IIR数字滤波器设计I.docx
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IIR数字滤波器设计I
IIR数字滤波器设计（Ⅰ）
一、实验课程任务与要求
《数字信号处理》课程是电子、通信、计算机、自动化、信息处理等专业的重要基础课。
本课程以信号与系统、工程数学为基础，要求学生掌握时域离散信号和系统的基本理论、基本分析方法以及FFT、数字滤波器、谱分析等数字信号处理技术。
《数字信号处理》是一门理论与实践联系紧密的课程，所以本课程安排一周课程设计，以帮助学生掌握数字信号处理技术，提高学生分析问题和解决问题的能力，并通过设计培养学生的创新意识。
本课程设计的基本要求如下：
1学会用MATLAB语言编写数字信号处理的程序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解；
2上机前应按照要求把设计内容准备好，即编好程序及需要改变的参数，能预计出可能出现的结果；
3观察实验结果，得出结论；
4设计结束时提交设计报告。
二、设计题目
IIR数字滤波器设计（Ⅰ）、
三、设计要求
（1）用单位冲激响应不变变换法进行设计。
（2）给出详细的滤波器设计说明书。
（3）给出经过运行是正确的程序清单并加上详细的注释。
（4）画出所设计滤波器的幅度特性和相位特性。
四设计原理
1、冲激响应不变法
冲激响应不变法[5]的变换原理是使数字滤波器的单位冲激响应序列
模仿模拟滤波器的单位冲激响应序列
。
将模拟滤波器的单位冲激响应加以等简隔抽样，使
正好等于
的抽样值，即满足
式（3.1）
其中T是抽样周期。
如果令
是
的拉普拉斯变换，
为
的Z变换，根据抽样序列的Z变换和模拟信号的拉普拉斯变换的关系，可得
式（3.2）
可以看出，利用冲激响应不变法将模拟滤波器变换数字滤波器，实际上是先对模拟滤波器的系统函数
做周期延拓，再经过
的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数
。
假设在S平面上，S在
轴上取值，Z在Z平面内的单位圆周
上取值，则可得到数字滤波器的频率响应
和模拟滤波器的频率响应
间的对应关系：
式（3.3）
如图3.1所示，在S平面上每一条宽为
的横条都将重叠地映射到整个Z平面上，而每一条的左半边映射到Z平面单位圆内，右半边映射到Z平面单位圆外，S平面虚轴映射Z平面单位圆上，虚轴上每一段长为
的线段都映射到Z平面单位圆上一周。
由于S平面每一横条都要重叠地映射到Z平面上，这正好反映
和
的周期延拓函数的变换关系
，故有冲激响应不变法并不是简单的从S平面映射到Z平面。
图3.1冲激响应不变法的映射关系
因为不是简单的一一映射关系，且对于任何一个实际的模拟滤波器，它的频率响应是不可能真正带限的。
因而将不可避免的出现频率的重叠，即混叠失真。
数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应，只有当模拟滤波器的频率响应在超过重叠频率后的衰减很大时，混叠失真才会很小，此时才能够满足设计要求。
综上所述，冲激响应不变法具有以下特点：
（1）模拟频率和数字频率的转换是线性的，并保持了模拟滤波器的时域瞬态特性。
（2）当模拟滤波器的频率响应不是严格限带时，则用冲激不变法设计出的数字滤波器在频率出现混叠失真。
（3）由于
（2）而使这种设计方法受到限制，即当
不严格限带或g（t）变化不稳定。
五、设计内容
设计一个数字巴特沃斯低通滤波器，设计指标如下：
采样时间间隔
。
六设计步骤
（1）把数字频率转换为模拟频率：
，
。
（2）计算巴特沃斯模拟滤波器的截止频率
和阶数
。
（3）设计巴特沃斯模拟低通滤波器，给出参数
和
（此处使用了MATLAB中的buttap（N）函数。
（4）把模拟滤波器用单位冲激响应不变变换法转换成数字滤波器（此处使用了MATLAB中的residuez函数）。
（5）变直接形式为并联形式，并给出结构图。
（6）画出幅度特性和相位特性。
七、设计步骤框图
数字滤波器的设计步骤如图1所示
图1
八、Matlab程序代码
%主程序
wp=0.2*pi;
ws=0.3*pi;
Rp=1;%通带波动;
As=15;%阻带衰减
T=1;%采样周期
Omigrp=wp*T;
Omigrs=ws*T;
88^2+0.9659^2];
b=1;
a=conv（conv（t1,t1）,t1）;
[N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）%计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和截止频率wc
[B,A]=butter（N,wc,'s'）
[z,p,k]=buttap（N）%模拟低通原型零、极点系数和增益因子
[bz,az]=impinvar（b,a）%用冲激响应不变法将模拟滤波器转化为数字滤波器,采样频率默认1Hz
wz=[0:
pi/512:
pi];
hz1=freqz（bz,az,wz）;%巴特沃斯模拟低通滤波器频率响应
[C,B,A]=dir2par（b,a）%直接型转换成并联型
%绘图
subplot（1,2,1）;plot（wz/pi,abs（hz1）/hz1
（1））;title（'幅度响应'）
xlabel（''）;ylabel（'|H|'）;axis（[0,1,0,1]）;grid;
subplot（1,2,2）;plot（wz/pi,hz1/pi）;title（'相位响应'）
xlabel（''）;ylabel（'单位:
pi'）;axis（[0,1,-1,2]）;grid;
%直接型转换成并联型子程序
function[C,B,A]=dir2par（b,a）;
M=length（b）;
N=length（a）;
[r1,p1,C]=residuez（b,a）;
p=cplxpair（p1,10000000*eps）;
I=cplxcomp（p1,p）;
r=r1（I）;
K=floor（N/2）;B=zeros（K,2）;A=zeros（K,3）;
ifK*2==N;
fori=1:
2:
（N-2）
Brow=r（i:
1:
（i+1）,:
）;
Arow=p（i:
1:
（i+1）,:
）;
[Brow,Arow]=residuez（Brow,Arow,[]）;
B（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Brow）;
A（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Arow）;
End
[Brow,Arow]=residuez（r（N-1）,p（N-1）,[]）;
B（K,:
）=[real（Brow）0];A（K,:
）=[real（Arow）0];
Else
fori=1:
2:
（N-1）
Brow=r（i:
1:
（i+1）,:
）;
Arow=p（i:
1:
（i+1）,:
）;
[Brow,Arow]=residuez（Brow,Arow,[]）;
B（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Brow）;
A（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Arow）;
End
End
%比较两个含同样标量元素但（可能）有不同下标的复数对及其相应留数向量子程序
functionI=cplxcomp（p1,p2）;
I=[];
forj=1:
length（p2）
fori=1:
length（p1）
if（abs（p1（i）-p2（j））<0.0001）
I=[I,i];
End
End
End
运行结果
Rp=1
N=6
z=[]
··
k=1
C=[]
结构图
九仿真波形
总结：
通过本次课设我实际操作了Matlab应用软件，加深了对数字信号科目的理解与应用，对课堂中所学的知识进行了实际应用，理论与实际的结合使我更深刻的理解了理论，加深了对数字信号应用技术的理解，为将来更好的应用打下了良好的基础。
感谢各位老师的耐心教导，我会继续努力的。
参考图书：
教材：
丛玉良《数字信号处理》吉林科学技术出版社
程佩青《数字信号处理教程》清华大学出版社
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