完整word版高一数学基本知识点魔方格上学期DOC良心出品必属精品.docx

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第1章集合与函数的概念

第一节集合

集合的含义及表示

1、含义：

一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合

2、集合表示：

用大括号或大写字母表示

3、元素及表示：

集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示

4、元素三性：

确定性、互异性、无序性

5、常见数集：

N、N*、Z、Q、R，奇数集{x|x=2n+1，n∈Z}或{x|x=2n-1，n∈Z}或{x|x=4n±1，n∈Z}，偶数集{x|x=2n，n∈Z}；

6、集合的表示法：

列举法、描述法、Venn图示法；

7、集合的分类：

按元素个数分有限集和无限集，按元素属性分数集、点集、图形集等；

8、空集：

不含任何元素的集合叫做空集，记作。

集合间的关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种

1、子集：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），

也可记为BA（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B

2、相等：

对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，

反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B

3、真子集：

对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作AB（BA），读作A真包含于B（B真包含A）

4、性质：

（1）空集是任何集合的子集，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）传递性：

AB，BCAC；AB，BCAC；

（4）AB，BAA=B。

5、含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。

集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集：

（1）定义：

一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。

（2）性质：

（3）韦恩图表示为：

2、并集：

（1）定义：

一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。

（2）性质：

（3）韦恩图表示为：

。

3、补集：

（1）定义：

全集：

一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。

补集：

对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且xA}。

（2）性质：

（3）韦恩图表示为：

1.2函数及其表示

函数、映射的概念

1、映射的定义：

设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，

那么，就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的映射，记作：

f：

A→B。

2、像与原像：

如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

3、映射f：

A→B的特征：

（1）存在性：

集合A中任一a在集合B中都有像；

（2）惟一性：

集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；

（3）方向性：

从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；

（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

4、函数：

（1）定义（传统）：

如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：

设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称

f：

x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

5、构成函数的三要素：

定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

6、函数的表示方法：

（1）解析法：

如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；

（2）列表法：

用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；

（3）图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：

函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

函数的定义域、值域

1、自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

2、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；

（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；

（4）复合函数的定义域：

如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足的x的集合。

设y=f[g（x）]的定义域为P，则。

3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如（a，b为非零常数）的函数；

（2）利用函数的图象即数形结合的方法；

（3）利用均值不等式；

（4）利用判别式；

（5）利用换元法（如三角换元）；

（6）分离法：

分离常数与分离参数两种形式；

（7）利用复合函数的单调性。

（注：

二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）

区间及无穷的概念

区间：

设a、b是两个实数，而且a＜b：

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；

（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]，这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

无穷：

实数集R可以用区间表示为（+∞，-∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为

[a，+∞），（a，+∞），（-∞，b]，（-∞，b）。

在数轴上表示区间：

注意：

（1）在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点

（2）书写区间记号时：

①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；

②有两个区间端点，且左端点小于右端点；

③两个端点之间用“，”隔开.

1.3函数的基本性质

函数的单调性、最值

1、单调性的定义：

对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；

当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间上的减函数。

如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。

2、判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法，

（1）定义法：

其步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；

③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；

④根据定义作出结论。

（2）复合法：

利用基本函数的单调性的复合。

（3）图象法：

即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

3、最值的定义：

最大值：

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．

最小值：

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值。

函数的奇偶性、周期性

1、函数的奇偶性：

（1）定义：

偶函数：

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。

奇函数：

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。

（2）奇函数与偶函数的图像的对称性：

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：

定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性：

定义：

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的。

2.若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

第二章基本初等函数（Ⅰ）

一次函数的性质与应用:

1、定义：

一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。

2、图象：

是一条直线，过（0，b），（，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

3、性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。

（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

4、应用：

应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。

二次函数的性质及应用:

1、定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

2、二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；

②有对称轴；③有顶点；

④c表示抛物线与y轴的交点坐标：

（0，c）。

3、性质：

二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数；

②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

4、二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：

理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。

（2）应用二次函数求实际问题中的最值：

即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函