22届考生考研数学寒假作业1新大纲精编版闭关修炼必备.docx
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22届考生考研数学寒假作业1新大纲精编版闭关修炼必备
考研数学寒假作业1
第一章函数极限连续（答案在后面）
1.求函数的定义域．
2.判断函数的奇偶性.
3.设为定义在上的偶函数,且时,,求的表达式.
4.求函数的周期.
5.设函数求.
6.设函数求和.
7.设满足,求.
8.设,求.
9.求极限.
10.极限,则存在,使得对有；有
11.设,则的值为（）.
（A）1（B）2（C）（D）均不对
12.求.
13.求
14.设,,求.
15.求极限
16.设数列满足,证明存在,并求该极限.
17.设,,证明极限存在,并求.
18.设,（）,证明极限存在,并求.
19.求
20.求极限.
21.求极限.
22.函数在内是否为时的无穷大？
23当时,与等价的无穷小量是（）.
（A）（B）（C）（D）
24.当时,与是等价无穷小,则（）.
（A）（B）
（C）（D）
25..
26.求.
27.曲线渐近线的条数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
28.曲线的渐近线方程为_________.
29.曲线的渐近线的条数为（）.
（A）0（B）1（C）2（D）3
30.已知在处连续,求.
31.问为何值时,在其定义域内连续.
32.函数的无穷间断点的个数为
33.为何值时,在处连续；为何值时,是可去间断点.
34.函数的可去间断点的个数为（）.
（A）1.（B）2.（C）3.（D）无穷多个.
35.设,讨论的间断点.并判别其类型.
36.证明方程在区间内至少有一个根
37.设在上连续,且,为任意正数,则在内至少存在一个,使.
第一章函数极限连续答案
1.求函数的定义域．
分析要使得有意义,
则
解解不等式,解得,
所以定义域为．
11.判断函数的奇偶性.
分析先看定义域是否关于原点对称,再计算（）是否成立.
解函数的定义域为,关于原点对称.
所以函数为奇函数．
12.设为定义在上的偶函数,且时,,求的表达式.
分析利用偶函数的定义求解.
解因为时,,所以当时,,,又因为是定义在上的偶函数,故,因此当时,,因此
13.求函数的周期.
分析先去掉绝对值再化简,从而得到其周期.
解,由于的周期为,所以函数的周期．
14.设函数求.
分析先写出关于的函数,再写出各段的具体表达式
解
15.设函数求和.
解由于
而对应,这时,对应,这时,
因此,同理,.
16.设满足,求.
解因为,所以,解得
.
17.设,求.
分析先求出与,然后猜想一般项,最后数学归纳法证明.
解
.
若
根据数学归纳法.
18.求极限.
分析因为极限中含以及,所以该极限要分别求左右极限.
解,,
所以.
,所以.
故.
19.极限,则存在,使得对有；有
分析由极限保号性,因为极限存在且大于零,所以存在使得当时有.
解∵,由极限保号性知当时有.,则,即.
同理,有,即.
11.设,则的值为（）.
（A）1（B）2（C）（D）均不对
分析,分子分母是关于的多项式,利用公式的结果求极限.
解法1∵.
解法2=
=,,所以（C）为答案.
12.求.
分析分母上有,而也含,所有要把数列的分母适当放大缩小分子不变,分子才可以出现
解
<<.
即<<.
又.
.
所以,=.
13.求
分析利用数列夹逼准则求该极限
解
又
由夹逼定理得
15.设,,求.
分析利用数列夹逼准则求该极限
解
方法1.
方法2因为,所以,
而,故.
15.求极限
分析利用函数夹逼准则求该极限
解当时,，因此，当时,
由夹逼定理可得当时，有
由夹逼定理可得从而
16.设数列满足,证明存在,并求该极限.
分析数列由递推公式给出,证明极限存在并求其极限,所以用准则II.
解因为,则.
可推得 ,则数列有界.
于是 ,（因当）,则有,可见数列单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.
设,在两边令,得 ,解得,
即.
17.设,,证明极限存在,并求.
分析要证数列极限存在,一方面证明数列单调,另一方面证明数列有界,由于,故如果,则单调递增.
证明先证,用数学归纳法.
