判定平行四边形的五种方法.docx
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判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢?
下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
分析:
由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.
解：
连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,
所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.
分析:
设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.
解：
设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,
所以四边形ABCF是平行四边形.
同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.
因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.
分析:
题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.
解：
因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,
所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，
所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
例4如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？
为什么？
分析：
由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解：
四边形AECF是平行四边形.
理由：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
所以AF∥EC.又因为∠1=
∠DAB，∠2=
∠BCD，
所以∠1=∠2.因为AD∥BC，所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3，所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：
（1）证两组对边分别平行；
（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、
两组对边分别平行
如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF
（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
解：
（1）选证△BDE≌△FEC
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
（2）四边形ABDF是平行四边形
理由：
由
（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评：
当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知：
如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F
（1）求证：
△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？
并说明理由。
分析：
（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
解：
（1）∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：
当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
求证：
四边形DAEF是平行四边形；
分析：
利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：
∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评：
题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：
如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：
四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析：
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评：
当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗？
理由。
（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？
说出你的结论和理由：
。
分析：
因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
点评：
（2）也可这样证明：
由
（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路1：
证明两组对边分别相等
例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：
四边形ACEF是平行四边形.
证明：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DF⊥BC，DB=DC.
∴∠FDB=∠ACB=90°.
∴DF∥AC.∴CE=AE=
AB.
∴∠1=∠2.
又∵EF∥AC，AF=CE=AE，
∴∠2=∠1=∠3=∠F.
∴△ACE≌△EFA.
∴AC=EF.
∴四边形ACEF是平行四边形.
思路2：
证明两组对边分别平行
例2已知：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.
求证：
四边形AEFC是平行四边形.
证明：
∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.
∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.
∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.
∵E是AB的中点，∴BD=CD.
∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，
∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.
∴AB∥CF.
∴四边形AEFC是平行四边形.
思路3：
证明一组对边平行且相等
例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.
求证：
四边形ENFM是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C.
又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.
∴∠1=∠2，DE=BF.
∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴EM=FN.
∵DC∥AB，∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.∴EM∥FN.
∴四边形ENFM是平行四边形.
E
4
二、考虑“对角”关系
思路：
证明两组对角分别相等
例4如图4，在正方形ABCD中，点E、
F分别是AD、BC的中点.
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形.
证明：
（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=
90°，∵AE=
AD，CF=
BC，
∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.
（2）由
（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠BED=∠DFB.
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，
∴∠EBF=∠EDF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路：
证明两条对角线相互平分
例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.
求证：
四边形AP1CP2是平行四边形.
证明：
连结AC交BD于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.
∴四边形AP1CP2是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组对边分别平行，如图1,AB∥CD,AD∥BC。
1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。
1.3两组对角分别相等，
如图1,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。
1.4一组对边平行且相等，如图1,AB∥CD,AB=CD。
1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。
2利用定义和定理间接识别平行四边形
2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB∥CD,∠ABC=∠ADC。
证明：
∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC∴∠ADC＋∠BCD＝180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）
2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,AB∥CD，OA=OC。
证明：
∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA在⊿AOB和⊿COD中，∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD∴⊿AOB≌⊿COD（ASA）∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）
2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，
如图1,∠DAB+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD=180°。
证明：
∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC又∵∠ABC+∠BCD=180°
∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行）
3不能识别为平行四边形
3.1两组不同的邻角互补，
如图2,∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,可以画出梯形。
3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。
两组邻边相等，如图3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。
两对邻角相等，如图4,∠A=∠D,∠B=∠C,可以画出等腰梯形。
3.3一组对边平行且另一组对边相等，
如图4,AD∥BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。
3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图5：
①作∠ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点A、B、C作⊙O1,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作⊙C,④以AC为弦作⊙O1的等圆⊙O2,交⊙C于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边形，而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即AB=CE,∠ABC=∠AEC。
3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图6：
①作线段AB,②过线段AB的中点O作直线CD,③过点B作BE⊥CD,垂足为E,④以点E为圆心，小于线段OE的长为半径作⊙E,交CD于F、G两点，⑤以点A为圆心，BF长为半径作⊙A,交直线CD于H、I两点，则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB。
说明一个四边形是平行四边形的思路
于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？
要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
例1如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF．
图1
分析：
由AD是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE//AC，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．
解：
因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=ED，
又因为DE//AC，EF//BC，所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
所以ED=CF，所以AE=CF．
二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．
例2如图2，AE、CF分别是ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形．
图2
解：
在ABCD中，因为∠DAB=∠BCD，又因为∠1=
∠DAB，∠2=
∠BCD，
所以，∠1=∠2，
因为AB//CD，所以∠3=∠1，∠4=∠2，
所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，
所以四边形AECF是平行四边形．
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3如图3，在□ABCD中，AC、BD相交于O，EF过O分别交AD、BC于E、F，GH过O分别AB、CD交于G、H．试说明四边形EGFH是平行四边形．
图3
解：
在□ABCD中，因为AB//CD，所以∠1=∠2，
因为OA=OC，∠3=∠4，所以△AOG≌△COH，所以OG=OH，
同理OE=OF，
所以四边形EGFH是平行四边形．
构造平行四边形解题
邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．
一、求线段的长
例１如图1，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于cm．
分析：
作QD//AB，交BC于点D，连接PD，MD．由△ABC为正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四边形APDQ为平行四边形．所以AMD是平行四边形APDQ的对角线．所以AD=2AM=2×19=38（cm）．由△ABD≌△CBP可得PC=AD．所以PC=38cm．
二、证明线段相等问题
例2如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．求证：
AE=AC．
分析：
连接BD．由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE．因为AC=BD，所以AE=AC．
三、证明线段和差问题
例3如图3，△ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E，G．求证：
DE+FG=BC．
分析：
作GH//AB交BC于点H．则四边形BHGF是平行四边形．所以GH=BF=AD，FG=BH．因为DE//BC，GH//AB，所以∠1=∠C，∠A=∠2．所以△ADE≌△GHC．所以DE=HC．因为BH+CH=BC，所以DE+FG=BC．
四、证明线段倍分问题
例4如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：
AB=2OF．
分析：
连接BE．易知四边形ABEC为平行四边形．由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF，AO=OC，所以OF为△CAB的中位线，从而得出AB=2OF．
五、证明两直线平行问题
例5如图5，△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D．求证：
AB//CD．
分析：
连接BD交AC于点O，连接BM，BN．
由AE=BE，AM=MN可得ED//BN；由BF=CF，MN=NC可得BM//FD．所以四边形BMDN是平行四边形．所以OB=OD，OM=ON．所以OA=OC．由此可得出四边形ABCD是平行四边形．所以AB//CD．
六、证明两直线垂直问题
例6如图6，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：
MA⊥BC．
分析：
设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN，HN．则四边形AHNF为平行四边形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180°．因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．
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