九年级数学竞赛专题全套精品版.docx

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九年级数学竞赛专题全套精品版

九年级数学竞赛专题第一讲因式分解

一、选择题

1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）

A．（2a+3）（）2a-3）=4a-9;B．4m-9=（2m+3）（2m-3）

C．m-16+3m=（m+4）（m-4）+3m;D．2x（y+z）-3（y+z）=2xy+2xz–3y–3z

2．下面各式的因式分解中，正确的是（）

A．-7ab–14+49aby=7ab（1-2x+7y）;B．

C．6;D．xy（x–y）–x（y–x）=x（x–y）（y–1）

3．下面各式的因式分解中，正确的是（）

A．

B．

C．

D．

4．下面各式的因式分解中，正确的是（）

A．ab–a+b+1=（a–1）（b+1）

B．4xy+1–4

C．3a–3b+3x–bx=（a–b）（3–x）

D．

5．下列因式分解的变形中，正确的是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

1．在代数式中是完全平方式的是__________。

2．若：

被2x–3除后余3，则商式是__________，且a=__________。

3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。

4．乘积=________________。

5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。

三、解答题

1．分解因式

;;

;;

;;

2．已知三角形的三条边a,b,c适合等式：

，请确定三角形的形状。

3．已知：

三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。

4．已知：

2x–3和3x+1是f（x）=的因式，求a,b的值。

5．证明：

（1）若n为整数，则一定是8的倍数；

（2）若n为正整数时，-n的值必是6的倍数；

（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。

答案

一、选择题

1．B

2．C

3．D

4．D

5．C

提示：

1．依据因式分解的定义：

将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。

只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。

2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。

3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。

4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。

5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。

二、填空题：

1．1；

2．X+4.5；

3．110平方厘米；

4．；

5．7、11、13

提示：

1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。

而只有

（1）式=是完全平方式。

2．根据题意，利用大除法：

∴a=5

∴，即：

商式为x+4，且a=5.

3．依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：

乘下的面积就是12.75-7.25=（12.75+7.25）（12.75-7.25）=110平方厘米

4．原式

5．依题意，设所求的站位数为：

，a,b,c均为自然数，则

∵1001=7×11×13，∵a,b,c为自然数，

∴100a+10b+c为自然数

∴7

三、解答题

1．分解因式：

（1）十字相乘法：

原式

（2）配方法：

原式=

（3）配方法：

原式

（4）原式=

（5）法1：

原式=

法2：

原式=

（6）法1：

原式=

法2：

原式=

（7）原式=

（8）反数法：

原式=

2．解，依题意：

而

∵a,b,c为三角形的三边长∴a+b+c>0

∴

∵

∴只有

∴a=b=c，即三角形为等边三角形

注：

也可如下分解：

原式=

3．解：

设这三个奇数依次为n–2,n,n+2，其中n为自然数，则n>2，则依题意：

（n-2）+n+（n+2）=2513n=243n=81

∴n=9或-9

当n=9时，n–2=7,n+2=11;

当n=-9时,n–2=-11,n+2=-7.

所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-11

4．解：

若（2x–3）和（3x+1）都是f（x）=ax+bx+32x+15的因式，

则（2x–3）（3x+1）=6x-7x–3能整除f（x）。

解法1：

利用多项式与多项式的大除法：

∴

∴a=6且b=-37

即：

解法2：

∴

∴n=-5,m=1,b=-37,a=6

即

5．证明：

（1）∵

∵n为整数，∴8|8n.

即8|（2n+1）-（2n-1）命题得证；

（2）

∵n为正整数，（n+1）和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n（n+1）；而（n-1）,n,（n+1）是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|（n-1）n（n+1）,即6|（n-1）n（n+1）。

命题得证。

（3）设这四个连续自然数依次为n–2,n–1,n,n+1，其中n>2且n为自然数，则依题意：

（n–2）（n–2）n（n+1）+1

=（n–2）（n+1）（n–1）n+1

=（n-n–2）（n-n）+1

=（n-n）-2（n-n）+1

=（n-n–1）

因为n为自然数，

所以n-n–1必为整数，即命题得证。

九年级数学竞赛专题第二讲分式变形

一、选择题

1．等介于（）（其中x≠18）

A．;B．3y+2x=6;C．;D．

2．若且m≠0，则下列比例式中成立的应是（）

A．;B．;C．;D．

3．化肥厂原计划x天一产化肥120吨，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此比原计划提前2天完成原计划，则列出的方程应是（）

