人教版初三数学上册树状图求概率.docx
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人教版初三数学上册树状图求概率
25.2用列举法求概率
教学目标
1.用列举法(列表法)求简单随机事件的概率,进一步培养随机概念.
2.用画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策.
3.经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率,渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力.
4.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯.
教学重点
运用列表法和画树形图法求事件的概率.
教学难点
运用画树形图法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.
课时安排
2课时.
教案A
第1课时
教学内容
25.2用列举法求概率
(1).
教学目标
1.用列举法(列表法)求简单随机事件的概率,进一步培养随机概念.
2.经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率,渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力.
3.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯.
教学重点
运用列表法求事件的概率.
教学难点
如何使用列表法.
教学过程
一、导入新课
填空:
(1)掷一枚硬币,正面向上的概率是.
(2)掷一枚骰子,向上一面的点数是3的概率是.
过渡:
在试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.
二、新课教学
例1同时抛掷两枚质地均匀的硬币,求下列事件的概率:
(1)两枚硬币全部正面向上;
(2)两枚硬币全部反面向上;
(3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
教师引导学生思考、讨论,最后得出结论.
解:
列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果,它们是:
正正,正反,反正,反反.所有可能的结果共有4种,并且这4种结果出现的可能性相等.
第2枚第1枚
正
反
正
正正
反正
反
正反
反反
(1)所有可能的结果中,满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种,即“正正”,所以
P(A)=
.
(2)两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种,即“反反”,所以
P(B)=
.
(1)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共只有2种,即“反正”“正反”,所以
P(C)=
=
.
总结:
用列举法求概率的使用条件,即“结果只有有限种,且各种结果出现的可能性大小相等”.
例2同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
(1)两枚骰子的点数相同;
(2)两枚骰子点数的和是9;
(3)至少有一枚骰子的点数为2.
教师引导学生思考例2的实验涉及到几个因素?
能否直接列举出实验所有可能的结果?
学生思考、分析后可以知道:
涉及到两个因素(第1枚骰子、第2枚骰子),但是每个因素的取值比较多,直接列举会比较麻烦,可用列表法.当一次试验是掷两枚骰子时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
解:
两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可以用下表列举出所有可能出现的结果.
第1枚
第2枚
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
由上表可以看出,同时掷两枚骰骸子,可能出现的结果有36种,并且它们出现的可能性相等.
(1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种(表中的红色部分),即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以
P(A)=
=
.
(2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种(表中的阴影部分),即(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),所以
P(B)=
=
.
(3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种(表中蓝色方框部分),所以
P(C)=
.
思考:
如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”,得到的结果有变化吗?
为什么?
教师可引导学生思考、讨论,让学生知道:
“同时掷两枚质地均匀的骰子”和“把一枚质地均匀的骰子掷两次”,得到的结果没有区别.
总结:
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法;当实验涉及两个因素时,可以“分步”对问题进行分析.
运用列表法求概率的步骤如下:
(1)列表;
(2)通过表格计数,确定公式P(A)=
中m和n的值;(3)利用公式P(A)=
计算事件的概率.
三、巩固练习
教材第138页练习.
四、课堂小结
今天学习了什么?
有什么收获?
五、布置作业
习题25.2第1题.
第2课时
教学内容
25.2用列举法求概率
(2).
教学目标
1.用画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策.
2.经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率,渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力.
3.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯.
教学重点
运用画树形图法求事件的概率.
教学难点
运用画树形图法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.
教学过程
一、导入新课
上节课我们学习了同时掷两枚质地均匀的骰子的问题.如果把例2中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”,还可以使用列表法来做吗?
通过问题,引发学生思考和兴趣,导入新课的教学.
二、新课教学
例3甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少?
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
分析:
当一次试验是从三个口袋中取球时,即涉及到3个因素.此时,列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.
本游戏可分三步进行,分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键.
解:
根据题意,可以画出如下的树状图:
由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有12种,即
这些结果出现的可能性相等.
(1)只有1个元音字母的结果(红色)有5种,即ACH、ADH、BCI、BDI、BEH,所以P(1个元音)=
.有2个元音字母的结果(绿色)有4种,所以P(2个元音)=
=
.全部为元音字母的结果(蓝色)只有1种,所以P(3个元音)=
.
(2)全是辅音字母的结果共有2种,所以P(3个辅音)=
=
.
教师引导学生归纳总结.
通过解答,学生很容易知道:
当一次试验要涉及3个或更多的因素时,通常采用“画树形图”.
运用树形图法求概率的步骤如下:
(1)画树形图;
(2)列出结果,确定公式P(A)=
中m和n的值;(3)利用公式P(A)=
计算事件概率.
思考:
到现在为止,我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况?
列表法和画树形图法求概率有什么优越性?
什么时候使用“列表法”方便,什么时候使用“树形图法”更好呢?
通过对上述问题的思考,加深学生对新方法的理解,更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息,有利于学生根据实际情况选择正确的方法.
三、巩固练习
教材第139页练习.
经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,求三辆汽车经过这个十字路口时,下列事件的概率:
(1)三辆车全部继续直行;
(2)两辆车向右转,一辆车向左转;
(3)至少有两辆车向左转.
