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力法读书笔记

7.1　超静定结构概述

超静定结构的两大特征：

1）在几何组成方面：

静定结构是没有多余约束的几何不变体系，而超静定结构则是有多余约束的几何不变体系。

2）在静力分析方面：

静定结构的支座反力和截面内力都可以用静力平衡条件唯一地确定，而超静定结构的支座反力和截面内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定。

总的来说，约束有多余的，内力（或支座反力）是超静定的，这就是超静定结构区别于静定结构的两大基本特征。

凡符合这两个特征的结构，就称为超静定结构。

超静定结构的两种约束：

1）必要约束：

对维持体系的几何不变性不可缺少的约束，称为必要约束。

2）多余约束：

对维持体系的几何不变性不是必需的约束，称为多余约束。

超静定结构的五种类型：

力法和位移法是解决超静定结构的两个基本方法，不过位移法出现较晚，会运用一些力法的结果。

超静定结构中的多余约束数目，称为超静定次数，用n表示。

超静定次数的确定：

1.n=-w（非必需）

2.从原结构上去除约束

3.判定剩余体系的几何组成，保证几何不变（必需）

解除超静定结构的多余约束，归纳起来有以下几种方式：

1）移去一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束。

2）移去一个不动铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束。

3）移去一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于解除三个约束。

4）将固定支座改为不动铰支座或将梁式杆中某截面改为铰结，相当于解除一个转动约束。

（注意：

既要移去全部多余约束，又要保留每个必要约束）

7.2　力法的基本原理

力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的问题，即利用已熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。

1.找出关键所在——力法的基本未知量

2.寻求过渡途径——力法的基本体系

多余约束移去，而代之以多余未知力，并保留原荷载所得到的结构，称为力法的基本体系。

把结构的多余约束并连同荷载一起移去后所得到的结构，称为力法的基本结构。

3.补充转化条件——力法的基本方程

力法的计算步骤：

1）确定基本未知量数目。

2）选择力法基本体系。

3）建立力法基本方程。

4）求系数和自由项。

5）解方程，求多余未知力。

6）作内力图。

7）校核。

力法的基本原理是：

以结构中的多余未知力为基本未知量；根据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力；最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图

7.3　力法的基本体系选择及典型方程

满足条件：

第一，必须满足几何不变的条件

第二，便于绘制内力图

第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加新的约束

基本结构的选取技巧：

1）尽量使去除多余约束后的体系成为多个彼此独立的静定部分

2）若无法做到上一条，对梁和刚架，尽量暴露反力矩或弯矩Xi

3）满足条件的第三条，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加新的约束。

n次超静定结构的力法典型方程：

1）主斜线（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系数dii称为主系数或主位移，是单位多余未知力Xi=1单独作用时所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒为正，且不会等于零。

2）其它的系数dij（i≠j）称为副系数或副位移，它是单位多余未知力Xj=1单独作用时所引起的沿Xi方向的位移，其值可能为正、负或零。

3）各式中最后一项△iP称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移，其值可能为正、负或零。

4）根据位移互等定理可知，δij=δji

最后，弯矩图由叠加法作出：

对超静定桁架：

对超静定组合结构：

一般可将桁杆作为多余约束切断而得到其静定的基本体系。

计算系数和自由项时，对桁杆应考虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。

对排架进行内力分析，主要是计算排架柱的内力。

两铰拱

用力法计算时，通常采用简支曲梁为基本结构，以支座的水平推力为多余未知力。

利用基本体系在B支座沿X1方向的线位移为零的变形条件，可建立力法方程

一般可略去剪力的影响，而轴力的影响仅在扁平拱（拱高f

7.5　用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力

对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称为自内力。

力法计算自内力的特点：

1）力法方程中的自由项不同。

2）对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。

当取有移动的支座约束力为基本未知力时，△i≠0，而是△i=Ci。

3）计算最后内力的叠加公式不完全相同。

计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中第i个方程的一般形式可写为

力法计算支座问题的特点：

1）若所取Xi为支座反力（矩），且对应Xi方向有支座移动值△（θ），则力法右端为±△（或±θ）。

正负号根据Xi与相应支移是否同向确定。

2）自由项△ic由除Xi所对应原结构剩余的支座位移单独作用于基本结构引起，△ic=-∑FRC是静定结构在支移作用下引起刚体位移在Xi方向上的值。

温度变化时的内力计算：

式中，△it表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向的位移；△i表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变化问题中，一般△i=0）。

在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各杆件刚度的绝对值成正比。

因此，加大截面尺寸并不是改善自内力状态的有效途径。

（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高温一侧受压）

代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由项计算公式：

可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起的结构的自内力有很大的影响。

7.6　对称结构的简化计算

对称结构：

1）几何尺寸对称

2）约束形式对称（支座、结点）

3）刚度对称

简化的主要目标：

使典型方程中尽可能多的副系数以及自由项等于零，从而使典型方程成为独立方程或少元联立方程。

1）对称荷载在对称结构中只引起对称的反力、内力和变形。

因此，反对称的未知力必等于零，而只有对称未知力。

2）反对称荷载在对称结构中只引起反对称的反力、内力和变形。

因此，对称的未知力必等于零，而只有反对称未知力。

选取等效的半结构：

奇数跨对称（反对称）结构：

偶数跨对称（反对称）结构：

7.7　用弹性中心法计算对称无铰拱

为了简化计算，采用以下两项简化措施：

第一选取对称的基本结构

第二项简化措施是利用刚臂使一对副系数δ12和δ21等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程：

有

为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个图形面积的形心计算公式。

由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。

求出yS，即确定弹性中心的位置。

（当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。

但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高fl/5且拱顶截面高度hc>l/10时，还需考虑轴力对d22的影响。

）

温度变化时的计算：

由于温度变化对称于y轴，因此有X3=0，力法方程简化为：

当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力X2。

当温度升高时，X2为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，X2为反方向，使拱截面内产生拉力。

对于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使拱产生裂缝。

混凝土的温度线膨胀系数为a=0.00001，而一般混凝土的收缩率at约为0.025%，相当于温度均匀下降25℃。

若拱体的混凝土是分段分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降10℃~15℃。

用弹性中心法计算对称无铰拱的支座移动：

无铰拱由于温度变化和支座移动引起的内力也与拱的绝对刚度有关，且成正比，拱的刚度愈大，由于温度变化或支座移动所引起的自内力也愈大

7.8　超静定结构的位移计算

单位荷载法，不仅可以用于求解静定结构的位移，也同样适用于求解超静定结构的位移，区别仅在于内力需按计算超静定结构方法求出。

1）求实际状态内力图（M图）

2）在任一力法基本结构上施加单位虚力，求内力图。

3）根据单位荷载法公式求位移。

支座移动时超静定结构的位移计算：

温度变化时超静定结构的位移计算

综合因素影响下的位移计算：

7.9　超静定结构内力图的校核

1）利用平衡条件校核（必要条件）

2）根据已知变形条件校核（充分条件）

常采用以下方法进行变形条件校核：

根据已求得的最后弯矩图，计算原结构某一截面的位移，校核它是否与实际的已知的变形情况相符（一般常选取广义位移为零或为已知值处）。

若相符，表明满足变形条件；若不相符，则表明多余未知力计算有误。

7.10　超静定结构的特性

1）超静定结构满足平衡条件和变形条件的内力解答才是唯一真实的解

2）超静定结构可产生自内力

3）超静定结构的内力与刚度有关

4）超静定结构有较强的防护能力

5）超静定结构的内力和变形分布比较均匀