

令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.

　　一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立.由于

　　，

　　所以，从而上述不等式等价于.

　　3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于（D）

　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.

　　解：

甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+10＞0得2b＜a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为.

　　4.设函数f（x）=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于（C）

　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.-1　　　　　　D.1

　　解：

令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得.

　　一般地，由题设可得，，其中且，于是af（x）+bf（x-c）=1可化为

　　，即

　　，所以

　　.

　　由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，

　　若b=0，则由

（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0.所以，由

（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）.当c=2kπ时，cosc=1，则

（1）、（3）两式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1.由

（1）、（3）知，所以.

　　5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（A）

　　解：

设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）.

　　当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D.由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A.

　　6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：

A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（B）

　　A.62　　　　　　B.66　　　　　　C.68　　　　　　D.74

　　解：

先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B.证明如下：

　　将{1，2，…，49}分成如下33个集合：

{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个.由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B.

　　如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，

B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66.

　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

　　7.在平面直角坐标系内，有四个定点A（-3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为（）.

　　解：

如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值.

　　8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于（）.

　　解：

因为，所以，即　　.因为，，，所以，即.设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以.

　　9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于（）.

　　解：

如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：

一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则.同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为.这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为.

　　10.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）.

　　解：

因为，故由已知条件知道：

1+q+q2为，其中m为正整数.令，则

　　.由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知.

　　11.已知函数，则f（x）的最小值为（）.

　　解：

实际上，设，则g（x）≥0，g（x）在上是增函数，在上是减函数，且y=g（x）的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g（x2）=g（x1）.于是

　　，而f（x）在上是减函数，所以，即f（x）在上的最小值是.

　　12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有（3960）种（用数字作答）.

　　解：

使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：

2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种.所以，符合题设条件的填法共有722-72-16×72=3960种.

　　三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

　　13.设，求证：

当正整数n≥2时，an+1＜an.

　　证明：

由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，

　　有

　　，即an+1＜an.

　　14.已知过点（0，1）的直线l与曲线C：

交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.

　　解：

设点M、N的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为（xp，yp）.若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

　　由方程组消去y，得，即（k-1）x2+x-1=0.由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4（k-1）>0…

（1），…

（2），…（3），由此解得.

　　对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1