A．;B．;C．;D．

4．若y=（abc≠0），则=（）

A．;B．;C．;D．

5．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的体积和水的积体比是p：

1，另一个瓶子中酒精的体积和水的体符号比是q：

1，如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的体积与水的体积之比是（）

A．;B．;C．;D．

二、填空题

1．当x取_______时，代式有意义。

2．比较大小：

3．若方程：

的根均相等，则只需m的值是________。

4．已知：

a+b+c=0，则的值是_________。

5．当x取________整数值时，分式的值为整数。

三、解答题

1．化简：

（1）

（2）

（3）

（4）

2．证明以下各式：

（1）若abc=1，则

（2）若a+b+c=0，则

（3）已知：

且，求证：

（4）若：

x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,求证：

.

3．

（1）将下列各题分解为部分分式：

①;②.

（2）已知：

，求A、B、C的值。

4．

（1）已知a>0,b>0,c>0.求证：

.

（2）如果a，b，都是整数，并且a>1,b>1，试求：

a+2b的值。

5．一件工程由甲、乙、丙、丁、戊五人工作，如果甲、乙、丙三人同时工作，需用7天完成；如果甲、丙、戊三人同时工作，需用5天完成；如果甲、丙、丁三人同时工作，需用6天完成，如果乙、丁、戊三人同时工作，需用4天完成，问五人同时工作，几天可以完成工作的

答案

一、选择题

1．D

2．D

3．D

4．D

5．B

提示：

1．

在

（1）左右两边分虽乘以6xy：

则18y+12x=xy

∴而x≠18且y≠12

∴选项D正确

2．不妨设a=2,b=4,c=3,d=6，则

m=1时，∴选项A错误，

∴选项B错误，

∴选项C错误，

∵∴∴∴选项D正确

3．若原计划x天生产化肥120吨，则日产量为：

吨，而增产后的日产量为：

吨……

（1）实际生产天数为（x–2）天；则增产后的日产量为吨……

（2），则依题意有：

，所以选项D正确。

4．∵

∴

由

（1）×

（2）×（3）得：

∵abc≠0∴xyz≠0\

由（4）÷可得：

由（4）÷可得：

由（4）÷可得：

∴

∴选项D正确

5．酒精体积与水体积之比是p：

1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为；酒精体积与水体积之比是q：

1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为。

当两瓶混合所含纯酒精为（+），水为（+）所以酒精和水的体积之比为+：

+=

二、填空题

1．x≠0,x≠±1；

2．>；

3．m=;

4．0；

5．4、6、8、10

提示：

1．只有当：

时，原分式才有意义；

∴解得：

时，原分式有意义。

2．

解法1：

两数作差：

解法2：

两数作商也可得：

3．解：

∵

∵m–1≠0∴∴

∵原方程的根相等，则

∴∴时，时，原方程只有一个根

4．若a+b+c=0，则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b

∵

∴当a+b+c=0时，=0

∴

∴原式=-3+3=0

5．∵

∵x为整数，所以2x+5为整数

所以只要为整数即可，所以x–7整除3即可。

而3=1×3=（-1）×（-3）所以x–7=±1或x–7=±3.

所以x=8或x=6或x=10或x=4时原分式的值为整数。

三、解答题

1．化简

（1）解：

原式=

（2）∵

∴原式

=

（3）原式=

（4）∵

∴原式=

2．证明以下各式

（1）证法1：

∵abc=1

∴左边=

=右边

所以等式成立。

证法2：

∵abc=1

∴

∴左边=

=右边

等式成立。

（2）∵a+b+c=0

∴a=-（b+c）,b=-（a+c）,c=-（a+b）

∴原式左边=

=右边即等式成立。

（3）∵

∵

又∵

∴由

（2）式得：

∴等式左边=

=1=右边所以等式成立。

（4）∵

由

（1）+

（2）×（3）得：

（x+y+z）=2ax+2by+2cz……（4）

由（4）-

（1）×2得：

y+z–x=2ax;

由（4）-

（2）×2得：

x+z–y=2by;

由（4）-

（2）×2得：

x+y–z=2cz;

∴x+y+z=2（1+a）x=2（1+b）y=2（1+c）z

令x+y+z≠0,∴（1+a）x≠0,（1+b）y≠0,（1+c）z≠0.

∴

∴

∴

同理：

∴

3．

（1）将下列各题分解为部分分式：

①设

∴2A+B=1且B-A=5

∴A=2，B=-3

∴

②设

∴