当时,因为,所以,结论成立.
假定当时,,那么当时,
因此时,结论也成立,于是,,成立.
再证数列单调.
因为,所以
即,数列单调递增.
由单调有界原理,存在.
设,由两边求极限得,解得,
所以.
18.设,（）,证明极限存在,并求.
分析由于,故如果,则单调递增.
证明先证,用数学归纳法.
当时,由于,故,,而,所以,结论成立.
假定当时,,那么当时,
因此时,结论也成立,
于是,,成立.
再证数列单调.
因为,所以
即,数列单调递增.
由单调有界原理,存在.
设,由,两边求极限得,
解得（舍）,,所以.
19.求
分析该极限为为“”型极限,
所以用或求极限.
解法1
解法2
20.求极限.
分析该极限为为“”型极限,
所以用或求极限.
解法1
=
==.
解法2.
21.求极限.
分析该极限为为“”型极限,所以用
或求极限
解法1
解法2.
22.函数在内是否为时的无穷大？
分析用函数无界定义及无穷大的定义判断
解取当时,,而
所以当时不是无穷大.
23当时,与等价的无穷小量是（）.
（A）（B）（C）（D）
分析掌握好常用等价无穷小,是得到正确答案的基础
解法1排除法,∵,,,∴选
解法2直接法,∵
.
∴.
24.当时,与是等价无穷小,则（）.
（B）（B）
（C）（D）
分析与是等价无穷小,即当时与比值的极限为1,由极限为1,反求参数
解∵当时,与是等价无穷小
∴
∴
25..
分析先变形,
,再利用等价代换求其极限
解.
26.求.
分析分子有理化后等价无穷小代换求极限.
解
.
27.曲线渐近线的条数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
分析时分母等于零而分子不等于零,所以为垂直渐近线；分子分母关于的多项式的最高次的次数相同,所以有水平渐近线.
解,所以为垂直渐近线.
所以为水平渐近线,没有斜渐近线,总共两条渐近线,选（C）.
28.曲线的渐近线方程为_________.
分析分母没有等于的点且分子关于的最高次数高于分母,所以没有垂直及水平渐近线只有斜渐近线.
解,
所以.
29.曲线的渐近线的条数为（）.
（A）0（B）1（C）2（D）3
分析函数的表达式中含有,所以应考虑是否为垂直渐近线；函数的表达式中含有,所以应考虑时是否有水平渐近线.
解,
所以是曲线的水平渐近线；
所以是曲线的垂直渐近线；
所以是曲线的斜渐近线,故选（D）.
30.已知在处连续,求.
分析已知在处连续且为分段函数,可通过且,求.
解∵在处连续,,
.
31.问为何值时,在其定义域内连续.
分析已知在处连续且为分段函数,可通过且,求.
解的定义域为,
当时,为初等函数,故连续.
当时,为初等函数,故连续,
当时,,,所以,
故当时,处连续,也在内连续.
32.函数的无穷间断点的个数为
分析在处无定义,则为的间断点,再根据间断点分类的定义判断其类型.
解有间断点.
.
所以为第一类间断点.
所以为可去间断点.
为无穷间断点.
33.为何值时,在处连续；为何值时,是可去间断点.
分析已知在处连续且为分段函数,可通过且求；为的可去间断点,可通过与存在且相等但不等于求；所以应先算左右极限,再求.
解
令,有,得或.
当时,,即在处连续.
当时,,因而是的可去间断点.
34.函数的可去间断点的个数为（）.
（A）1.（B）2.（C）3.（D）无穷多个.
分析的间断点为分母等于零的点,即,而分子当不等于零,则都为无穷间断点,所以只需判断是否为可去间断点
解则当取任何整数时,均无意义,故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解.
故可去间断点为3个,即.
35.设,讨论的间断点.并判别其类型.
解对于,所以,
所以
所以
36.证明方程在区间内至少有一个根
分析令,在上利用零点定理证明结论.
证函数在闭区间上连续又
根据零点定理在内至少有一点使得即
（）
这等式说明方程在区间内至少有一个根是
37.设在上连续,且,为任意正数,则在内至少存在一个,使.
证令,.
所以.
所以存在,使得.
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