奶制品的生产与销售1.docx

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奶制品的生产与销售1

奶制品的生产与销售

摘要：

关键词：

奶制品生产与销售，线性规划

一、问题重述

问题一：

加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？

若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？

问题二：

问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变。

为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：

用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。

试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题

（1）若投资30元可以增加供应一桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？

若每天投资150元，可赚回多少？

（2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制定的生产销售计划有无影响？

若每公斤B1获利下降10%，计划应该变化吗？

二、模型假设和符号说明

2.1模型假设

（1）假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

（2）假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；

（3）假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。

2.2符号说明

A1,A2:

牛奶的两种类型

X1:

每天用于生产A1的牛奶的桶数

X2:

每天用于生产A2的牛奶的桶数

三、问题分析与模型建立

问题一：

数学模型设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2

目标函数设每天获利为z元。

x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2

约束条件

原料供应生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即

x1+x2≤50

劳动时间生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480

设备能力A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即

3x1≤100

非负约束x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0

综上所述可得

Maxz=72x1+64x2

（1）

s.t.x1+x2≤50

（2）

12x1+8x2≤480（3）

3x1≤100（4）

x1≥0，x2≥0（5）

问题二：

数学模型：

设每天销售X1公斤A1,X2公斤A2,X3公斤B1,X4公斤B2,用X5公斤A1加工B1,X6公斤A2加工B2（增设X5,X6可使模型简单）。

目标函数：

设每天净利润为z，容易写出目标函数：

z=24X1+16X2+44X3+32X4-3X5-3X6

约束条件：

原料供应：

A1每天生产X1+X5公斤，用牛奶（X1+X5）/3桶，A2每天生产X2+X6公斤，用牛奶（X2+X6）/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶。

即（X1+X5）/3+（X2+X6）/4≦50

劳动时间：

每天生产A1,A2的时间分别为4（X1+X5）和2（X2+X6），加工B1,B2的时间分别为2X5和2X6，两者之和不得超过总的劳动时间480小时。

设备能力：

A1的产量X1+X5不能超过甲类设备每天的加工能力100公斤。

非负约束：

X1,X2…X6均为负。

附加约束：

1公斤A1加工成0.8公斤B1,故X3=0.8X5,类似的X4=0.75X6

综上所述有：

Maxz=24x1+16x2+44x3-3x5-3x6（6）

（x1+x5）/3+（x2+x6）/4≦50（7）

4（x1+x5）+2（x2+x6）+2x5+2x6≦480（8）

x1+x5≦100（9）

x3=0.8x5（10）

x4=0.75x6（11）

x1,x2,x3,x4,x5,x6≧0（12）

四、模型求解

问题一：

用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示如下：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）0.00000048.000000

3）0.0000002.000000

4）40.0000000.000000

NO.ITERATIONS=2

计算结果分析：

“LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。

“OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1）3360.000”表示最优目标值为3360.000（LINDO中将目标函数自动看作第1行，从第二行开始才是真正的约束条件）。

“VALUE”给出最优解中各变量（VARIABLE）的值：

x1=20.000000，x2=30.000000。

“REDUCEDCOST”的含义是（对MAX型问题）：

基变量的REDUCEDCOST值为0，对于非基变量，相应的REDUCEDCOST值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。

本例中两个变量都是基变量。

“SLACKORSURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式约束；第2、第3行松弛变量均为0，说明对于最优解而言，两个约束均取等式约束；第4行松弛变量为40.000000，说明对于最优解而言，这个约束取不等式约束。

“DUALPRICES”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：

第2、第3、第4行（约束）对应的影子价格分别48.000000，2.000000，0.000000。

敏感性分析：

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE

COEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000

X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGES

ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

250.00000010.0000006.666667

3480.00000053.33333280.000000

4100.000000INFINITY40.000000

“GURRENTCOEF“（敏感性分析）的“ALLOWABLEINCREASE”（允许的增加量）和“ALLOWABLEDECREASE”（允许的减少量）给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围：

X1的系数为（72-8，72+24）即（64，96）。

并且，x1系数的允许范围需要x2的系数保持64不变。

X2的系数为（64-16，64+8）即（48，72）。

同理，x2系数的允许范围需要x1的系数保持72不变。

“CURRENTRHS”则是对“影子价格”的进一步约束。

牛奶的需求量满足（50-6，50+10）即（44，60）。

并且，牛奶的允许范围需要劳动时间保持480小时不变。

劳动时间的需求量满足（480-80，480+53）即（400,533）。

同理，劳动时间的允许范围需要牛奶的用量保持50桶不变。

对附加问题的回答：

（1）因为一桶牛奶的影子价格为48，35<48，所以应该进行这个投资。

另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多购买10桶牛奶。

（2）因为一个小时的劳动时间的影子价格为2，所以付给临时工人的工资最多是每小时2。

另外，在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明，每天最多增加劳动时间53小时。

（3）若每公斤A1的获利增加到三十元，则X1系数变为90，根据计算结果分析，X1的允许范围为（64，96）在允许范围内，所以不应该改变生产计划

问题二：

用鼠标单击菜单中的求解命令（SOLVE）就可以得到解答，结果窗口显示如下：

五、模型的优缺点分析

附件1模型源代码

max72x1+64x2

st

2）x1+x2<50

3）12x1+8x2<480

4）3x1<100

附件2.模型答案

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）0.00000048.000000

3）0.0000002.000000

4）40.0000000.000000

NO.ITERATIONS=2

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE

COEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000

X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGES

ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

250.00000010.0000006.666667

3480.00000053.33333280.000000

4100.000000INFINITY40.000000

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）0.00000048.000000

3）0.0000002.000000

4）40.0000000.000000

NO.ITERATIONS=2

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE

COEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000

X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGES

ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

250.00000010.0000006.666667

3480.00000053.33333280.000000

4100.000000INFINITY40.000000