教师让学生独立完成,然后小组内订正.
四、归纳总结
让学生谈一谈这节课的收获.要求每个学生在组内交流,派小组代表发言.
通过这个环节,可以提高学生概括能力、表达能力,有助于学生全面地了解自己的学习过程,感受自己的成长与进步,增强自信,也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据.
五、布置作业
习题25.2第3、5题.
教案B
第1课时
教学内容
25.2用列举法求概率
(1).
教学目标
1.用列举法(列表法)求简单随机事件的概率,进一步培养随机概念.
2.经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率,渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力.
3.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯.
教学重点
运用列表法求事件的概率.
教学难点
如何使用列表法.
教学过程
一、导入新课
为活跃联欢晚会的气氛,组织者设计了以下转盘游戏:
A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字分别是1,6,8,转盘B上的数字分别是4,5,7(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同).每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针,使之产生旋转,指针停止后所指数字较大的一方为获胜者,负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上,则重转一次).作为游戏者,你会选择哪个装置呢?
并请说明理由.
以贴近学生生活的联欢晚会为背景,创设转盘游戏引入,能在最短时间内激发学生的兴趣,引起学生高度的注意力,进入情境,导入新课的教学.
二、新课教学
1.学生分组讨论,探索交流.
在这个环节里,首先要求学生分组讨论,探索交流.然后引导学生将实际问题转化为数学问题,即:
停止转动后,哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢?
由于事件的随机性,我们必须考虑事件发生概率的大小.此时我首先引导学生观看转盘动画,同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘,即涉及2个因素,与前一课所讲授单转盘概率问题(教材P136例1)相比,可能产生的结果数目增多了,列举时很容易造成重复或遗漏.怎样避免这个问题呢?
实际上,可以将这个游戏分两步进行.于是,指导学生构造表格.
2.指导学生构造表格
AB
4
5
7
1
6
8
首先考虑转动A盘:
指针可能指向1,6,8三个数字中的任意一个,可能出现的结果就会有3个.接着考虑转动B盘:
当A盘指针指向1时,B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个,这是列举法的简单情况.当A盘指针指向6或8时,B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个,一共会产生9种不同的结果.
设计意图:
这样既分散了难点,又激发了学生兴趣,渗透了转化的数学思想.
3.学生独立填写表格,通过观察与计算,得出结论(即列表法)
AB
4
5
7
1
(1,4)
(1,5)
(1,7)
6
(6,4)
(6,5)
(6,7)
8
(8,4)
(8,5)
(8,7)
从表中可以发现:
A盘数字大于B盘数字的结果共有5种.
∴P(A数较大)=
,P(B数较大)=
.
∴P(A数较大)>P(B数较大).
∴选择A装置的获胜可能性较大.
在学生填写表格过程中,注意向学生强调数对的有序性.
由于游戏是分两步进行的,我们也可用其他的方法来列举.即先转动A盘,可能出现1,6,8三种结果;第二步考虑转动B盘,可能出现4,5,7三种结果.
4.解法二.
由图知,可能的结果为:
(1,4),(1,5),(1,7),(6,4),(6,5),(6,7),(8,4),(8,5),(8,7),共计9种.
∴P(A数较大)=
,P(B数较大)=
.
∴P(A数较大)>P(B数较大).
∴选择A装置的获胜可能性较大.
然后,引导学生对所画图形进行观察:
若将图形倒置,你会联想到什么?
这个图形很像一棵树,所以称为树形图(在幻灯片上放映).列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法.
设计意图:
自然地学生感染了分类计数和分步计数思想.
三、巩固练习
例同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
(1)两枚骰子的点数相同;
(2)两枚骰子点数的和是9;
(3)至少有一枚骰子的点数为2.
分析:
当一次试验是掷两枚骰子时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
具体过程见教材第137页.
小结:
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法.运用列表法求概率的步骤如下:
(1)列表;
(2)通过表格计数,确定公式P(A)=
中m和n的值;
(3)利用公式P(A)=
计算事件的概率.
四、课堂小结
今天学习了什么?
有什么收获?
五、布置作业
习题25.2第1题.
第2课时
教学内容
25.2用列举法求概率
(2).
教学目标
1.用画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策.
2.经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,渗透数形结合,培养由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力.
教学重点
运用画树形图法求事件的概率.
教学难点
运用画树形图法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.
教学过程
一、导入新课
复习上节课内容,导入新课的教学.
二、新课教学
1.实例探究.
例甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少?
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
分析:
当一次试验是从三个口袋中取球时,即涉及到3个因素.此时,列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.
本游戏可分三步进行,分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键.
解题过程见教材第138、139页.
2.归纳总结.
(1)当一次试验要涉及3个或更多的因素时,通常采用“画树形图”.
(2)运用树形图法求概率的步骤如下:
(1)画树形图;
(2)列出结果,确定公式P(A)=
中m和n的值;(3)利用公式P(A)=
计算事件概率.
三、巩固练习
教材第139页练习.
四、归纳总结
今天学习了什么,有什么收获?
五、布置作业
习题25.2第3、5题.